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Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion f ist gegeben durch die Gleichung f(x)=(x35)ex,x.

Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen fk durch die Funktionsgleichung

fk(x)=(x3+k)ex mit k.

Die Funktion f5 stimmt mit der Funktion f überein.

Die folgende Abbildung 4 zeigt drei Graphen der Schar GI,GII,GIII für drei verschiedene Parameter kI,kII,kIII.

Abbildung 4

Abbildung 4

  1. Geben Sie die zugehörigen Parameter an. (2 P)

  2. Begründen Sie, dass jede Funktion fk der Schar genau eine Nullstelle hat. (2 P)

  3. Für die Ableitungsfunktion fk gilt:

    fk(x)=(x3+3x2+k)ex,x;k.

    Um die Abhängigkeit der Anzahl der Extremstellen der Funktion fk vom Parameter k näher zu betrachten, wird die Funktion hk mit hk(x)=x3+3x2+k auf Nullstellen untersucht.

    Abbildung 5 zeigt den Graphen der Funktion h0 (also k=0).

    Abbildung 5

    Abbildung 5

    (i) Geben Sie anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion hk in Abhängigkeit vom Parameter k an. (2 P)

    (Von einer Berechnung der Nullstellen im Taschenrechner ist abzusehen.)

    (ii) Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden drei Aussagen:

    S1: Für jedes k>0 hat die Funktion fk genau eine Extremstelle. (2 P)

    S2: Es gibt keine Funktion fk, die mehr als drei Extremstellen hat. (1 P)

    S3: Es gibt keine Funktion fk, die genau zwei Extremstellen hat. (2 P)