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Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion f ist gegeben durch die Gleichung f(x)=(x35)ex,x.

Der folgende Ansatz eignet sich zur Bestimmung einer Stammfunktion F von f:

F(x)=(ax3+bx2+cx+d)ex;a,b,c,d,a0

  1. Berechnen Sie F(x) und ermitteln Sie durch einen Vergleich mit f(x) ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten a,b,c,d.

    [Die Berechnung der Koeffizienten ist nicht erforderlich.] (3 P + 2 P)

  2. Die Gleichung einer Stammfunktion F der Funktion f lautet:

    F(x)=(x33x2+6x11)ex.

    Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossen wird. (1 P + 2 P)

  3. Für z0 hat die Gleichung 0zf(x)dx=0 nur die Lösung z2,271.

    Interpretieren Sie die Lösung geometrisch. (3 P)

  4. Für x0 begrenzen die beiden Koordinatenachsen und der Graph von f im 3. Quadranten eine Fläche mit endlichem Flächeninhalt, die nach links unendlich weit ausgedehnt ist.

    Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. (3 P)

  5. Die Punkte O(0|0),N(5|0),Y(0|5) bilden ein Dreieck ONY. Der Graph der Funktion f verläuft teilweise innerhalb des Dreiecks und schließt mit der Seite NY eine Fläche A ein.

    (i) Zeichnen Sie die Fläche A in Abbildung 2 ein. (2 P)

    [Hinweis: Abbildung 2 ist identisch mit Abbildung 1.]

    (ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche A. (4 P)

    Abbildung 2

    Abbildung 2