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  1. 1

    Aufgabe 1

    Die Funktion ff ist gegeben durch die Gleichung

    f(x)=(x35)ex,xRf(x)=(x^3-5)e^x, x\in \mathbb{R}.

    Der Graph von ff ist in Abbildung 1 dargestellt.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    Im Folgenden darf ohne Nachweis verwendet werden: f(x)=(x3+3x25)exf^{\prime}(x)=\left(x^{3}+3 x^{2}-5\right) \cdot \mathrm{e}^{x}.

    1. Zeigen Sie: f(x)=(x3+6x2+6x5)exf^{\prime \prime}(x)=\left(x^{3}+6 x^{2}+6 x-5\right) \cdot \mathrm{e}^{x}. (3 P)

    2. Der Graph von ff besitzt genau eine Extremstelle und drei Wendestellen.

      Berechnen Sie die Wendestellen der Funktion ff auf drei Nachkommastellen gerundet. (3 P)

    3. Für z>0z>0 ist Pz(zf(z))P_{z}(z \mid f(z)) ein Punkt auf dem Graphen von ff. Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung O(00)O(0 \mid 0) und dem Punkt Qz(z0)Q_{z}(z \mid 0) ein Dreieck OPzQzO P_{z} Q_{z}.

      Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks OPzQz\mathrm{OP}_{z} Q_{z}, wenn für PzP_{z} der Tiefpunkt des Graphen von ff gewählt wird. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Die Funktion ff ist gegeben durch die Gleichung f(x)=(x35)ex,xRf(x)=(x^3-5)\cdot e^x, x \in \mathbb{R}.

    Der folgende Ansatz eignet sich zur Bestimmung einer Stammfunktion FF von ff:

    F(x)=(ax3+bx2+cx+d)ex;a,b,c,dR,a0F(x)=\left(a \cdot x^{3}+b \cdot x^{2}+c \cdot x+d\right) \cdot \mathrm{e}^{x} ; a, b, c, d \in \mathbb{R}, a \neq 0

    1. Berechnen Sie F(x)F^{\prime}(x) und ermitteln Sie durch einen Vergleich mit f(x)f(x) ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten a,b,c,da, b, c, d.

      [[Die Berechnung der Koeffizienten ist nicht erforderlich.]] (3 P + 2 P)

    2. Die Gleichung einer Stammfunktion FF der Funktion ff lautet:

      F(x)=(x33x2+6x11)exF(x)=\left(x^{3}-3 x^{2}+6 x-11\right) \cdot \mathrm{e}^{x}.

      Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion ff und den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossen wird. (1 P + 2 P)

    3. Für z0z \neq 0 hat die Gleichung 0zf(x)dx=0\displaystyle\int_{0}^{z} f(x) \mathrm{d} x=0 nur die Lösung z2,271z \approx 2{,}271.

      Interpretieren Sie die Lösung geometrisch. (3 P)

    4. Für x0x \leq 0 begrenzen die beiden Koordinatenachsen und der Graph von ff im 3. Quadranten eine Fläche mit endlichem Flächeninhalt, die nach links unendlich weit ausgedehnt ist.

      Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. (3 P)

    5. Die Punkte O(00),N(50),Y(05)O(0 \mid 0), N(-5 \mid 0), Y(0 \mid-5) bilden ein Dreieck ONYO N Y. Der Graph der Funktion ff verläuft teilweise innerhalb des Dreiecks und schließt mit der Seite NY\overline{N Y} eine Fläche AA ein.

      (i) Zeichnen Sie die Fläche AA in Abbildung 2 ein. (2 P)

      [Hinweis: Abbildung 2 ist identisch mit Abbildung 1.]

      (ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche AA. (4 P)

      Abbildung 2

      Abbildung 2

  3. 3

    Aufgabe 3

    Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Die Funktion ff ist gegeben durch die Gleichung f(x)=(x35)ex,xRf(x)=(x^3-5)\cdot e^x, x \in \mathbb{R}.

    Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen fkf_{k} durch die Funktionsgleichung

    fk(x)=(x3+k)ex mit kRf_{k}(x)=\left(x^{3}+k\right) \cdot \mathrm{e}^{x} \text { mit } k \in \mathbb{R}.

    Die Funktion f5f_{-5} stimmt mit der Funktion ff überein.

    Die folgende Abbildung 4 zeigt drei Graphen der Schar GI,GII,GIIIG_{I}, G_{I I}, G_{I I I} für drei verschiedene Parameter kI,kII,kIIIk_{I}, k_{I I}, k_{I I I}.

    Abbildung 4

    Abbildung 4

    1. Geben Sie die zugehörigen Parameter an. (2 P)

    2. Begründen Sie, dass jede Funktion fkf_{k} der Schar genau eine Nullstelle hat. (2 P)

    3. Für die Ableitungsfunktion fkf_{k}{ }^{\prime} gilt:

      fk(x)=(x3+3x2+k)ex,xR;kR.\displaystyle f_{k}^{\prime}(x)=\left(x^{3}+3 x^{2}+k\right) \cdot \mathrm{e}^{x}, x \in \mathbb{R} ; k \in \mathbb{R}.

      Um die Abhängigkeit der Anzahl der Extremstellen der Funktion fkf_{k} vom Parameter kk näher zu betrachten, wird die Funktion hkh_{k} mit hk(x)=x3+3x2+kh_{k}(x)=x^{3}+3 x^{2}+k auf Nullstellen untersucht.

      Abbildung 5 zeigt den Graphen der Funktion h0h_{0} (also k=0k=0).

      Abbildung 5

      Abbildung 5

      (i) Geben Sie anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion hkh_{k} in Abhängigkeit vom Parameter kk an. (2 P)

      (Von einer Berechnung der Nullstellen im Taschenrechner ist abzusehen.)

      (ii) Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden drei Aussagen:

      S1: Für jedes k>0k>0 hat die Funktion fkf_{k} genau eine Extremstelle. (2 P)

      S2: Es gibt keine Funktion fkf_{k}, die mehr als drei Extremstellen hat. (1 P)

      S3: Es gibt keine Funktion fkf_{k}, die genau zwei Extremstellen hat. (2 P)


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