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  1. 1

    Aufgabe 1

    Die Funktion f ist gegeben durch die Gleichung

    f(x)=(x35)ex,x.

    Der Graph von f ist in Abbildung 1 dargestellt.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    Im Folgenden darf ohne Nachweis verwendet werden: f(x)=(x3+3x25)ex.

    1. Zeigen Sie: f(x)=(x3+6x2+6x5)ex. (3 P)

    2. Der Graph von f besitzt genau eine Extremstelle und drei Wendestellen.

      Berechnen Sie die Wendestellen der Funktion f auf drei Nachkommastellen gerundet. (3 P)

    3. Für z>0 ist Pz(z|f(z)) ein Punkt auf dem Graphen von f. Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung O(0|0) und dem Punkt Qz(z|0) ein Dreieck OPzQz.

      Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks OPzQz, wenn für Pz der Tiefpunkt des Graphen von f gewählt wird. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Die Funktion f ist gegeben durch die Gleichung f(x)=(x35)ex,x.

    Der folgende Ansatz eignet sich zur Bestimmung einer Stammfunktion F von f:

    F(x)=(ax3+bx2+cx+d)ex;a,b,c,d,a0

    1. Berechnen Sie F(x) und ermitteln Sie durch einen Vergleich mit f(x) ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten a,b,c,d.

      [Die Berechnung der Koeffizienten ist nicht erforderlich.] (3 P + 2 P)

    2. Die Gleichung einer Stammfunktion F der Funktion f lautet:

      F(x)=(x33x2+6x11)ex.

      Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossen wird. (1 P + 2 P)

    3. Für z0 hat die Gleichung 0zf(x)dx=0 nur die Lösung z2,271.

      Interpretieren Sie die Lösung geometrisch. (3 P)

    4. Für x0 begrenzen die beiden Koordinatenachsen und der Graph von f im 3. Quadranten eine Fläche mit endlichem Flächeninhalt, die nach links unendlich weit ausgedehnt ist.

      Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. (3 P)

    5. Die Punkte O(0|0),N(5|0),Y(0|5) bilden ein Dreieck ONY. Der Graph der Funktion f verläuft teilweise innerhalb des Dreiecks und schließt mit der Seite NY eine Fläche A ein.

      (i) Zeichnen Sie die Fläche A in Abbildung 2 ein. (2 P)

      [Hinweis: Abbildung 2 ist identisch mit Abbildung 1.]

      (ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche A. (4 P)

      Abbildung 2

      Abbildung 2

  3. 3

    Aufgabe 3

    Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Die Funktion f ist gegeben durch die Gleichung f(x)=(x35)ex,x.

    Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen fk durch die Funktionsgleichung

    fk(x)=(x3+k)ex mit k.

    Die Funktion f5 stimmt mit der Funktion f überein.

    Die folgende Abbildung 4 zeigt drei Graphen der Schar GI,GII,GIII für drei verschiedene Parameter kI,kII,kIII.

    Abbildung 4

    Abbildung 4

    1. Geben Sie die zugehörigen Parameter an. (2 P)

    2. Begründen Sie, dass jede Funktion fk der Schar genau eine Nullstelle hat. (2 P)

    3. Für die Ableitungsfunktion fk gilt:

      fk(x)=(x3+3x2+k)ex,x;k.

      Um die Abhängigkeit der Anzahl der Extremstellen der Funktion fk vom Parameter k näher zu betrachten, wird die Funktion hk mit hk(x)=x3+3x2+k auf Nullstellen untersucht.

      Abbildung 5 zeigt den Graphen der Funktion h0 (also k=0).

      Abbildung 5

      Abbildung 5

      (i) Geben Sie anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion hk in Abhängigkeit vom Parameter k an. (2 P)

      (Von einer Berechnung der Nullstellen im Taschenrechner ist abzusehen.)

      (ii) Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden drei Aussagen:

      S1: Für jedes k>0 hat die Funktion fk genau eine Extremstelle. (2 P)

      S2: Es gibt keine Funktion fk, die mehr als drei Extremstellen hat. (1 P)

      S3: Es gibt keine Funktion fk, die genau zwei Extremstellen hat. (2 P)


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