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Für die Bühnenbeleuchtung einer Theateraufführung an einer Beruflichen Oberschule wird ein Scheinwerfer (siehe Bild 1) installiert. Die Position des Scheinwerfers und der von ihm ausgeleuchtete Raum auf der Bühne wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des 3 beschrieben. Die x1x2Ebene des Koordinatensystems wird durch den Bühnenboden festgelegt. Die rechteckige Glasfläche des Scheinwerfers hat die Ecken

A(2|0|31), B(1|2|30), C(2|0|29) und D(1|2|30).

Bild

Die Vollausleuchtung mit dem

Scheinwerfer ohne Berücksichtigung des Halbschattens kann in guter Näherung durch den Körper PQRTABCD (siehe

Bild 2) beschrieben werden.

Die Punkte P(1303|313|0),

Q(6,5|24,5|0), R(2|5,8|0)

und T(23,5|5,9|0) sind die

Eckpunkte der ausgeleuchteten Fläche PQRT auf dem Bühnenboden. Die Koordi-

naten sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter ( dm).

Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Die Ergebnisse sind sinnvoll zu runden.

Bild
  1. Die Gerade gQB verläuft durch die Punkte Q und B. Die Gerade gRC verläuft durch die

    Punkte R und C. Die Geraden gQB und gRC schneiden sich im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S.

    [ Ergebnis: S(2|1|34) ]

    BE: 6

  2. Stellen Sie eine Gleichung der Lotgeraden l zur Ebene E, in der sich die Glasfläche ABCD befindet, durch den Punkt S auf und bestimmen Sie den Abstand des Punktes S zur Ebene E.

    [ Mögliches Teilergebnis: l: x=(0030)+t (214) , t ]

    BE: 8

  3. Die Diagonalen des Vierecks PQRT schneiden sich im Punkt M(15|7,5|0).

    (Nachweis nicht erforderlich). Zeigen Sie, dass der Punkt M auf der Geraden l liegt. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels der Geraden mit der x1x2Koordinatenebene.

    BE: 4

  4. Der Scheinwerfer besitzt einen Flügelbegrenzer (siehe Bild 3). Der einzustellende Winkel soll für den rechten Flügel berechnet werden. Vereinfachend soll angenommen werden, dass der rechte Flügel in der

    Ebene F liegt, die durch die PunkteB,A und Q festgelegt ist. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels zwischen der Ebene E und der Ebene F.

    Bild

    Schließen Sie anschließend auf die Größe des einzustellenden Winkels β zwischen der Glasfläche des Scheinwerfers und dem rechten Flügel des Flügelbegrenzers

    (siehe Bild 4).

    Bild

    BE: 5