B5

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht, und gib diesen Wert an

Gegeben ist $f(x)=4000\cdot x\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}f(x)=4000\; \backslash cdot\; x\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-0\{,\}4\; x\}$.

Berechne $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4000\cdot (1\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}+x\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\cdot (-\mathrm{0,4}))=4000\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}(1-\mathrm{0,4}x)f\text{'}(x)=4000\backslash cdot\backslash left(1\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-0\{,\}4\; x\}+x\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-0\{,\}4x\; \}\backslash cdot\; (-0\{,\}4)\backslash right)=4000\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-0\{,\}4x\}(1-0\{,\}4x)$

Aus der notwendigen Bedingung $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f^\{\backslash prime\}(x)=0$ für lokale Extremstellen ergibt sich als einzige Lösung $x=\mathrm{2,5}x=2\{,\}5$.

Da zusätzlich $f^{\mathrm{\prime }}(2)\approx \mathrm{359,5}>0f^\{\backslash prime\}(2)\; \backslash approx\; 359\{,\}5>0$ und gilt, liegt an der Stelle $x=\mathrm{2,5}x=2\{,\}5$ ein Vorzeichenwechsel von $+\mapsto -+\backslash mapsto-$ vor, d.h. $x=\mathrm{2,5}x=2\{,\}5$ ist daher eine lokale Maximalstelle von $ff$ und als einzige lokale Extremstelle auch die globale Maximalstelle von $ff$.

Berechne den Funktionswert: $f(\mathrm{2,5})\approx \mathrm{3678,8}f(2\{,\}5)\; \backslash approx\; 3678\{,\}8$.

Die momentane Änderungsrate des Absatzes erreicht zweieinhalb Monate nach Produkteinführung mit ungefähr $36803680$ Stück pro Monat den größten Wert.

Zeichnen Sie den Graphen von $ff$ für $0\le x\le 180\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 18$ und zeichne in Deine Abbildung diejenigen Punkte des Graphen ein, die zu einer momentanen Änderungsrate des Absatzes in Höhe von $10001000$ Stück pro Monat gehören

Erläutere diese Berechnungen und gib die beiden gesuchten Zeitpunkte an und begründe Deine Angabe ohne weitere Rechnung

Die gesuchten Zeitpunkte sind durch die globalen Extremstellen der Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ im Intervall $[0;18][0\; ;\; 18]$ gegeben, bei denen es sich um lokale Extremstellen oder Randstellen handeln kann.

Mit der Berechnung werden zunächst die lokalen Extremstellen von $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ ermittelt: $x=5x=5$ ist die einzige Nullstelle der Funktion $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}f\text{'}\text{'}$ und damit die einzige mögliche lokale Extremstelle von $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$. Da zusätzlich $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(5)>0f\text{'}\text{'}\text{'}(5)>0$ gilt, ist $x=5x=5$ eine lokale Minimalstelle von $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$.

$x=5x=5$ ist als einzige lokale Extremstelle von $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ auch die globale Minimalstelle von $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$.

Da außerdem der Graph von $ff$ an der Stelle $x=5x=5$ fällt, gilt:

$55$ Monate nach der Produkteinführung nimmt die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten ab.

Da der Graph von $ff$ an der Randstelle $x=0x=0$ steigt und an der Randstelle $x=18x=18$ fällt, gilt $f^{\mathrm{\prime }}(0)>0f^\{\backslash prime\}(0)>0$ und . Daher ist $x=0x=0$ die globale Maximalstelle von $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$. Die momentane Änderungsrate des Absatzes nimmt zum Zeitpunkt der Produkteinführung am stärksten zu.

Vergleiche die momentanen Änderungsraten des Absatzes für das Fitnessarmband und die Smartwatch fünf Monate nach Produkteinführung

Es ist $f(5)\approx \mathrm{2706,7}f(5)\; \backslash approx\; 2706\{,\}7$ und $g(5)\approx \mathrm{5413,4}g(5)\; \backslash approx\; 5413\{,\}4$.

Fünf Monate nach Produkteinführung ist die momentane Änderungsrate des Absatzes für das Fitnessarmband kleiner als für die Smartwatch.

Ermittele die Anzahl der im ersten Jahr nach Produkteinführung insgesamt verkauften Smartwatches

Berechne ${\displaystyle {\int }_0^{12}g(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{42873,0}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{12\}\; g(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x\; \backslash approx\; 42873\{,\}0$.

Im ersten Jahr nach der Produkteinführung wurden rund $4287042870$ Smartwatches verkauft.

Untersuche im Modell, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem die Anzahl der seit der Produkteinführung verkauften Fitnessarmbänder mit der Anzahl der seit der Produkteinführung verkauften Smartwatches übereinstimmt und gib gegebenenfalls diesen Zeitpunkt an

Löse die Gleichung ${\displaystyle {\int }_0^{t}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{t}g(x)\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{t\}\; f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash int\_\{0\}^\{t\}\; g(x)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}\; x$.

Für $t>0t>0$ erhält man die Lösung $t_{1}t\_\{1\}$ mit $t_1\approx \mathrm{4,48}t\_\{1\}\; \backslash approx\; 4\{,\}48$.

Etwa viereinhalb Monate nach Produkteinführung stimmt die Anzahl der seit der Produkteinführung verkauften Fitnessarmbänder mit der Anzahl der seit der Produkteinführung verkauften Smartwatches überein.