Teil 2 Analysis I: mit Hilfsmitteln

Lies jeweils die Art und die Gleichung der Asymptoten von $G_f$ ab und gib diese an

Senkrechte Asymptote bei $x=1$.

Waagerechte Asymptote bei $y=-1$.

Löse die Gleichung $-x={\displaystyle \frac{x+1}{1-x}}$.

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Die exakten x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen $G_f$ und $G_g$ sind $x_1=1-\sqrt{2}$ und $x_2=1+\sqrt{2}$.

Türkisfarbige Fläche entspricht dem $${\displaystyle {\int }_1^{1+\sqrt{2}}(-1-g(x))\mathrm{d}x}$$.

Grüne Fläche entspricht dem $${\displaystyle {\int }_{1+\sqrt{2}}^3(-1-f(x))\mathrm{d}x}$$.

Anmerkung: Die Zahlenwerte der beiden Flächeninhalte sind in der Aufgabenstellung nicht gefordert.

1) Ermittle mithilfe von $G_f$ das Verhalten der Funktionswerte von $h$ bei Annäherung an die Ränder von $D_h$

Gegeben ist $D_h=]-1;1[$.

Annäherung an den linken Rand von $D_h$:$${\displaystyle \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \underset{x\to -1^{+}}{\lim }h(x)=-\infty }}$$

Annäherung an den rechten Rand von $D_h$:$${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=+\infty \Rightarrow {\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }h(x)=+\infty }}$$

Gib die Gleichungen aller Asymptoten von $G_h$ an

$G_h$ hat zwei senkrechte Asymptoten $x=-1$ und $x=1$.

2) Bestätige rechnerisch, dass $G_h$ keine relativen Extrempunkte besitzt

$h(x)=\ln (f(x))=\ln \left({\displaystyle \frac{x+1}{1-x}}\right)$

Beachte beim Ableiten die Quotienten- und Kettenregel.

$h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{1-x}}}}\cdot {\displaystyle \frac{(1-x)\cdot 1-(x+1)\cdot (-1)}{(1-x{)}^2}}={\displaystyle \frac{1-x}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{(1-x)\cdot 1-(x+1)\cdot (-1)}{(1-x{)}^2}}$

$h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1-x}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{1-x+x+1}{(1-x{)}^2}}={\displaystyle \frac{1-x}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{(1-x{)}^2}}={\displaystyle \frac{2}{(x+1)\cdot (1-x)}}={\displaystyle \frac{2}{1-x^2}}={\displaystyle \frac{-2}{x^2-1}}✓$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $h^{\prime }(x)=0$.

$\Rightarrow 0=-2$ ergibt einen Widerspruch, d.h. $G_h$ hat keine relativen Extrempunkte.

3) Zeichne $G_h$ mit seinen Asymptoten in das Koordinatensystem von Aufgabe a) ein

Erstelle eine Wertetabelle. Der Graph $G_h$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. Deshalb reicht es nur negative x-Werte zu verwenden. Die positiven Werte können wegen der Punktsymmetrie entsprechend übertragen werden.

Übertrage die Punkte in das Koordinatensystem und verbinde sie.

Zeige, dass beide Schachteln ganzzahlig gerundet den gleichen Oberflächeninhalt haben

Gegeben ist $${\displaystyle A(x)=\frac{3}{4}\sqrt{3}{x}^2+\frac{8000\sqrt{3}}{9x}}$$.

Berechne $A(\mathrm{11,37})$ und $A(\mathrm{6,00})$:

$A(\mathrm{11,37})=\frac{3}{4}\sqrt{3}\cdot {\mathrm{11,37}}^2+\frac{8000\sqrt{3}}{9\cdot \mathrm{11,37}}\approx 303$

$A(6)=\frac{3}{4}\sqrt{3}\cdot 6^2+\frac{8000\sqrt{3}}{9\cdot 6}\approx 303$

Ganzzahlig gerundet haben beide Schachteln den gleichen Oberflächeninhalt von $303{\mathrm{cm}}^2$.

Nenne zwei Kriterien, die bei einer Entscheidung für eine der beiden Verpackungsschachteln ausschlaggebend sein können

Z.B. gefällt das Design einer Schachtel besser oder eine Schachtel hat eine bessere Standfestigkeit oder die Stabilität einer Schachtel ist besser oder eine Schachtel kann besser gestapelt werden.

(Zwei Kriterien reichen.)

Ermittle die Länge $x$ in$\text{ cm}$ so, dass $A(x)$ für $2\le x\le 20$ minimal ist

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $A^{\prime }(x)=0$.

Berechne die 1. Ableitung:

$A^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{3}x-{\displaystyle \frac{8000\sqrt{3}}{9x^2}}$

Löse die Gleichung $0={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{3}x-{\displaystyle \frac{8000\sqrt{3}}{9x^2}}$.

Erstelle eine Monotonietabelle:

$A^{\prime }(8)={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{3}\cdot 8-{\displaystyle \frac{8000\sqrt{3}}{9\cdot 8^2}}\approx -\mathrm{3,27}$, ⁣$$ $A^{\prime }(9)={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{3}\cdot 9-{\displaystyle \frac{8000\sqrt{3}}{9\cdot 9^2}}\approx \mathrm{4,38}$

Demnach gibt es bei $\mathrm{8,40}\mathrm{cm}$ ein absolutes Minimum.

$A(\mathrm{8,40})={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{3}\cdot \mathrm{8,40}-{\displaystyle \frac{8000\sqrt{3}}{9\cdot {\mathrm{8,40}}^2}}\approx \mathrm{274,95}{\mathrm{cm}}^2\Rightarrow TP(\mathrm{8,40}|\mathrm{274,95})$

$(A_{min}\approx \mathrm{274,95}{\mathrm{cm}}^2)$

Zeichne den Graphen $G_A$ der Funktion $A$ für $2\le x\le 20$ in ein geeignetes Koordinatensystem

Kennzeichne am Graphen $G_A$ die Punkte $P_1(6|A(6))$ und $(P_2(\mathrm{11,37}|A(\mathrm{11,37}))$

Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.

Gib die Koordinaten des absoluten Hochpunktes von $G_A$ an

Die Koordinaten des absoluten Hochpunktes von $G_A$ sind $HP(2|\mathrm{775,00})$

(Randwert).

Berechne die Flächenmaßzahl des trapezförmigen Bodens und die Höhe $h$ der zugehörigen Schachtel

Gegeben sind $x=8\text{ cm}$ und das Volumen von $400{\text{ cm}}^3$.

Nach der Abbildung bei der Aufgabenstellung ist $x=8$ und $2\cdot x=16$.

Dann ergibt sich das folgende Trapez.

Die Höhe $h_T$ des Trapezes wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

$h_T^2=8^2-4^2\Rightarrow h_T^2=64-16=48\Rightarrow h_T=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

(Bei Längen gilt nur die positive Wurzel.)

$A_{\text{Trapez}}={\displaystyle \frac{a+c}{2}}\cdot h_T$

$G=A_{\text{Trapez}}={\displaystyle \frac{16+8}{2}}\cdot 4\sqrt{3}=48\sqrt{3}\approx \mathrm{83,14}{\mathrm{cm}}^2$

Die Flächenmaßzahl des trapezförmigen Bodens ist rund $\mathrm{83,14}{\mathrm{cm}}^2$.

Für das Volumen der Verpackungsschachtel gilt:

$V=G\cdot h$

$\Rightarrow h={\displaystyle \frac{V}{G}}={\displaystyle \frac{400}{48\sqrt{3}}}\approx \mathrm{4,81}$

Die Höhe $h$ der zugehörigen Schachtel beträgt rund $\mathrm{4,81}\mathrm{cm}$.