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Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = (x^{3} - 5) \cdot e^{x}, x \in ℝ$ .

Der folgende Ansatz eignet sich zur Bestimmung einer Stammfunktion $F$ von $f$ :

$F (x) = (a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d) \cdot e^{x}; a, b, c, d \in ℝ, a \neq 0$

Berechnen Sie $F^{'} (x)$ und ermitteln Sie durch einen Vergleich mit $f (x)$ ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten $a, b, c, d$ .
$[$ Die Berechnung der Koeffizienten ist nicht erforderlich. $]$ (3 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
Unter Anwendung der Produktregel ergibt sich:
$\begin{aligned} F^{'} (x) & = (a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d) \cdot e^{x} + (3 a \cdot x^{2} + 2 b \cdot x + c) \cdot e^{x} \\ = (a \cdot x^{3} + (3 a + b) \cdot x^{2} + (2 b + c) \cdot x + (c + d)) \cdot e^{x} . \end{aligned}$
Ein Koeffizientenvergleich mit $f (x) = (x^{3} - 5) \cdot e^{x}$ liefert das Gleichungssystem:
$| \begin{array}{l} a = 1 \\ 3 a + b = 0 \\ 2 b + c = 0 \\ c + d = - 5 \end{array} |$
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Wende die Produktregel an.
Vergleiche die Koeffizienten von $F^{'} (x)$ mit denen der Funktion $f (x)$ .
Du erhältst ein Gleichungssystem.
Die Gleichung einer Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ lautet:
$F (x) = (x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 11) \cdot e^{x}$ .
Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f$ und den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossen wird. (1 P + 2 P)
Es ist $F (x) = (x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 11) \cdot e^{x}$ .
Für die Integrationsgrenzen wird die Nullstelle von $f$ benötigt:
$f (x) = 0 \Rightarrow x^{3} - 5 = 0 \Rightarrow x = \sqrt[3]{5}$
Dann folgt für die Flächenberechnung der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f$ und den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossen wird:
$\int_{0}^{\sqrt[3]{5}} f (x) d x = F (\sqrt[3]{5}) - F (0) \approx - 13,947$ .
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $13,947 FE$ .
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Für die Integrationsgrenzen wird die Nullstelle von $f$ benötigt $\Rightarrow x_{1}$
Berechne $\int_{0}^{x_{1}} f (x) d x$ .
Für $z \neq 0$ hat die Gleichung $\int_{0}^{z} f (x) d x = 0$ nur die Lösung $z \approx 2,271$ .
Interpretieren Sie die Lösung geometrisch. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Interpretiere die Lösung geometrisch
Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit den Koordinatenachsen unterhalb der $x$ -Achse im 4. Quadranten einschließt, ist genauso groß wie das Flächenstück oberhalb der $x$ -Achse, das im Bereich von $x = \sqrt[3]{5}$ bis $x \approx 2,271$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse liegt.
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Wenn ein Integral den Wert null hat, dann gibt es ein Flächenstück unterhalb und ein weiteres Flächenstück oberhalb der x-Achse. Beide Flächeninhalte sind betragsmäßig gleich groß.
Für $x \leq 0$ begrenzen die beiden Koordinatenachsen und der Graph von $f$ im 3. Quadranten eine Fläche mit endlichem Flächeninhalt, die nach links unendlich weit ausgedehnt ist.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Ermittele den Flächeninhalt dieser Fläche
Es ist $F (x) = (x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 11) \cdot e^{x}$ .
Berechne nun das Integral von $- \infty$ bis $x = 0$ :
$\lim_{a \to - \infty} \int_{a}^{0} f (x) d x = \lim_{a \to - \infty} (F (0) - F (a))$
Es ist $F (0) = - 11$ und $\lim_{a \to - \infty} F (a) = 0$ $(weil \lim_{a \to - \infty} e^{a} = 0 ist)$
Dann folgt:
$\lim_{a \to - \infty} \int_{a}^{0} f (x) d x = (- 11 - 0) = - 11$
Der Flächeninhalt beträgt $11 FE$ .
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Berechne das Integral von $- \infty$ bis $x = 0$ (verwende den $\lim$ ).
Die Punkte $O (0 | 0), N (- 5 | 0), Y (0 | - 5)$ bilden ein Dreieck $O N Y$ . Der Graph der Funktion $f$ verläuft teilweise innerhalb des Dreiecks und schließt mit der Seite $N Y$ eine Fläche $A$ ein.
(i) Zeichnen Sie die Fläche $A$ in Abbildung 2 ein. (2 P)
[Hinweis: Abbildung 2 ist identisch mit Abbildung 1.]
(ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche $A$ . (4 P)
Abbildung 2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Zeichne die Fläche $A$ in Abbildung 2 ein
Abbildung 2
(ii) Bestimme den Flächeninhalt der Fläche $A$
Die Seite $N Y$ ist Teil der Geraden mit der Gleichung $y = - x - 5$ .
Für die Schnittstelle mit dem Graphen von $f$ liefert der Taschenrechner für $x < 0$ nur $x \approx - 3,582$ .
Für den Flächeninhalt folgt daraus: $\int_{- 3,582}^{0} (f (x) - (- x - 5)) d x \approx 3,748$ .
Der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt rund $3,748 FE$ .
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(i)
Zeichne die Punkte $N$ und $Y$ in die Abbildung ein. Verbinde die Punkte $N$ und $Y$ mit einer Strecke.
Diese Strecke schneidet den Graphen von $f$ .
Kennzeichne die entstandene Fläche.
(ii)
Die Seite $N Y$ ist Teil einer Geraden $g$ .
Bestimme die Geradengleichung $g (x)$ .
Für die Schnittstelle mit dem Graphen von $f$ liefert der Taschenrechner für $x < 0$ nur den Wert $x_{1}$ .
Berechne den Flächeninhalt: $\int_{x_{1}}^{0} (f (x) - g (x)) d x$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

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Interpretiere die Lösung geometrisch

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Ermittele den Flächeninhalt dieser Fläche

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(i) Zeichne die Fläche A in Abbildung 2 ein

(ii) Bestimme den Flächeninhalt der Fläche A

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(i) Zeichne die Fläche $A$ in Abbildung 2 ein

(ii) Bestimme den Flächeninhalt der Fläche $A$