B5 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit der Gleichung

$f_{a} (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}} mit a \in ℝ$ .

Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.

Der Graph von $f_{1}$ hat den Hochpunkt $H_{1} (1 | 1)$ .

Weisen Sie nach, dass $f_{1}$ genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von $f_{1}$ für $x \to \infty$ an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Weise nach, dass $f_{1}$ genau eine Nullstelle hat
Gegeben ist $f_{a} (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$ .
Dann ist $f_{1} (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).
$f (x) = 0 \Rightarrow 0 = x \cdot \underset{\neq 0}{\underset{⏟}{e^{- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}}}} \Rightarrow x = 0$
Somit hat $f_{1}$ nur eine Nullstelle.
Gib den Grenzwert von $f_{1}$ für $x \to \infty$ an
$\lim_{x \to \infty} (\underset{\to \infty}{\underset{⏟}{x}} \cdot \underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{e^{- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}}}}) = 0^{+}$
Der Exponent der $e$ -Funktion hat den Grenzwert $- \infty$ . Die $e$ -Funktion geht dort stärker gegen $0$ , als $x \to \infty$ geht.
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Teil 1
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).
Löse $f (x) = 0$ .
Teil 2
Beachte, wenn $x$ gegen unendlich geht, geht die Funktion $e^{- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}}$ stärker gegen null.
Welchen Grenzwert erhält man dann?
Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f_{1}$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.
Zeichnen Sie die Koordinatenachsen mit der passenden Skalierung in die Abbildung ein. (2 P)
Abbildung 1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Koordinatensystem
Zeichne die Koordinatenachsen mit der passenden Skalierung in die Abbildung ein
Der Graph von $f_{1}$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und es gilt nach a) $\lim_{x \to \infty} f_{1} (x) = 0$ . Damit sind die beiden Achsen festgelegt.
Weiterhin sind $f_{1} (1) = 1$ und $f_{1} (- 1) = - 1$ . Damit kann eine Skalierung vorgenommen werden.
Abbildung 1
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Der Graph von $f_{1}$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und es gilt nach a) $\lim_{x \to \infty} f_{1} (x) = 0$ . Damit sind die beiden Achsen festgelegt.
Weiterhin sind $f_{1} (1) = 1$ und $f_{1} (- 1) = - 1$ . Damit kann eine Skalierung vorgenommen werden.
Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:
Für jede Stammfunktion $F_{1}$ von $f_{1}$ und für jede reelle Zahl $u > 2022$ gilt:
$F_{1} (u) - F_{1} (0) \approx \int_{0}^{2022} f_{1} (x) d x$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Interpretiere den Sachverhalt geometrisch
Das Integral $\int_{0}^{2022} f (x) d x$ berechnet den Flächeninhalt zwischen $f (x)$ und der $x$ -Achse im Bereich von $0$ bis $2022$ (siehe Abbildung $1$ mit Koordinatenachsen).
Entsprechend wird mit $F_{1} (u) - F_{1} (0)$ ebenfalls der Flächeninhalt zwischen $f (x)$ und der $x$ -Achse im Bereich von $0$ bis $u$ berechnet. Ist $u > 2022$ , dann unterscheiden sich die beiden Flächeninhalte nicht mehr wesentlich voneinander. Sie sind ungefähr gleich groß.
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Was berechnet das Integral $\int_{0}^{2022} f (x) d x$ ?
Was wird durch $F_{1} (u) - F_{1} (0)$ berechnet?
Welche Aussage über die beiden Flächeninhalte wird getroffen, wenn $u > 2022$ ist?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Weise nach, dass f1 genau eine Nullstelle hat

Gib den Grenzwert von f1 für x→∞ an

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Zeichne die Koordinatenachsen mit der passenden Skalierung in die Abbildung ein

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Interpretiere den Sachverhalt geometrisch

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Weise nach, dass $f_{1}$ genau eine Nullstelle hat

Gib den Grenzwert von $f_{1}$ für $x \to \infty$ an