Teil 2 Analysis I: mit Hilfsmitteln

Lesen Sie jeweils die Art und die Gleichung der Asymptoten von $G_{f}G\_f$ ab und geben Sie diese an. (2 BE)

Gegeben ist die Funktion g durch die Gleichung $g(x)=-xg(x)=-x$ mit $D_g=\mathbb{R}D\_g=\backslash mathbb\{R\}$. Der Graph der Funktion g heißt $G_{g}G\_g$. Zeichnen Sie $G_{g}G\_g$ in die obige Abbildung ein und berechnen Sie die exakten x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen $G_{f}G\_f$ und $G_{g}G\_g$.

$[[$ Teilergebnis: $x=1+\sqrt{2}x=1+\backslash sqrt\{2\}\backslash$$]]$

(5 BE)

Gegeben sind die bestimmten Integrale

${\displaystyle {\int }_1^{1+\sqrt{2}}(-1-g(x))\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_1^\{1+\backslash sqrt\{2\}\}(-1-g(x))\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$ und ${\displaystyle {\int }_{1+\sqrt{2}}^3(-1-f(x))\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{1+\backslash sqrt\{2\}\}^3(-1-f(x))\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$

Die Integralwerte können jeweils geometrisch als Flächenmaßzahl eines Flächenstückes im Koordinatensystem der Aufgabe a) interpretiert werden. Kennzeichnen Sie die beiden Flächenstücke in der Zeichnung der Aufgabe a). (3 BE)

Die reelle Funktion $h:x\to \ln (f(x))h:x\backslash rightarrow\backslash ln(f(x))$ besitzt den maximalen Definitionsbereich

$D_h=]-1;1]D\_h=]-1;1]$. Der Graph der Funktion $hh$ heißt $G_{h}G\_h$. Der Graph $G_{h}G\_h$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems.

(Nachweis nicht erforderlich!).

1) Ermitteln Sie mithilfe von $G_{f}G\_f$ das Verhalten der Funktionswerte von $hh$ bei Annäherung an die Ränder von $D_{h}D\_h$. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von $G_{h}G\_h$ an. (4 BE)

2) Bestätigen Sie rechnerisch, dass $G_{h}G\_h$ keine relativen Extrempunkte besitzt.

$[[$mögliches Teilergebnis: ${\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2}{x^2-1}}\backslash displaystyle\; h\text{'}(x)=\backslash frac\{-2\}\{x^2-1\}$$]]$ (6 BE)

3) Zeichnen Sie $G_{h}G\_h$ mit seinen Asymptoten in das Koordinatensystem von Aufgabe a) ein. (4 BE)

In Bild 1 $(x=\mathrm{11,37}(x=11\{,\}37$) und Bild 2 ($x=\mathrm{6,00}x=6\{,\}00$) sind zwei mögliche Verpackungsschachteln mit einem Volumen von $400{\text{ cm}}^{3}400\; \backslash cm^3$ nicht maßstäblich dargestellt. Zeigen Sie, dass beide Schachteln ganzzahlig gerundet den gleichen Oberflächeninhalt haben.

Beide Schachteln verursachen die gleichen Herstellungskosten. Nennen Sie zwei Kriterien, die bei einer Entscheidung für eine der beiden Verpackungsschachteln ausschlaggebend sein können.

(4 BE)

Aus Umweltschutzgründen soll die Verpackung eine möglichst geringe Oberfläche $AA$haben. Ermitteln Sie die Länge $xx$ in $\text{ cm}\backslash cm$ so, dass $A(x)A(x)$ für $2\le x\le 202\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 20$ minimal ist und berechnen Sie die Maßzahl des minimalen Oberflächeninhalts.

$[[$mögliches Teilergebnis: ${\displaystyle A^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{3}{2}\sqrt{3}x-\frac{8000\sqrt{3}}{9x^2}}\backslash displaystyle\; A\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{3\}\{2\}\backslash sqrt\{3\}x-\backslash dfrac\{8000\backslash sqrt\{3\}\}\{9x^2\}$$]]$ (6 BE)

Zeichnen Sie den Graphen $G_{A}G\_A$ der Funktion $AA$ für $2\le x\le 202\backslash le\; x\backslash le20$ in ein geeignetes

Koordinatensystem. Kennzeichnen Sie am Graphen $G_{A}G\_A$ die Punkte $P_1(6\mathrm{\mid }A(6))P\_1(6\; |A\; (6))$ und $(P_2(\mathrm{11,37}\mathrm{\mid }A(\mathrm{11,37}))\backslash left(P\_2(11\{,\}37|A(11\{,\}37)\backslash right)$. Geben Sie die Koordinaten des absoluten Hochpunktes von $G_{A}G\_A$ an. (6 BE)

Ein Süßwarenhersteller entscheidet sich für eine Schachtel mit $x=8\text{ cm}x\; =8\backslash cm$ bei einem

Volumen von $400{\text{ cm}}^{3}400\backslash cm^3$. Berechnen Sie die Flächenmaßzahl des trapezförmigen Bodens und die Höhe $hh$ der zugehörigen Schachtel. (3 BE)