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Aufgabe 1

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f(x)=127x3−43x. Ihr Graph Gf hat den Wendepunkt (0|0).

  1. BegrĂŒnden Sie, dass Gf symmetrisch bezĂŒglich seines Wendepunktes ist.

    Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Gf mit den Koordinatenachsen.

    (1 P + 2 P)

  2. FĂŒr jedes b∈ℝ,b>0, gilt ∫−bbf(x)dx=0.

    ErklÀren Sie dieses Ergebnis. (2 P)

  3. Gf hat zwei Extrempunkte.

    Zeigen Sie, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der x-Koordinate 12 ist. (3 P)

  4. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an Gf im Punkt P(6|f(6)).

    [Zur Kontrolle: t:y=83x−16.] (3 P)

  5. (i) Die Tangente t hat mit Gf neben P nur den Punkt Q(−12|f(−12)) gemeinsam. Geben Sie die Gleichung einer Stammfunktion der Funktion d mit d(x)=f(x)−(83x−16) an und berechnen Sie den Inhalt der FlĂ€che, die Gf und t einschließen. (4 P)

    (ii) Die von Gf und t eingeschlossene FlÀche wird durch die y-Achse in zwei TeilflÀchen unterteilt.

    Ermitteln Sie den Anteil der linken TeilflÀche an der von Gf und t eingeschlossenen GesamtflÀche. (3 P)