B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $-4 \leq x \leq 4{,}8$ die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1\;\mathrm{~m}$ in der Realität.

Siehe Abbildung 2:

Die obere Randlinie von Element E3 soll durch eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades modelliert werden, deren Graph im Punkt $B$ sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung mit dem Graphen von $f$ übereinstimmt (siehe Abbildung 2). Dabei soll der tiefste Punkt der oberen Randlinie von E3 in $3{,}6\mathrm{~m}$ horizontaler Entfernung vom Punkt $B$ liegen.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion $g$ . (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgaben
Ermittele eine Gleichung der Funktion $g$
Gegeben sind $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2$ und die Bedingungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ .
$\mathrm{I}\;$ Der Graph von $g$ soll im Punkt $B$ sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung mit dem Graphen von $f$ übereinstimmen.
$\mathrm{II}\;$ Dabei soll der tiefste Punkt der oberen Randlinie von E3 in $3{,}6\mathrm{~m}$ horizontaler Entfernung vom Punkt $B$ liegen.
Ansatz für eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades:
$g(x)=a \cdot x^{2}+b \cdot x+c$ und $g^{\prime}(x)=2 a \cdot x+b$ .
Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B (4,8 ∣ 2,0064)$ (aus Aufgabe 1 b) und die Steigung im Punkt $B$ beträgt $f^{'} (4,8) = - 0,528$ (aus Aufgabe 1 d)
Aus $\mathrm{I}$ folgt dann:
$g(4{,}8)=f(4{,}8)=2{,}0064\;\Rightarrow\;a\cdot4{,}8^2+b\cdot 4{,}8+c=2{,}0064\\g'(4{,}8)=f'(4{,}8)=-0{,}528\;\Rightarrow\;2a\cdot4{,}8+b=-0{,}528$
Aus $\mathrm{II}$ folgt:
Im Tiefpunkt gilt: $g'(4{,}8+3{,}6)=g'(8{,}4)=0\;\Rightarrow\;2a\cdot8{,}4+b=0$
Zusammengefasst ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\;\;\;\mathrm{(I)}:\;\;\;23{,}04a & + & 4{,}8b& + &c & = & 2{,}0064 \\\mathrm{(II)}:\;\;\; 9{,}6a & + & b & & &=& -0{,}528\\\mathrm{(III)}:\;\; 16{,}8a & + & b & & &=& 0\end{array}$
Der TR liefert als Lösung:
$a=\dfrac{11}{150} \approx0{,}073, b=-\dfrac{154}{125}=-1{,}232$ und $c=\dfrac{3894}{625}=6{,}2304$
Damit folgt für die Gleichung der Funktion $g$ :
$g(x)=\dfrac{11}{150} x^2-\dfrac{154}{125}x+\dfrac{3894}{625}$
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Gegeben sind $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2$ und die Bedingungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ .
$\mathrm{I}\;$ Der Graph von $g$ soll im Punkt $B$ sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung mit dem Graphen von $f$ übereinstimmen.
$\mathrm{II}\;$ Dabei soll der tiefste Punkt der oberen Randlinie von E3 in $3{,}6\mathrm{~m}$ horizontaler Entfernung vom Punkt $B$ liegen.
Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades lautet $g(x)=a \cdot x^{2}+b \cdot x+c$ und $g^{\prime}(x)=2 a \cdot x+b$ .
Erstelle, mit den Bedingungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ ein lineares Gleichungssystem und löse es mit dem TR.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Ermittele eine Gleichung der Funktion ggg

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Ermittele eine Gleichung der Funktion $g$