A3

Begründe, dass der Graph von $f_2$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist

Es ist $f_2(x)=x^4+(2-2)\cdot x^3-2\cdot x^2=x^4-2x^2$.

Der Funktionsterm von $f_2$ enthält nur Potenzen von $x$ mit geraden Exponenten, d.h. der Graph von $f_2$ ist symmetrisch zur y-Achse

Berechne diesen Wert von $k$

Gegeben ist $f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2$.

Berechne die 1. und 2. Ableitung:

$f_k^{\prime }(x)=4x^3+3\cdot (2-k)\cdot x^2-2kx$

$f_k^{\prime \prime }(x)=12x^2+2\cdot 3\cdot (2-k)\cdot x-2k$

Bekannt ist: Es gibt einen Wert von $k$, für den $x=1$ eine Wendestelle von $f_k$ ist.

Demnach muss $f_k^{\prime \prime }(1)=0$ sein.

$\Rightarrow f_k^{\prime \prime }(1)=12+6\cdot (2-k)-2k=0\Rightarrow 24-6k-2k=0\Rightarrow 24-8k=0$

$\Rightarrow k=3$

Der Wert von $k$ ist gleich $3$.

Zeige rechnerisch: $f_k^{\prime }(x)=(-k\cdot x+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}$

Gegeben ist $f_k(x)=\frac{1}{k}\cdot x\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}$.

Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:

$f_k^{\prime }(x)=\frac{1}{k}(1\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}+x(-k^2)\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x})$

$f_k^{\prime }(x)=\frac{1}{k}\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}(1-k^{2}x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}$

Also ist $f_k^{\prime }(x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}$.

Zeige, dass $\frac{1}{k^2}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist

Gegeben ist $f_k^{\prime \prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)=-k\cdot {\mathrm{e}}^{-1}$.

Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei $x={\displaystyle \frac{1}{k^2}}$ ist $f_k^{\prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)=0$.

Es ist $f_k^{\prime }=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}$ (Aufgabe a).

Setze $x={\displaystyle \frac{1}{k^2}}$ ein: $f_k^{\prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)=(-k\cdot \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot \frac{1}{k^2}}=(-\frac{1}{k}+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-1}=0\cdot {\mathrm{e}}^{-1}=0$ für alle $k\ne 0$.

Wegen $f_k^{\prime \prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)=-k\cdot {\mathrm{e}}^{-1}\ne 0$ für alle $k\ne 0$ ist $\frac{1}{k^2}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar.

Untersuche, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum besitzen

Für ein Minimum muss $f_k^{\prime \prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)>0$ sein.

$\Rightarrow f_k^{\prime \prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)=-k\cdot {\mathrm{e}}^{-1}>0\iff k<0$.

Damit besitzen genau die $f_k$ mit $k<0$ ein Minimum an der Extremstelle $\frac{1}{k^2}$.

Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h$

$f(x)=h(x)\iff (x-3)\cdot {\mathrm{e}}^x=x-3\iff (x-3)\cdot ({\mathrm{e}}^x-1)=0\iff x-3=0\vee {\mathrm{e}}^x-1=0\iff x=3\vee x=0$

Die Graphen der Funktionen $f$ und $h$ schneiden sich an den Stellen $x=3$ und $x=0$.

.

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird

Für den Flächeninhalt gilt:

$${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x=D(3)-D(0)=((4-3)\cdot {\mathrm{e}}^3+\mathrm{0,5}\cdot 3^2-3\cdot 3)-4\cdot {\mathrm{e}}^0}$$

$${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^3+\mathrm{4,5}-9-4=e^3-\mathrm{8,5}}$$

Der Flächeninhalt beträgt $({\mathrm{e}}^3-\mathrm{8,5})\mathrm{FE}$.

Bestimme den Wert des Integrals $${\displaystyle {\int }_1^{7}f(x)\mathrm{d}x}$$

Die Stammfunktion hat die Funktionswerte (abgelesen aus der Abbildung):

• $F(7)=5$

• $F(1)=1$

Das Integral ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Der Wert des Integrals ist gleich $4$.

Bestimme grafisch näherungsweise den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$

Laut dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

Die Ableitung von $F$ ist die Funktion $f$.

Der Funktionswert $f(1)$ ist damit die Steigung, die $F$ an der Stelle $x=1$ hat.

Mithilfe des Schaubilds gilt: $F^{\prime }(1)=f(1)\approx {\displaystyle \frac{4}{1}}=4$

Der Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ beträgt ungefähr $4$.

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$

Es ist $E(X)=n\cdot p=100\cdot \mathrm{0,8}=80$ und $\sigma (X)=\sqrt{100\cdot \mathrm{0,8}\cdot (1-\mathrm{0,8})}=\sqrt{16}=4$

Der Erwartungswert von $X$ beträgt $80$ und die Standardabweichung von $X$ beträgt $4$.

Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Pia genau 80-mal die Dartscheibe trifft, davon zehnmal in den ersten zehn Würfen

Die ersten $10$ Würfe sind Treffer: ${\mathrm{0,8}}^{10}$

Dann bleiben $90$ Würfe übrig, bei denen sie $70$-mal treffen muss:

Es ist $P(X=70)=\text{binomPdf}(\mathrm{90,0.8,70})=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{90}{70}\right)\cdot {\mathrm{0,8}}^{70}\cdot {\mathrm{0,2}}^{20}$.

Das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten ist der gesuchte Term:

${\mathrm{0,8}}^{10}\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{90}{70}\right)\cdot {\mathrm{0,8}}^{70}\cdot {\mathrm{0,2}}^{20}$

Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft

$P(\text{mindestens einmal die Dartscheibe treffen})=1-P(\text{keinmal die Dartscheibe treffen})$

Die Dartscheibe nicht zutreffen ist gleich $1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$ und die Wahrscheinlichkeit, die Dartscheibe 100-mal nicht zu treffen beträgt dann ${\mathrm{0,2}}^{100}$.

$P(\text{mindestens einmal die Dartscheibe treffen})=1-{\mathrm{0,2}}^{100}$

Der Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft, lautet $1-{\mathrm{0,2}}^{100}$.

Begründe anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100\%$ beträgt

${\mathrm{0,2}}^{100}$ ist eine „sehr kleine“ positive Zahl, die nahezu den Wert $0$ hat.

Daher gilt: $1-{\mathrm{0,2}}^{100}\approx 1=100\%$.