B5

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht, und gib diesen Wert an

Gegeben ist $f(x)=4000\cdot x\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}$.

Berechne $f^{\prime }(x)$:

$f^{\prime }(x)=4000\cdot (1\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}+x\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\cdot (-\mathrm{0,4}))=4000\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}(1-\mathrm{0,4}x)$

Aus der notwendigen Bedingung $f^{\prime }(x)=0$ für lokale Extremstellen ergibt sich als einzige Lösung $x=\mathrm{2,5}$.

Da zusätzlich $f^{\prime }(2)\approx \mathrm{359,5}>0$ und $f^{\prime }(3)\approx -\mathrm{241,0}<0$ gilt, liegt an der Stelle $x=\mathrm{2,5}$ ein Vorzeichenwechsel von $+\mapsto -$ vor, d.h. $x=\mathrm{2,5}$ ist daher eine lokale Maximalstelle von $f$ und als einzige lokale Extremstelle auch die globale Maximalstelle von $f$.

Berechne den Funktionswert: $f(\mathrm{2,5})\approx \mathrm{3678,8}$.

Die momentane Änderungsrate des Absatzes erreicht zweieinhalb Monate nach Produkteinführung mit ungefähr $3680$ Stück pro Monat den größten Wert.

Zeichnen Sie den Graphen von $f$ für $0\le x\le 18$ und zeichne in Deine Abbildung diejenigen Punkte des Graphen ein, die zu einer momentanen Änderungsrate des Absatzes in Höhe von $1000$ Stück pro Monat gehören

Erläutere diese Berechnungen und gib die beiden gesuchten Zeitpunkte an und begründe Deine Angabe ohne weitere Rechnung

Die gesuchten Zeitpunkte sind durch die globalen Extremstellen der Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ im Intervall $[0;18]$ gegeben, bei denen es sich um lokale Extremstellen oder Randstellen handeln kann.

Mit der Berechnung werden zunächst die lokalen Extremstellen von $f^{\prime }$ ermittelt: $x=5$ ist die einzige Nullstelle der Funktion $f^{\prime \prime }$ und damit die einzige mögliche lokale Extremstelle von $f^{\prime }$. Da zusätzlich $f^{\prime \prime \prime }(5)>0$ gilt, ist $x=5$ eine lokale Minimalstelle von $f^{\prime }$.

$x=5$ ist als einzige lokale Extremstelle von $f^{\prime }$ auch die globale Minimalstelle von $f^{\prime }$.

Da außerdem der Graph von $f$ an der Stelle $x=5$ fällt, gilt:

$5$ Monate nach der Produkteinführung nimmt die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten ab.

Da der Graph von $f$ an der Randstelle $x=0$ steigt und an der Randstelle $x=18$ fällt, gilt $f^{\prime }(0)>0$ und $f^{\prime }(18)<0$. Daher ist $x=0$ die globale Maximalstelle von $f^{\prime }$. Die momentane Änderungsrate des Absatzes nimmt zum Zeitpunkt der Produkteinführung am stärksten zu.

Vergleiche die momentanen Änderungsraten des Absatzes für das Fitnessarmband und die Smartwatch fünf Monate nach Produkteinführung

Es ist $f(5)\approx \mathrm{2706,7}$ und $g(5)\approx \mathrm{5413,4}$.

Fünf Monate nach Produkteinführung ist die momentane Änderungsrate des Absatzes für das Fitnessarmband kleiner als für die Smartwatch.

Ermittele die Anzahl der im ersten Jahr nach Produkteinführung insgesamt verkauften Smartwatches

Berechne $${\displaystyle {\int }_0^{12}g(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{42873,0}}$$.

Im ersten Jahr nach der Produkteinführung wurden rund $42870$ Smartwatches verkauft.

Untersuche im Modell, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem die Anzahl der seit der Produkteinführung verkauften Fitnessarmbänder mit der Anzahl der seit der Produkteinführung verkauften Smartwatches übereinstimmt und gib gegebenenfalls diesen Zeitpunkt an

Löse die Gleichung $${\displaystyle {\int }_0^{t}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{t}g(x)\mathrm{d}x}$$.

Für $t>0$ erhält man die Lösung $t_1$ mit $t_1\approx \mathrm{4,48}$.

Etwa viereinhalb Monate nach Produkteinführung stimmt die Anzahl der seit der Produkteinführung verkauften Fitnessarmbänder mit der Anzahl der seit der Produkteinführung verkauften Smartwatches überein.