Teil 2 Analysis I: mit Hilfsmitteln

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f$ durch die
Gleichung $f (x) = \frac{x + 1}{1 - x}$ mit $D_{f} = ℝ$ \ ${1$ }. Der Graph der Funktion $f$ heißt $G_{f}$ . Die Abbildung zeigt einen Teil von $G_{f}$ mit seinen beiden Asymptoten.
1. Lesen Sie jeweils die Art und die Gleichung der Asymptoten von $G_{f}$ ab und geben Sie diese an. (2 BE)
2. Gegeben ist die Funktion g durch die Gleichung $g (x) = - x$ mit $D_{g} = ℝ$ . Der Graph der Funktion g heißt $G_{g}$ . Zeichnen Sie $G_{g}$ in die obige Abbildung ein und berechnen Sie die exakten x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen $G_{f}$ und $G_{g}$ .
  $[$ Teilergebnis: $x = 1 + \sqrt{2}$ $]$
  (5 BE)
3. Gegeben sind die bestimmten Integrale
  $\int_{1}^{1 + \sqrt{2}} (- 1 - g (x)) d x$ und $\int_{1 + \sqrt{2}}^{3} (- 1 - f (x)) d x$
  Die Integralwerte können jeweils geometrisch als Flächenmaßzahl eines Flächenstückes im Koordinatensystem der Aufgabe a) interpretiert werden. Kennzeichnen Sie die beiden Flächenstücke in der Zeichnung der Aufgabe a). (3 BE)
4. Die reelle Funktion $h : x \to \ln (f (x))$ besitzt den maximalen Definitionsbereich
  $D_{h} =] - 1; 1]$ . Der Graph der Funktion $h$ heißt $G_{h}$ . Der Graph $G_{h}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems.
  (Nachweis nicht erforderlich!).
  1) Ermitteln Sie mithilfe von $G_{f}$ das Verhalten der Funktionswerte von $h$ bei Annäherung an die Ränder von $D_{h}$ . Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von $G_{h}$ an. (4 BE)
  2) Bestätigen Sie rechnerisch, dass $G_{h}$ keine relativen Extrempunkte besitzt.
  $[$ mögliches Teilergebnis: $h^{'} (x) = \frac{- 2}{x^{2} - 1}$ $]$ (6 BE)
  3) Zeichnen Sie $G_{h}$ mit seinen Asymptoten in das Koordinatensystem von Aufgabe a) ein. (4 BE)
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Eine neue Sorte Pralinen soll mit ansprechender Verpackung auf den Markt kommen. Diese hat die nebenstehend abgebildete Form eines geraden Prismas mit trapezförmiger Grundfläche. Das Volumen der Verpackungsschachtel beträgt $400 {cm}^{3}$ . Die Maßzahl A der Oberfläche der oben offenen Schachtel in
${cm}^{2}$ lässt sich in Abhängigkeit von der Länge $x$ in $cm$ (siehe nebenstehende Abbildung) durch die Gleichung $A (x) = \frac{3}{4} \sqrt{3} x^{2} + \frac{8000 \sqrt{3}}{9 x}$ mit $2 \leq x \leq 20$
darstellen. Auf die Mitführung der Einheiten kann beiden folgenden Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse falls nicht anders gefordert auf zwei Nachkommastellen.
1. In Bild 1 $(x = 11,37$ ) und Bild 2 ( $x = 6,00$ ) sind zwei mögliche Verpackungsschachteln mit einem Volumen von $400 {cm}^{3}$ nicht maßstäblich dargestellt. Zeigen Sie, dass beide Schachteln ganzzahlig gerundet den gleichen Oberflächeninhalt haben.
  Beide Schachteln verursachen die gleichen Herstellungskosten. Nennen Sie zwei Kriterien, die bei einer Entscheidung für eine der beiden Verpackungsschachteln ausschlaggebend sein können.
  (4 BE)
2. Aus Umweltschutzgründen soll die Verpackung eine möglichst geringe Oberfläche $A$ haben. Ermitteln Sie die Länge $x$ in $cm$ so, dass $A (x)$ für $2 \leq x \leq 20$ minimal ist und berechnen Sie die Maßzahl des minimalen Oberflächeninhalts.
  $[$ mögliches Teilergebnis: $A^{'} (x) = \frac{3}{2} \sqrt{3} x - \frac{8000 \sqrt{3}}{9 x^{2}}$ $]$ (6 BE)
3. Zeichnen Sie den Graphen $G_{A}$ der Funktion $A$ für $2 \leq x \leq 20$ in ein geeignetes
  Koordinatensystem. Kennzeichnen Sie am Graphen $G_{A}$ die Punkte $P_{1} (6 | A (6))$ und $(P_{2} (11,37 | A (11,37))$ . Geben Sie die Koordinaten des absoluten Hochpunktes von $G_{A}$ an. (6 BE)
4. Ein Süßwarenhersteller entscheidet sich für eine Schachtel mit $x = 8 cm$ bei einem
  Volumen von $400 {cm}^{3}$ . Berechnen Sie die Flächenmaßzahl des trapezförmigen Bodens und die Höhe $h$ der zugehörigen Schachtel. (3 BE)

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