B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=(x^3-5)\cdot e^x, x \in \mathbb{R}$ .

Der folgende Ansatz eignet sich zur Bestimmung einer Stammfunktion $F$ von $f$ :

$F(x)=\left(a \cdot x^{3}+b \cdot x^{2}+c \cdot x+d\right) \cdot \mathrm{e}^{x} ; a, b, c, d \in \mathbb{R}, a \neq 0$

Berechnen Sie $F^{\prime}(x)$ und ermitteln Sie durch einen Vergleich mit $f (x)$ ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten $a, b, c, d$ .
$[$ Die Berechnung der Koeffizienten ist nicht erforderlich. $]$ (3 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
Unter Anwendung der Produktregel ergibt sich:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}F^{\prime}(x) & =\left(a \cdot x^{3}+b \cdot x^{2}+c \cdot x+d\right) \cdot \mathrm{e}^{x}+\left(3 a \cdot x^{2}+2 b \cdot x+c\right) \cdot \mathrm{e}^{x} \\& =\left(a \cdot x^{3}+(3 a+b) \cdot x^{2}+(2 b+c) \cdot x+(c+d)\right) \cdot \mathrm{e}^{x} .\end{aligned}$
Ein Koeffizientenvergleich mit $f(x)=\left(x^{3}-5\right) \cdot e^{x}$ liefert das Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}a=1 \\3 a+b=0 \\2 b+c=0 \\c+d=-5\end{array}\right|$
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Wende die Produktregel an.
Vergleiche die Koeffizienten von $F^{'} (x)$ mit denen der Funktion $f (x)$ .
Du erhältst ein Gleichungssystem.
Die Gleichung einer Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ lautet:
$F(x)=\left(x^{3}-3 x^{2}+6 x-11\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f$ und den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossen wird. (1 P + 2 P)
Es ist $F(x)=\left(x^{3}-3 x^{2}+6 x-11\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Für die Integrationsgrenzen wird die Nullstelle von $f$ benötigt:
$f(x)=0\;\Rightarrow\;x^3-5=0\;\Rightarrow\;x=\sqrt[3]{5}$
Dann folgt für die Flächenberechnung der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f$ und den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossen wird:
$\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[3]{5}} f(x) \;\mathrm{d} x=F(\sqrt[3]{5})-F(0) \approx-13{,}947$ .
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $13{,}947 \;\mathrm{FE}$ .
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Für die Integrationsgrenzen wird die Nullstelle von $f$ benötigt $\;\Rightarrow\;x_1$
Berechne $\displaystyle\int_{0}^{x_1} f(x)\; \mathrm{d} x$ .
Für $z \neq 0$ hat die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{z} f(x) \mathrm{d} x=0$ nur die Lösung $z \approx 2{,}271$ .
Interpretieren Sie die Lösung geometrisch. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Interpretiere die Lösung geometrisch
Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit den Koordinatenachsen unterhalb der $x$ -Achse im 4. Quadranten einschließt, ist genauso groß wie das Flächenstück oberhalb der $x$ -Achse, das im Bereich von $x=\sqrt[3]{5}$ bis $x \approx 2{,}271$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse liegt.
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Wenn ein Integral den Wert null hat, dann gibt es ein Flächenstück unterhalb und ein weiteres Flächenstück oberhalb der x-Achse. Beide Flächeninhalte sind betragsmäßig gleich groß.
Für $x \leq 0$ begrenzen die beiden Koordinatenachsen und der Graph von $f$ im 3. Quadranten eine Fläche mit endlichem Flächeninhalt, die nach links unendlich weit ausgedehnt ist.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Ermittele den Flächeninhalt dieser Fläche
Es ist $F(x)=\left(x^{3}-3 x^{2}+6 x-11\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Berechne nun das Integral von $-\infty$ bis $x = 0$ :
$\displaystyle\lim_{a\rightarrow-\infty}\int_a^{0}f(x)\;\mathrm{d}x=\lim_{a\rightarrow-\infty}\left(F(0)-F(a)\right)$
Es ist $F (0) = - 11$ und $\displaystyle\lim_{a\rightarrow-\infty}F(a)=0$ $\left(\text{weil}\;\displaystyle\lim_{a\rightarrow-\infty}e^a=0\;\text{ist}\right)$
Dann folgt:
$\displaystyle\lim_{a\rightarrow-\infty}\int_a^{0}f(x)\;\mathrm{d}x=(-11-0)=-11$
Der Flächeninhalt beträgt $11 \;\mathrm{FE}$ .
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Berechne das Integral von $-\infty$ bis $x = 0$ (verwende den $\lim$ ).
Die Punkte $O(0 \mid 0), N(-5 \mid 0), Y(0 \mid-5)$ bilden ein Dreieck $O N Y$ . Der Graph der Funktion $f$ verläuft teilweise innerhalb des Dreiecks und schließt mit der Seite $\overline{N Y}$ eine Fläche $A$ ein.
(i) Zeichnen Sie die Fläche $A$ in Abbildung 2 ein. (2 P)
[Hinweis: Abbildung 2 ist identisch mit Abbildung 1.]
(ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche $A$ . (4 P)
Abbildung 2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Zeichne die Fläche $A$ in Abbildung 2 ein
Abbildung 2
(ii) Bestimme den Flächeninhalt der Fläche $A$
Die Seite $\overline{N Y}$ ist Teil der Geraden mit der Gleichung $y = - x - 5$ .
Für die Schnittstelle mit dem Graphen von $f$ liefert der Taschenrechner für $x < 0$ nur $x \approx-3{,}582$ .
Für den Flächeninhalt folgt daraus: $\displaystyle\int_{-3{,}582}^{0}(f(x)-(-x-5))\; \mathrm{d} x \approx 3{,}748$ .
Der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt rund $3{,}748\;\mathrm{FE}$ .
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(i)
Zeichne die Punkte $N$ und $Y$ in die Abbildung ein. Verbinde die Punkte $N$ und $Y$ mit einer Strecke.
Diese Strecke schneidet den Graphen von $f$ .
Kennzeichne die entstandene Fläche.
(ii)
Die Seite $\overline{N Y}$ ist Teil einer Geraden $g$ .
Bestimme die Geradengleichung $g (x)$ .
Für die Schnittstelle mit dem Graphen von $f$ liefert der Taschenrechner für $x < 0$ nur den Wert $x_{1}$ .
Berechne den Flächeninhalt: $\displaystyle\int_{x_1}^{0}(f(x)-g(x))\; \mathrm{d} x$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

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Interpretiere die Lösung geometrisch

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Ermittele den Flächeninhalt dieser Fläche

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(i) Zeichne die Fläche AAA in Abbildung 2 ein

(ii) Bestimme den Flächeninhalt der Fläche AAA

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(i) Zeichne die Fläche $A$ in Abbildung 2 ein

(ii) Bestimme den Flächeninhalt der Fläche $A$