B4 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Ein Unternehmen stellt Olivenöl her und füllt es in Flaschen ab. Laut Aufdruck beträgt die Füllmenge jeder Flasche $600\mathrm{~ml}$ .

Die Flaschen werden in Kartons verpackt; jeder Karton enthält zwölf Flaschen. Ein Karton gilt als fehlerhaft, wenn mehr als eine Flasche weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält. Für jede Flasche beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält, $1,5 %$ .

Die Rechnung $0{,}985^{12} \approx 83{,}4 \%$ stellt im Sachzusammenhang die Lösung einer Aufgabe dar.
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und erläutern Sie den Ansatz der Rechnung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Formuliere eine passende Aufgabenstellung und erläutere den Ansatz der Rechnung
Aufgabenstellung: „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton alle Flaschen mindestens $600\mathrm{~ml}$ Öl enthalten.“
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche mindestens 600 ml Öl enthält, beträgt $1 - 0,015 = 0,985$ , die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Flaschen eines Kartons ( $12$ ) diese Eigenschaft haben, $0{,}985^{12}$ .
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche mindestens $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält, beträgt $1 - 0,015 = 0,985$ .
$12$ Flaschen sind in einem Karton. Was bedeutet dann $0{,}985^{12}$ ?
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl befinden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl befinden
$Y$ : Anzahl der Flaschen mit einer Füllmenge von weniger als $600\mathrm{~ml}$ .
Berechne: $P_{100 ; 0{,}015}(Y=3)=\text{binomPdf}(100;0{,}015{,}3) \approx 0{,}1259\approx12{,}6\;\%$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl befinden, beträgt rund $12{,}6\;\%$ .
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$Y$ : Anzahl der Flaschen mit einer Füllmenge von weniger als $600\mathrm{~ml}$ .
Berechne: $P_{100 ; 0{,}015}(Y=3)$ .
Es wird eine Flasche nach der anderen geöffnet und die Füllmenge überprüft.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält
Vor der ersten Flasche mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ Inhalt müssen drei Flaschen mit mindestens $600\mathrm{~ml}$ Inhalt geöffnet worden sein. Daher ist die Wahrscheinlichkeit $0{,}985^{3} \cdot 0{,}015 \approx 0{,}014=1{,}4\;\%$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält, beträgt rund $1,4 %$ .
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Drei Flaschen mit mindestens $600\mathrm{~ml}\;\Rightarrow\;p=0{,}985^3$ .
Eine Flasche mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ $\;\Rightarrow\;p=0{,}015$ .
Bilde das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten.

An einen Supermarkt wird regelmäßig die gleiche Anzahl von Flaschen geliefert. Dabei enthalten im Mittel mehr als $780$ Flaschen mindestens $600\mathrm{~ml}$ Öl.

Ermitteln Sie die Anzahl der Flaschen, die eine regelmäßige Lieferung mindestens umfasst.

Ein Supermarkt erhält eine Lieferung von $150$ Kartons.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind
$Y$ : Anzahl der fehlerhaften Kartons
$Y$ ist binomialverteilt mit $n = 150$ und $p = P (X > 1)$
$p=P(X>1)=\text{binomCdf}(12{,}0.015{,}2,12)\approx0{,}0134$
$3 %$ von $150$ Kartons sind $4{,}5\;\Rightarrow\;$ mehr als $3 %$ sind demnach $5$ Kartons oder mehr, die fehlerhaft sind.
Berechne $P(Y\geq 5)=\text{binomCdf}(150{,}0.0134{,}5,150)\approx0{,}0523$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind, beträgt rund $5 %$ .
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$Y$ : Anzahl der fehlerhaften Kartons und $Y$ ist binomialverteilt mit $n = 150$ und $p = P (X > 1)$
Berechne $p$ .
Berechne $3 %$ von $150$ und überlege, was mehr als $3 %$ bedeutet.
Berechne $P(Y\geq 5)$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$\displaystyle n\cdot 0{,}985$	$>$	$\displaystyle 780$	$\displaystyle :0{,}985$
$\displaystyle n$	$>$	$\displaystyle \dfrac{780}{0{,}985}$
$\displaystyle n$	$>$	$\displaystyle 791{,}88$
$\displaystyle n$	$\geq ≥$	$\displaystyle 792$

Aufgabe 1

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und erläutere den Ansatz der Rechnung

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 100100100 Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als 600 ml600\mathrm{~ml}600 ml Öl befinden

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Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als 600 ml600\mathrm{~ml}600 ml Öl enthält

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Ermittele die Anzahl der Flaschen, die eine regelmäßige Lieferung mindestens umfasst

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Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 %3\;\%3% der Kartons fehlerhaft sind

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl befinden

Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600\mathrm{~ml}$ Öl enthält

Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind