Ermittele eine Gleichung der Funktion $g$

Gegeben sind $f(x)=-\frac{1}{256}{x}^4+\frac{1}{8}{x}^2+\mathrm{1,2}$ und die Bedingungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$.

$\mathrm{I}$Der Graph von $g$ soll im Punkt $B$ sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung mit dem Graphen von $f$ übereinstimmen.

$\mathrm{II}$Dabei soll der tiefste Punkt der oberen Randlinie von E3 in $\mathrm{3,6}\mathrm{m}$ horizontaler Entfernung vom Punkt $B$ liegen.

Ansatz für eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades:

$g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ und $g^{\prime }(x)=2a\cdot x+b$.

Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B(\mathrm{4,8}|\mathrm{2,0064})$ (aus Aufgabe 1 b) und die Steigung im Punkt $B$ beträgt $f^{\prime }(\mathrm{4,8})=-\mathrm{0,528}$ (aus Aufgabe 1 d)

Aus $\mathrm{I}$ folgt dann:

$\begin{array}{l}g(\mathrm{4,8})=f(\mathrm{4,8})=\mathrm{2,0064}\Rightarrow a\cdot {\mathrm{4,8}}^2+b\cdot \mathrm{4,8}+c=\mathrm{2,0064}\\ g^{\prime }(\mathrm{4,8})=f^{\prime }(\mathrm{4,8})=-\mathrm{0,528}\Rightarrow 2a\cdot \mathrm{4,8}+b=-\mathrm{0,528}\end{array}$

Aus $\mathrm{II}$ folgt:

Im Tiefpunkt gilt: $g^{\prime }(\mathrm{4,8}+\mathrm{3,6})=g^{\prime }(\mathrm{8,4})=0\Rightarrow 2a\cdot \mathrm{8,4}+b=0$

Zusammengefasst ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}(\mathrm{I}):\mathrm{23,04}a& +& \mathrm{4,8}b& +& c& =& \mathrm{2,0064}\\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):\mathrm{9,6}a& +& b& & & =& -\mathrm{0,528}\\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):\mathrm{16,8}a& +& b& & & =& 0\end{array}$

Der TR liefert als Lösung:

$a={\displaystyle \frac{11}{150}}\approx \mathrm{0,073},b=-{\displaystyle \frac{154}{125}}=-\mathrm{1,232}$ und $c={\displaystyle \frac{3894}{625}}=\mathrm{6,2304}$

Damit folgt für die Gleichung der Funktion $g$:

$g(x)={\displaystyle \frac{11}{150}}{x}^2-{\displaystyle \frac{154}{125}}x+{\displaystyle \frac{3894}{625}}$