Bestimme diejenige reelle Zahl $mm$ mit , für die der Graph von $ff$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot xy=m\; \backslash cdot\; x$ eine Fläche mit dem Inhalt $3636$ einschließen

Gegeben: $f(x)=x^{2}f(x)=x^\{2\}$, $y=m\cdot xy=m\; \backslash cdot\; x$ mit und $A=36A=36$

Berechne die Schnittpunkte:

Setze $f(x)=yf(x)=y$:

$x^2=m\cdot xx^2=m\backslash cdot\; x$

Wende den Satz vom Nullprodukt an:

$x=0\vee x=mx=0\; \backslash vee\; x=m$

Für und verläuft die Gerade oberhalb des Graphen von $ff$.

Berechnung der eingeschlossenen Fläche für :

${\displaystyle {\int }_m^0(m\cdot x-x^2)\mathrm{d}x={[\frac{1}{2}m\cdot x^2-\frac{1}{3}{x}^3]}_m^0=-(\frac{1}{2}{m}^3-\frac{1}{3}{m}^3)=-\frac{1}{6}{m}^3}\backslash displaystyle\backslash int\_\{m\}^\{0\}\backslash left(m\backslash cdot\; x-x^\{2\}\backslash right)\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash left[\backslash frac\{1\}\{2\}\; m\backslash cdot\; x^\{2\}-\backslash frac\{1\}\{3\}\; x^\{3\}\backslash right]\_\{m\}^\{0\}=-\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; m^\{3\}-\backslash frac\{1\}\{3\}\; m^\{3\}\backslash right)=-\backslash frac\{1\}\{6\}\; m^\{3\}$

Bestimmung der gesuchten Zahl $m:-\frac{1}{6}{m}^3=36\iff m=-6m:-\backslash frac\{1\}\{6\}\; m^\{3\}=36\; \backslash Leftrightarrow\; m=-6$.

Der Graph von $ff$ und die Gerade mit der Gleichung $y=-6\cdot xy=-6\; \backslash cdot\; x$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt $3636$ ein.