B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .

Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$ -Achse durch den Hochpunkt $H (2 | f (2))$ des Graphen von $f$ . Die $y$ -Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (orange gefärbte Fläche in Abbildung 3).

Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Ermittle den Inhalt dieser Fläche
Ermittele zunächst die Gleichung der Geraden $g$ :
Die Gerade $g$ verläuft durch den Hochpunkt $H P (2 | f (2))$ .
Berechne $f (2) = 10 \cdot (2 - 1) \cdot e^{- 2} = 10 \cdot e^{- 2} \Rightarrow H P (2 | 10 \cdot e^{- 2})$ .
Die Gerade $g$ hat die Steigung $m = 0 \Rightarrow g : y = 10 \cdot e^{- 2}$ .
Für den Flächeninhalt erhält man dann: $\int_{0}^{2} (g - f (x)) d x$
Die Berechnung mit CAS liefert das folgende Ergebnis:
Der Inhalt dieser Fläche beträgt rund $5,4134 FE$ .
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Ermittele die Gleichung der Geraden $g$ , die durch den Hochpunkt $H P (2 | f (2))$ verläuft.
Für den Flächeninhalt erhält man dann: $\int_{0}^{2} (g - f (x)) d x$
$Q_{u} (u | f (u)), 0 < u < 2$ , ist ein Punkt auf dem Graphen von $f$ . Die Parallelen durch $Q_{u}$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_{x}$ und $p_{y}$ bezeichnet. Die $y$ -Achse, $g, p_{x}$ und $p_{y}$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).
Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat
Nach Aufgabe 1) hat der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x = 1$ . Der Punkt $Q_{1}$ hat die Koordinaten $Q_{1} (1 | 0)$ .
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit $A = a \cdot b$ .
Dabei ist $a = 1$ und $b = 10 \cdot e^{- 2}$ (Abstand der Geraden $g$ von der x-Achse).
$\Rightarrow A = 1 \cdot 10 \cdot e^{- 2} = 10 \cdot e^{- 2} \approx 1,3534$
Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt rund $1,3534 FE$ .
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Nach Aufgabe 1) hat der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x = 1$ . Der Punkt $Q_{1}$ hat die Koordinaten $Q_{1} (1 | 0)$ .
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit $A = a \cdot b$ .
Setze $a$ und $b$ ein.
Untersuchen Sie, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u} (u | f (u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u} (u | f (u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird
Es sind $Q_{u} (u | f (u))$ und $g : y = 10 \cdot e^{- 2}$ .
Funktionsgleichung für $A (u)$ ermitteln
Die eine Rechteckseite hat die Länge $u$ und die andere Rechteckseite hat die Länge $g - f (u) = 10 \cdot e^{- 2} - 10 \cdot (u - 1) \cdot e^{- u}$
$\Rightarrow A (u) = u \cdot (10 \cdot e^{- 2} - 10 \cdot (u - 1) \cdot e^{- u})$
Bestimmung des maximalen Flächeninhalts
Lasse Dir den Graphen von $A (u)$ anzeigen und bestimme das Maximum.
Für $u \approx 0,4850$ wird $A (u)$ maximal.
Dabei ist $A_{max} \approx 2,1942 FE$ .
Berechnung der prozentualen Vergrößerung
Für die prozentuale Vergrößerung erhält man mit $A \approx 1,3534$ :
$\frac{A_{max}}{A} = \frac{2,1942}{1,3534} \approx 1,621$
Der Wert aus b) lässt sich maximal um etwa $62 %$ vergrößern.
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Es sind $Q_{u} (u | f (u))$ und $g : y = 10 \cdot e^{- 2}$ .
Die eine Rechteckseite hat die Länge $u$ und die andere Rechteckseite hat die Länge $g - f (u) \Rightarrow$ berechne $A (u)$ .
Lasse Dir den Graphen von $A (u)$ anzeigen, bestimme das Maximum $A_{max}$ .
Für die prozentuale Vergrößerung erhält man mit $A$ aus Aufgabe b): $\frac{A_{max}}{A}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Ermittle den Inhalt dieser Fläche

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Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass Qu mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von f mit der x-Achse hat

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Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für Qu(u|f(u)) eine andere Position mit 0<u<2 gewählt wird

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Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat

Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u} (u | f (u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird