B5
🎓 Prüfungsbereich für Nordrhein-Westfalen
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- 1
Aufgabe 1
Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen mit der Gleichung
.
Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.
Der Graph von hat den Hochpunkt .
Weisen Sie nach, dass genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von für an. (2 P)
Abbildung 1 zeigt den Graphen von ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.
Zeichnen Sie die Koordinatenachsen mit der passenden Skalierung in die Abbildung ein. (2 P)
Abbildung 1
Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:
Für jede Stammfunktion von und für jede reelle Zahl gilt:
. (3 P)
- 2
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist .
Der Graph von ist eine Gerade.
Geben Sie die Steigung dieser Geraden und die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der -Achse an. (2 P)
- 3
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist .
Für einen Wert von liegt der Punkt auf dem Graphen von .
Bestimmen Sie diesen Wert von und die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt . (3 P)
- 4
Aufgabe 4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist .
Begründen Sie unter Verwendung der Abbildung 2, dass gilt. (2 P)
- 5
Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist .
Nun werden alle Funktionen der gegebenen Schar betrachtet.
Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen und :
I)
II)
III)
Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt. (3 P)
Für alle stimmen die Wendestellen von mit den Lösungen der Gleichung überein.
Geben Sie für alle Werte von die Anzahl der Wendestellen von an und begründen Sie Ihre Angabe. (1 P + 4 P)
Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden.
Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung handelt. (3 P)
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