Wasser (W): $33$ Flaschen

Apfelschorle (A): $55$ Flaschen

Holunderschorle (H): $44$ Flaschen

Insgesamt: $1212$ Flaschen

Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei der ersten Flaschenentnahme:

Wahrscheinlichkeit (W): ${\displaystyle \frac{3}{12}}\backslash displaystyle\backslash frac\{3\}\{12\}$

Wahrscheinlichkeit (A): ${\displaystyle \frac{5}{12}}\backslash displaystyle\backslash frac\{5\}\{12\}$

Wahrscheinlichkeit (H): ${\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash displaystyle\backslash frac\{4\}\{12\}$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei der zweiten Flaschenentnahme und nunmehr $1111$ Flaschen, analog.

Wahrscheinlichkeit, beide Male eine Holunderschorle zu entnehmen:

${\displaystyle \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11}=\frac{1}{11}}\backslash displaystyle\backslash frac\{4\}\{12\}\backslash cdot\backslash frac\{3\}\{11\}=\backslash frac\{1\}\{11\}$

Wahrscheinlichkeit beide Male keine Apfelschorle zu entnehmen (Gegenwahrscheinlichkeit):

${\displaystyle 1-(\frac{5}{12}+\frac{3}{12}\cdot \frac{5}{11}+\frac{4}{12}\cdot \frac{5}{11})=1-(\frac{55}{11\cdot 12}+\frac{15}{11\cdot 12}+\frac{20}{11\cdot 12})=1-\frac{90}{11\cdot 12}=1-\frac{15}{22}=\frac{7}{22}}\backslash displaystyle\; 1-(\backslash dfrac\{5\}\{12\}+\backslash dfrac\{3\}\{12\}\backslash cdot\; \backslash dfrac\{5\}\{11\}+\backslash dfrac\{4\}\{12\}\backslash cdot\; \backslash dfrac\{5\}\{11\})=1-(\backslash frac\{55\}\{11\backslash cdot12\}+\backslash frac\{15\}\{11\backslash cdot12\}+\backslash frac\{20\}\{11\backslash cdot12\})\backslash \backslash [1ex]=1-\backslash frac\{90\}\{11\backslash cdot12\}=1-\backslash frac\{15\}\{22\}=\backslash dfrac\{7\}\{22\}$

Da genug Flaschen jeder Sorte vorhanden sind, wird die Anzahl der Möglichkeiten mit der Formel für "Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge" berechnet.

Es sind $n=3n=3$ Sorten, und es werden $k=2k=2$ Flaschen entnommen.

Dann gibt es $\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+2-1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=6\backslash begin\{pmatrix\}n+k-1\backslash \backslash k\; \backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 3+2-1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 2\; \backslash end\{pmatrix\}=6$ Möglichkeiten.