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Aufgabe 1

Ein Unternehmen verkauft Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes kann modellhaft mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(x)=4000xe0,4xf(x)=4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4 x} beschrieben werden. Dabei ist xx die seit der Produkteinführung vergangene Zeit in Monaten und f(x)f(x) die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

  1. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht, und geben Sie diesen Wert an. (4 P)

  2. Zeichnen Sie den Graphen von ff für 0x180 \leq x \leq 18.

    Zeichnen Sie in Ihre Abbildung diejenigen Punkte des Graphen ein, die zu einer momentanen Änderungsrate des Absatzes in Höhe von 10001000 Stück pro Monat gehören. (2 P + 1 P)

  3. Im Zeitraum, der mit der Produkteinführung beginnt und 1818 Monate später endet, gibt es einen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten zunimmt, und einen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt. Zur Bestimmung dieser beiden Zeitpunkte wurden folgende Berechnungen durchgeführt:

    f(x)=0x=5.f(5)>0.\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& f''(x)=0 \Leftrightarrow x=5 . \\& f^{\prime \prime \prime}(5)>0 .\end{aligned}

    Erläutern Sie diese Berechnungen. Geben Sie die beiden gesuchten Zeitpunkte an und begründen Sie Ihre Angabe ohne weitere Rechnung. (3 P + 1 P + 2 P)