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  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen fa mit der Gleichung

    fa(x)=xe12ax2+12 mit a.

    Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.

    Der Graph von f1 hat den Hochpunkt H1(1|1).

    1. Weisen Sie nach, dass f1 genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von f1 für x an. (2 P)

    2. Abbildung 1 zeigt den Graphen von f1 ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

      Zeichnen Sie die Koordinatenachsen mit der passenden Skalierung in die Abbildung ein. (2 P)

      Abbildung 1

      Abbildung 1

    3. Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

      Für jede Stammfunktion F1 von f1 und für jede reelle Zahl u>2022 gilt:

      F1(u)F1(0)02022f1(x)dx. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben ist fa(x)=xe12ax2+12 mit a.

    Der Graph von f0 ist eine Gerade.

    1. Geben Sie die Steigung dieser Geraden und die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der y-Achse an. (2 P)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben ist fa(x)=xe12ax2+12 mit a.

    Für einen Wert von a liegt der Punkt P(1|e) auf dem Graphen von fa.

    Bestimmen Sie diesen Wert von a und die Steigung der Tangente an den Graphen von fa im Punkt P. (3 P)

  4. 4

    Aufgabe 4

    Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben ist fa(x)=xe12ax2+12 mit a.

    Begründen Sie unter Verwendung der Abbildung 2, dass 0,51f1(x)dx=0,51f1(x)dx gilt. (2 P)

    Abbildung 2
  5. 5

    Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben ist fa(x)=xe12ax2+12 mit a.

    Nun werden alle Funktionen der gegebenen Schar betrachtet.

    1. Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen a,a1 und a2:

      I) fa(0)=0

      II) fa(0)=f0(0)

      III) fa1(x)=fa2(x)a1=a2x=0

      Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt. (3 P)

    2. Für alle a0 stimmen die Wendestellen von fa mit den Lösungen der Gleichung (ax23)x=0 überein.

      Geben Sie für alle Werte von a die Anzahl der Wendestellen von fa an und begründen Sie Ihre Angabe. (1 P + 4 P)

    3. Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden.

      Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung y=x handelt. (3 P)


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