B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 und 2.

Das Hotel soll aus drei Gebäuden bestehen, die jeweils die gleiche Form besitzen. Durch den Körper $K$ wird Gebäude I modelliert, die Gebäude II und III sind gegenüber Gebäude I jeweils um $120^{\circ}$ gedreht (siehe Abbildung 4). Alle drei Gebäude stehen so aneinander, dass sie einen dreieckigen Innenhof bilden. In der Modellierung liegt dieser Innenhof in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene.

Die nebenstehende Abbildung 5 zeigt das Modell des Hotels von oben.

$(A_{3} (\frac{\sqrt{75}}{3} | 5 | 0), A_{4} (\frac{\sqrt{75}}{3} | - 5 | 0))$

Der Innenhof $A_{4} A_{3} P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$ .
[Zur Kontrolle: $P (- \frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} | 0 | 0) \approx P (- 5,77 | 0 | 0) .]$ (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichseitiges Dreieck
Ermittele rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$
Bekannt ist: Der Innenhof $A_{4} A_{3} P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
Aus Symmetriegründen muss der Punkt $P$ auf der $x_{1}$ -Achse liegen (siehe Abbildung 5).
Die Differenz der $x_{2}$ -Koordinaten von $A_{3}$ und $A_{4}$ ist gleich $10$ , d.h. die Seiten des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ besitzen eine Länge von $| A_{3} A_{4} | = 10 LE$ .
Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
$h_{D} = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = \sqrt{75} = 5 \cdot \sqrt{3}$
Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ beträgt $5 \cdot \sqrt{3} LE$ .
Der Höhenschnittpunkt im gleichseitigen Dreieck teilt jede Höhe im Verhältnis $2 : 1$ .
Vom Koordinatenursprung aus gesehen hat $P$ die $x_{1}$ -Koordinate $p_{1} = - \frac{2}{3} \cdot h_{D} = - \frac{2}{3} \cdot \sqrt{75}$ .
Damit gilt: $P (- \frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} | 0 | 0) \approx P (- 5,77 | 0 | 0)$ .
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Der Innenhof $A_{4} A_{3} P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
Aus Symmetriegründen muss der Punkt $P$ auf der $x_{1}$ -Achse liegen (siehe Abbildung 3).
Ermittele die Länge der Strecke $A_{3} A_{4}$ .
Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
Der Höhenschnittpunkt im gleichseitigen Dreieck teilt jede Höhe im Verhältnis $2 : 1$ .
Berechnen Sie den Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung $O (0 | 0 | 0)$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichseitiges Dreieck
Berechne den Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung $O (0 | 0 | 0)$
Gegeben ist $A_{4} (\frac{\sqrt{75}}{3} | - 5 | 0)$ und das Dreieck ist gleichseitig.
Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung ist gleich $\frac{2}{3} \cdot h_{D} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{75}$ .
$| \vec{{OA}_{4}} | = \frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} \approx 5,77$
Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung beträgt rund $5,77 LE$ .
Anmerkung: Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung kann auch mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
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Gegeben ist $A_{4} (\frac{\sqrt{75}}{3} | - 5 | 0)$ und das Dreieck ist gleichseitig.
Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung entspricht $\frac{2}{3} \cdot h_{D}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Ermittele rechnerisch die Koordinaten des Punktes P

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Berechne den Abstand von A4 zum Koordinatenursprung O(0|0|0)

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Ermittele rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$

Berechne den Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung $O (0 | 0 | 0)$