In Bild 1 $(x=\mathrm{11,37}(x=11\{,\}37$) und Bild 2 ($x=\mathrm{6,00}x=6\{,\}00$) sind zwei mögliche Verpackungsschachteln mit einem Volumen von $400{\text{ cm}}^{3}400\; \backslash cm^3$ nicht maßstäblich dargestellt. Zeigen Sie, dass beide Schachteln ganzzahlig gerundet den gleichen Oberflächeninhalt haben.

Beide Schachteln verursachen die gleichen Herstellungskosten. Nennen Sie zwei Kriterien, die bei einer Entscheidung für eine der beiden Verpackungsschachteln ausschlaggebend sein können.

(4 BE)

Aus Umweltschutzgründen soll die Verpackung eine möglichst geringe Oberfläche $AA$haben. Ermitteln Sie die Länge $xx$ in $\text{ cm}\backslash cm$ so, dass $A(x)A(x)$ für $2\le x\le 202\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 20$ minimal ist und berechnen Sie die Maßzahl des minimalen Oberflächeninhalts.

$[[$mögliches Teilergebnis: ${\displaystyle A^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{3}{2}\sqrt{3}x-\frac{8000\sqrt{3}}{9x^2}}\backslash displaystyle\; A\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{3\}\{2\}\backslash sqrt\{3\}x-\backslash dfrac\{8000\backslash sqrt\{3\}\}\{9x^2\}$$]]$ (6 BE)

Zeichnen Sie den Graphen $G_{A}G\_A$ der Funktion $AA$ für $2\le x\le 202\backslash le\; x\backslash le20$ in ein geeignetes

Koordinatensystem. Kennzeichnen Sie am Graphen $G_{A}G\_A$ die Punkte $P_1(6\mathrm{\mid }A(6))P\_1(6\; |A\; (6))$ und $(P_2(\mathrm{11,37}\mathrm{\mid }A(\mathrm{11,37}))\backslash left(P\_2(11\{,\}37|A(11\{,\}37)\backslash right)$. Geben Sie die Koordinaten des absoluten Hochpunktes von $G_{A}G\_A$ an. (6 BE)

Ein Süßwarenhersteller entscheidet sich für eine Schachtel mit $x=8\text{ cm}x\; =8\backslash cm$ bei einem

Volumen von $400{\text{ cm}}^{3}400\backslash cm^3$. Berechnen Sie die Flächenmaßzahl des trapezförmigen Bodens und die Höhe $hh$ der zugehörigen Schachtel. (3 BE)