B1
🎓 Prüfungsbereich für Nordrhein-Westfalen
Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite
Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord
- 1
Aufgabe 1
Die Funktion ist gegeben durch die Gleichung
.
Der Graph von ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung 1
Im Folgenden darf ohne Nachweis verwendet werden: .
Zeigen Sie: . (3 P)
Der Graph von besitzt genau eine Extremstelle und drei Wendestellen.
Berechnen Sie die Wendestellen der Funktion auf drei Nachkommastellen gerundet. (3 P)
Für ist ein Punkt auf dem Graphen von . Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung und dem Punkt ein Dreieck .
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks , wenn für der Tiefpunkt des Graphen von gewählt wird. (3 P)
- 2
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion ist gegeben durch die Gleichung .
Der folgende Ansatz eignet sich zur Bestimmung einer Stammfunktion von :
Berechnen Sie und ermitteln Sie durch einen Vergleich mit ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten .
Die Berechnung der Koeffizienten ist nicht erforderlich. (3 P + 2 P)
Die Gleichung einer Stammfunktion der Funktion lautet:
.
Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion und den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossen wird. (1 P + 2 P)
Für hat die Gleichung nur die Lösung .
Interpretieren Sie die Lösung geometrisch. (3 P)
Für begrenzen die beiden Koordinatenachsen und der Graph von im 3. Quadranten eine Fläche mit endlichem Flächeninhalt, die nach links unendlich weit ausgedehnt ist.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. (3 P)
Die Punkte bilden ein Dreieck . Der Graph der Funktion verläuft teilweise innerhalb des Dreiecks und schließt mit der Seite eine Fläche ein.
(i) Zeichnen Sie die Fläche in Abbildung 2 ein. (2 P)
[Hinweis: Abbildung 2 ist identisch mit Abbildung 1.]
(ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche . (4 P)
Abbildung 2
- 3
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion ist gegeben durch die Gleichung .
Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen durch die Funktionsgleichung
.
Die Funktion stimmt mit der Funktion überein.
Die folgende Abbildung 4 zeigt drei Graphen der Schar für drei verschiedene Parameter .
Abbildung 4
Geben Sie die zugehörigen Parameter an. (2 P)
Begründen Sie, dass jede Funktion der Schar genau eine Nullstelle hat. (2 P)
Für die Ableitungsfunktion gilt:
Um die Abhängigkeit der Anzahl der Extremstellen der Funktion vom Parameter näher zu betrachten, wird die Funktion mit auf Nullstellen untersucht.
Abbildung 5 zeigt den Graphen der Funktion (also ).
Abbildung 5
(i) Geben Sie anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit vom Parameter an. (2 P)
(Von einer Berechnung der Nullstellen im Taschenrechner ist abzusehen.)
(ii) Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden drei Aussagen:
S1: Für jedes hat die Funktion genau eine Extremstelle. (2 P)
S2: Es gibt keine Funktion , die mehr als drei Extremstellen hat. (1 P)
S3: Es gibt keine Funktion , die genau zwei Extremstellen hat. (2 P)
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?