B4

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Aufgabe 1

Ein Unternehmen stellt Olivenöl her und füllt es in Flaschen ab. Laut Aufdruck beträgt die Füllmenge jeder Flasche $600\mathrm{~ml}$ .

Die Flaschen werden in Kartons verpackt; jeder Karton enthält zwölf Flaschen. Ein Karton gilt als fehlerhaft, wenn mehr als eine Flasche weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält. Für jede Flasche beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält, $1,5 %$ .

Die Rechnung $0{,}985^{12} \approx 83{,}4 \%$ stellt im Sachzusammenhang die Lösung einer Aufgabe dar.
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und erläutern Sie den Ansatz der Rechnung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Formuliere eine passende Aufgabenstellung und erläutere den Ansatz der Rechnung
Aufgabenstellung: „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton alle Flaschen mindestens $600\mathrm{~ml}$ Öl enthalten.“
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche mindestens 600 ml Öl enthält, beträgt $1 - 0,015 = 0,985$ , die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Flaschen eines Kartons ( $12$ ) diese Eigenschaft haben, $0{,}985^{12}$ .
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche mindestens $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält, beträgt $1 - 0,015 = 0,985$ .
$12$ Flaschen sind in einem Karton. Was bedeutet dann $0{,}985^{12}$ ?
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl befinden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl befinden
$Y$ : Anzahl der Flaschen mit einer Füllmenge von weniger als $600\mathrm{~ml}$ .
Berechne: $P_{100 ; 0{,}015}(Y=3)=\text{binomPdf}(100;0{,}015{,}3) \approx 0{,}1259\approx12{,}6\;\%$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl befinden, beträgt rund $12{,}6\;\%$ .
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$Y$ : Anzahl der Flaschen mit einer Füllmenge von weniger als $600\mathrm{~ml}$ .
Berechne: $P_{100 ; 0{,}015}(Y=3)$ .
Es wird eine Flasche nach der anderen geöffnet und die Füllmenge überprüft.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält
Vor der ersten Flasche mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ Inhalt müssen drei Flaschen mit mindestens $600\mathrm{~ml}$ Inhalt geöffnet worden sein. Daher ist die Wahrscheinlichkeit $0{,}985^{3} \cdot 0{,}015 \approx 0{,}014=1{,}4\;\%$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält, beträgt rund $1,4 %$ .
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Drei Flaschen mit mindestens $600\mathrm{~ml}\;\Rightarrow\;p=0{,}985^3$ .
Eine Flasche mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ $\;\Rightarrow\;p=0{,}015$ .
Bilde das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten.

An einen Supermarkt wird regelmäßig die gleiche Anzahl von Flaschen geliefert. Dabei enthalten im Mittel mehr als $780$ Flaschen mindestens $600\mathrm{~ml}$ Öl.

Ermitteln Sie die Anzahl der Flaschen, die eine regelmäßige Lieferung mindestens umfasst.

Ein Supermarkt erhält eine Lieferung von $150$ Kartons.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind
$Y$ : Anzahl der fehlerhaften Kartons
$Y$ ist binomialverteilt mit $n = 150$ und $p = P (X > 1)$
$p=P(X>1)=\text{binomCdf}(12{,}0.015{,}2,12)\approx0{,}0134$
$3 %$ von $150$ Kartons sind $4{,}5\;\Rightarrow\;$ mehr als $3 %$ sind demnach $5$ Kartons oder mehr, die fehlerhaft sind.
Berechne $P(Y\geq 5)=\text{binomCdf}(150{,}0.0134{,}5,150)\approx0{,}0523$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind, beträgt rund $5 %$ .
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$Y$ : Anzahl der fehlerhaften Kartons und $Y$ ist binomialverteilt mit $n = 150$ und $p = P (X > 1)$
Berechne $p$ .
Berechne $3 %$ von $150$ und überlege, was mehr als $3 %$ bedeutet.
Berechne $P(Y\geq 5)$ .

2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Füllmenge der Flaschen soll als normalverteilt mit einem Erwartungswert von $600{,}5\mathrm{~ml}$ und einer Standardabweichung von $0{,}23 \mathrm{~ml}$ angenommen werden.
1. Eine Flasche wird zufällig ausgewählt.
  Ermitteln Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: (3 P)
  $A$ : „Die Flasche enthält mehr als $601 \mathrm{ml}$ Öl.“
  $B$ : „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5 \mathrm{ml}$ vom Erwartungswert ab.“
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  $A$ : „Die Flasche enthält mehr als $601 \mathrm{~ml}$ Öl.“
  $X$ : Füllmenge in $\mathrm{ml}$
  Normalverteilung mit $\mu=600{,}5\; \mathrm{ml}$ und $\sigma=0{,}23\; \mathrm{ml}$
  Gesucht ist: $P(X>601)=\text{normCdf}(601,\infty,600.5, 0.23)\approx0{,}0148558$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche mehr als $601\; \mathrm{ml}$ Öl enthält, beträgt rund $1,5 %$ .
  B: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\; \mathrm{ml}$ vom Erwartungswert ab.“
  Es ist $\mu-0{,}5=600$ und $\mu+0{,}5=601$
  Berechne: $P(600\leq X\leq601)=\text{normCdf}(600, 601, 600.5, 0.23)\approx0{,}9702884$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge der Flasche um höchstens $0{,}5\; \mathrm{ml}$ vom Erwartungswert abweicht, beträgt etwa $97 %$ .
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  A: Berechne $P(X>601)=\text{normCdf}(601,\infty,600.5, 0.23)$ .
  B: Berechne $P(600\leq X\leq601)=\text{normCdf}(600, 601, 600.5, 0.23)$ .
2. Die Füllmenge einer Flasche ist nie negativ. Die Normalverteilung, die zur Beschreibung der Füllmenge der Flaschen verwendet wird, ist jedoch auch für negative reelle Zahlen definiert und nimmt dabei ausschließlich positive Werte an.
  Begründen Sie, dass die Verwendung der Normalverteilung dennoch sinnvoll ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  Begründe, dass die Verwendung der Normalverteilung dennoch sinnvoll ist
  Die Wahrscheinlichkeit, die die verwendete Normalverteilung für negative Füllmengen liefert, ist so gering, dass sie im Sachzusammenhang vernachlässigt werden kann.
  $P_{600{,}5 ; 0{,}23}(X<0) \approx 0$ .
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  Berechne $P_{600{,}5 ; 0{,}23}(X<0)$ .
3. Das Unternehmen möchte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als $600 \mathrm{~ml}$ Öl enthält, verringern. Für die nötige Änderung der Maschine, die die Flaschen befüllt, gibt es zwei Vorschläge:
  Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\mathrm{~ml}$ wird erhöht.
  Vorschlag 2: Die Genauigkeit, mit der die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\mathrm{~ml}$ erreicht wird, wird erhöht.
  Die eingestellte Füllmenge entspricht stets dem Erwartungswert der Zufallsgröße.
  Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, die vor der Änderung der Maschine die Füllmenge der Flaschen beschreibt.
  Skizzieren Sie in der Abbildung 1 den Graphen einer Dichtefunktion, die zu Vorschlag 1 passt und in der Abbildung 2 den Graphen einer Dichtefunktion, die zum Vorschlag 2 passt.
  Begründen Sie für jeden Vorschlag mithilfe des skizzierten Graphen, dass damit das Ziel des Unternehmens erreicht wird. (6 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  Skizze des Graphen einer Dichtefunktion, die zu Vorschlag 1 passt und Dichtefunktion, die zum Vorschlag 2 passt
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als $600 \mathrm{~ml}$ Öl enthält, entspricht dem Inhalt der Fläche, die für $X \leq 600$ zwischen dem Graphen der Dichtefunktion und der $x$ -Achse liegt.
  Jeder der beiden Vorschläge führt zu einer Verkleinerung dieser Fläche.
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  Vorschlag 1:
  Der Erwartungswert der Verteilung muss größer werden, d.h. die Verteilung rutscht nach rechts. Die Form der Verteilung ändert sich nicht.
  Vorschlag 2:
  Der Erwartungswert wird beibehalten. Die Streuung um den Erwartungswert soll aber kleiner sein, d.h. der Graph wird etwas "schlanker". Dafür muss aber das Maximum größer werden, denn die Fläche unter dem Graphen muss weiterhin den Wert $1$ haben.
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche weniger als $600\; \mathrm{ml}$ Öl enthält, entspricht der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse in Intervall $]-\infty; 600]$ . Vorschlag 1 führt durch die Verschiebung in positive 𝑥-Richtung zu einer Verkleinerung dieser Fläche.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle n\cdot 0{,}985$	$>$	$\displaystyle 780$	$\displaystyle :0{,}985$
$\displaystyle n$	$>$	$\displaystyle \dfrac{780}{0{,}985}$
$\displaystyle n$	$>$	$\displaystyle 791{,}88$
$\displaystyle n$	$\geq ≥$	$\displaystyle 792$

B4

Aufgabe 1

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und erläutere den Ansatz der Rechnung

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 100100100 Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als 600 ml600\mathrm{~ml}600 ml Öl befinden

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Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als 600 ml600\mathrm{~ml}600 ml Öl enthält

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Ermittele die Anzahl der Flaschen, die eine regelmäßige Lieferung mindestens umfasst

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Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 %3\;\%3% der Kartons fehlerhaft sind

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Aufgabe 2

AAA : „Die Flasche enthält mehr als 601 ml601 \mathrm{~ml}601 ml Öl.“

B: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um 0,5 ml0{,}5\; \mathrm{ml}0,5ml vom Erwartungswert ab.“

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Begründe, dass die Verwendung der Normalverteilung dennoch sinnvoll ist

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Skizze des Graphen einer Dichtefunktion, die zu Vorschlag 1 passt und Dichtefunktion, die zum Vorschlag 2 passt

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl befinden

Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält

Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind

$A$ : „Die Flasche enthält mehr als $601 \mathrm{~ml}$ Öl.“

B: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\; \mathrm{ml}$ vom Erwartungswert ab.“