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Aufgabe 1

Die Funktion f ist gegeben durch die Gleichung

f(x)=(x35)ex,x.

Der Graph von f ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

Abbildung 1

Im Folgenden darf ohne Nachweis verwendet werden: f(x)=(x3+3x25)ex.

  1. Zeigen Sie: f(x)=(x3+6x2+6x5)ex. (3 P)

  2. Der Graph von f besitzt genau eine Extremstelle und drei Wendestellen.

    Berechnen Sie die Wendestellen der Funktion f auf drei Nachkommastellen gerundet. (3 P)

  3. Für z>0 ist Pz(z|f(z)) ein Punkt auf dem Graphen von f. Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung O(0|0) und dem Punkt Qz(z|0) ein Dreieck OPzQz.

    Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks OPzQz, wenn für Pz der Tiefpunkt des Graphen von f gewählt wird. (3 P)