B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung

$f(x)=(x^3-5)e^x, x\in \mathbb{R}$ .

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Im Folgenden darf ohne Nachweis verwendet werden: $f^{\prime}(x)=\left(x^{3}+3 x^{2}-5\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .

Zeigen Sie: $f^{\prime \prime}(x)=\left(x^{3}+6 x^{2}+6 x-5\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Gegeben ist $f^{\prime}(x)=\left(x^{3}+3 x^{2}-5\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Berechne $f^{''} (x)$ mit der Produktregel: $f''(x)=(3x^2+6x)\cdot e^x+(x^3+3x^2-5)\cdot e^x=(x^3+6x^2+6x-5)\cdot e^x$
Damit ist $f''(x)=(x^3+6x^2+6x-5)\cdot e^x$ .
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Berechne $f^{''} (x)$ .
Der Graph von $f$ besitzt genau eine Extremstelle und drei Wendestellen.
Berechnen Sie die Wendestellen der Funktion $f$ auf drei Nachkommastellen gerundet. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Berechne die Wendestellen der Funktion $f$ auf drei Nachkommastellen gerundet
Es ist $f''(x)=(x^3+6x^2+6x-5)\cdot e^x$ .
Löse die Gleichung $f^{''} (x) = 0$ (notwendige Bedingung).
Die Gleichung hat die Lösungen $x_{W 1}, x_{W 2}$ und $x_{W 3}$ mit $x_{W 1} \approx-4{,}361, x_{W 2} \approx-2{,}167$ und $x_{W 3} \approx 0{,}529$ .
Anmerkung: Da die Existenz von drei Wendestellen durch die Aufgabenstellung gesichert ist, ist keine Prüfung eines hinreichenden Kriteriums erforderlich.
Die Wendestellen der Funktion $f$ auf drei Nachkommastellen gerundet sind
$x_{W 1} \approx-4{,}361, x_{W 2} \approx-2{,}167$ und $x_{W 3} \approx 0{,}529$ .
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Berechne $f^{''} (x)$ und löse die Gleichung $f^{''} (x) = 0$ (notwendige Bedingung).
Hinweis: Es ist keine Prüfung eines hinreichenden Kriteriums erforderlich.
Für $z > 0$ ist $P_{z}(z \mid f(z))$ ein Punkt auf dem Graphen von $f$ . Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ und dem Punkt $Q_{z}(z \mid 0)$ ein Dreieck $O P_{z} Q_{z}$ .
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $\mathrm{OP}_{z} Q_{z}$ , wenn für $P_{z}$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ gewählt wird. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $\mathrm{OP}_{z} Q_{z}$ , wenn für $P_{z}$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ gewählt wird
Der Taschenrechner liefert für den Tiefpunkt des Graphen von $f$ ungefähr $TP(1{,}1 \mid-11)$ .
Dann erhält man für den Flächeninhalt des Dreiecks:
$A_{\text {Dreieck }}=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h \approx \frac{1}{2} \cdot 1{,}1 \cdot 11=6{,}05$ .
Der Flächeninhalt des Dreiecks $\mathrm{OP}_{z} Q_{z}$ , wenn für $P_{z}$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ gewählt wird, beträgt rund $6{,}05\;\mathrm{FE}$ .
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Der Taschenrechner liefert für den Tiefpunkt des Graphen von $f$ ungefähr $T P (x_{1} ∣ y_{1})$ .
Dann ist $A_{\text {Dreieck }} \approx \frac{1}{2} \cdot x_1 \cdot y_1$ $[\mathrm{FE}]$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

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Berechne die Wendestellen der Funktion fff auf drei Nachkommastellen gerundet

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Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks OPzQz\mathrm{OP}_{z} Q_{z}OPz​Qz​, wenn für PzP_{z}Pz​ der Tiefpunkt des Graphen von fff gewählt wird

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Berechne die Wendestellen der Funktion $f$ auf drei Nachkommastellen gerundet

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $\mathrm{OP}_{z} Q_{z}$ , wenn für $P_{z}$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ gewählt wird