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  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen faf_{a} mit der Gleichung

    fa(x)=xe12ax2+12 mit aRf_{a}(x)=x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}} \text { mit } a \in \mathbb{R}.

    Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.

    Der Graph von f1f_{1} hat den Hochpunkt H1(11)H_{1}(1 \mid 1).

    1. Weisen Sie nach, dass f1f_{1} genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von f1f_{1} für xx \rightarrow \infty an. (2 P)

    2. Abbildung 1 zeigt den Graphen von f1f_{1} ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

      Zeichnen Sie die Koordinatenachsen mit der passenden Skalierung in die Abbildung ein. (2 P)

      Abbildung 1

      Abbildung 1

    3. Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

      Für jede Stammfunktion F1F_{1} von f1f_{1} und für jede reelle Zahl u>2022u>2022 gilt:

      F1(u)F1(0)02022f1(x)  dxF_{1}(u)-F_{1}(0) \approx \displaystyle\int_{0}^{2022} f_{1}(x)\; \mathrm{d} x. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben ist fa(x)=xe12ax2+12 mit aRf_{a}(x)=x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}} \text { mit } a \in \mathbb{R}.

    Der Graph von f0f_{0} ist eine Gerade.

    1. Geben Sie die Steigung dieser Geraden und die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der yy-Achse an. (2 P)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben ist fa(x)=xe12ax2+12 mit aRf_{a}(x)=x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}} \text { mit } a \in \mathbb{R}.

    Für einen Wert von aa liegt der Punkt P(1e)P(1 \mid e) auf dem Graphen von faf_{a}.

    Bestimmen Sie diesen Wert von aa und die Steigung der Tangente an den Graphen von faf_{a} im Punkt PP. (3 P)

  4. 4

    Aufgabe 4

    Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben ist fa(x)=xe12ax2+12 mit aRf_{a}(x)=x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}} \text { mit } a \in \mathbb{R}.

    Begründen Sie unter Verwendung der Abbildung 2, dass 0,51f1(x)  dx=0,51f1(x)  dx\displaystyle\int_{-0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\; \mathrm{d} x=\int_{0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\; \mathrm{d} x gilt. (2 P)

    Abbildung 2
  5. 5

    Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben ist fa(x)=xe12ax2+12 mit aRf_{a}(x)=x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}} \text { mit } a \in \mathbb{R}.

    Nun werden alle Funktionen der gegebenen Schar betrachtet.

    1. Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen a,a1a, a_{1} und a2a_{2}:

      I)   fa(0)=0\quad\; f_{a}(0)=0

      II) fa(0)=f0(0)\quad f_{a}{ }^{\prime}(0)=f_{0}{ }^{\prime}(0)

      III) fa1(x)=fa2(x)a1=a2x=0f_{a_{1}}(x)=f_{a_{2}}(x) \Leftrightarrow a_{1}=a_{2} \vee x=0

      Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt. (3 P)

    2. Für alle a0a \neq 0 stimmen die Wendestellen von faf_{a} mit den Lösungen der Gleichung (ax23)x=0\left(a \cdot x^{2}-3\right) \cdot x=0 überein.

      Geben Sie für alle Werte von aRa \in \mathbb{R} die Anzahl der Wendestellen von faf_{a} an und begründen Sie Ihre Angabe. (1 P + 4 P)

    3. Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden.

      Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung y=xy=x handelt. (3 P)


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