B1

1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung 1
1. Begründen Sie, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist
  Gegeben ist $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
  Für die Nullstellen löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
  $0=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
  Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $\Rightarrow\;x-1=0\;\Rightarrow\;x=1$
  Demnach ist $x = 1$ die einzige Nullstelle.
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  Löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
2. Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
  $f'(x)=10\cdot(1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$
  $f'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$
  Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $2-x=0\;\Rightarrow\;x=2$
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
  $f''(x)=10\cdot\left((-1)\cdot e^{-x}+(2-x)\cdot e^{-x}\cdot (-1)\right)=10\cdot(x-3)\cdot e^{-x}$
  $f''(2)=10\cdot(2-3)\cdot e^{-2}=-10\cdot e^{-2}<0$
  Die Funktion $f$ hat genau eine lokale Extremstelle.
  Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
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  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung $f'(x)=0\;\Rightarrow\;x_1$ .
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
  Bilde die 2. Ableitung und überprüfe $f^{''} (x_{1})$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .
Die 1. Ableitung ist $f'(x)=10\cdot(2-x)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}, x \in \mathbb{R}$ , und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$ .
1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist
  Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
  $W\in t$ d.h. $f (3) = t (3)$ .
  Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
  Gegeben sind: $W(3 \mid f(3)), f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x},t(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}$ ,
  und nach Aufgabe 1 auch $f'(x)=10\cdot(2-x)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
  Überprüfung der 1. Bedingung:
  Es ist $f(3)=10 \cdot(3-1) \cdot \mathrm{e}^{-3}=20\cdot \mathrm{e}^{-3}$ und $t(3)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot 3+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}=20\cdot \mathrm{e}^{-3}\;\Rightarrow\;f(3)=t(3)\;\checkmark$ .
  Überprüfung der 2. Bedingung:
  Für $t^{'} (x)$ erhält man: $t'(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3}$
  Dann ist $f'(3)=10\cdot(2-3)\cdot \mathrm{e}^{-3}=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3}=t'(3)\;\checkmark$ .
  Die beiden Bedingungen sind erfüllt und der Graph von $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W(3 \mid f(3))$ .
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  Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
  $W\in t$ , d.h. $f (3) = t (3)$ .
  Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
  Überprüfe die beiden Bedingungen.
2. Die Schnittpunkte der in Aufgabe 2 gegebenen Tangente mit den beiden Koordinatenachsen legen eine Strecke fest.
  Berechnen Sie die Länge dieser Strecke. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  Berechne die Länge dieser Strecke
  Es ist $t(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}$ .
  Der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ist $t(0)\;\Rightarrow\;t(0)=50 \cdot \mathrm{e}^{-3}$ .
  Dann ist $S_y(0|50 \cdot \mathrm{e}^{-3})$ .
  Für den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse setze $t (x) = 0$ .
  $0=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}=10\cdot\mathrm{e}^{-3}(-x+5)\;\Rightarrow\;x=5$
  Dann ist $S_{x} (5 ∣ 0)$ .
  Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .
  Setze die Koordinaten von $S_{x}$ und $S_{y}$ ein:
  $d=\sqrt{(5-0)^2+(0-50 \cdot \mathrm{e}^{-3})^2}=\sqrt{25+2500\cdot\mathrm{e}^{-6}}\approx5{,}5854$
  Die Länge dieser Strecke beträgt rund $5{,}5854 \;\mathrm{LE}$ .
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  Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse $\;\Rightarrow\;S_y(x_1|y_1)$ .
  Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse $\;\Rightarrow\;S_x(x_2|y_2)$ .
  Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .
3. Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 2 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2).
  Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$ auf vier Nachkommastellen gerundet. (3 P)
  Abbildung 2
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme den Flächeninhalt von $F$ auf vier Nachkommastellen gerundet
  Bekannt ist: Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 2 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ und es ist $W(3 \mid f(3))$ .
  Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
  Dann gilt: $A_1=\displaystyle\int_1^3f(x)\;\mathrm{d}x$ und $A_2=\displaystyle\int_3^5t(x)\;\mathrm{d}x$ .
  Der CAS-Rechner liefert das Ergebnis für $F = A_{1} + A_{2}$ :
  Der Flächeninhalt von $F$ beträgt auf vier Nachkommastellen gerundet $3{,}1809\;\mathrm{FE}$ .
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  Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
  Berechne mit dem CAS die Summe der beiden Integrale.
  Runde auf vier Nachkommastellen.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .
Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$ -Achse durch den Hochpunkt $H(2 \mid f(2))$ des Graphen von $f$ . Die $y$ -Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (orange gefärbte Fläche in Abbildung 3).
Abbildung 3
1. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittle den Inhalt dieser Fläche
  Ermittele zunächst die Gleichung der Geraden $g$ :
  Die Gerade $g$ verläuft durch den Hochpunkt $H P (2 ∣ f (2))$ .
  Berechne $f(2)=10 \cdot(2-1) \cdot \mathrm{e}^{-2}=10\cdot \mathrm{e}^{-2}\;\Rightarrow\;HP\left(2|10\cdot \mathrm{e}^{-2}\right)$ .
  Die Gerade $g$ hat die Steigung $m=0\;\Rightarrow\;g:y=10\cdot \mathrm{e}^{-2}$ .
  Für den Flächeninhalt erhält man dann: $\displaystyle\int_0^2 (g-f(x))\;\mathrm{d}x$
  Die Berechnung mit CAS liefert das folgende Ergebnis:
  Der Inhalt dieser Fläche beträgt rund $5{,}4134\;\mathrm{FE}$ .
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  Ermittele die Gleichung der Geraden $g$ , die durch den Hochpunkt $H P (2 ∣ f (2))$ verläuft.
  Für den Flächeninhalt erhält man dann: $\displaystyle\int_0^2 (g-f(x))\;\mathrm{d}x$
2. $Q_{u}(u \mid f(u)), 0<u<2$ , ist ein Punkt auf dem Graphen von $f$ . Die Parallelen durch $Q_{u}$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_{x}$ und $p_{y}$ bezeichnet. Die $y$ -Achse, $g, p_{x}$ und $p_{y}$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).
  Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat
  Nach Aufgabe 1) hat der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x = 1$ . Der Punkt $Q_{1}$ hat die Koordinaten $Q_{1} (1 ∣ 0)$ .
  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit $A=a\cdot b$ .
  Dabei ist $a = 1$ und $b=10\cdot \mathrm{e}^{-2}$ (Abstand der Geraden $g$ von der x-Achse).
  $\Rightarrow\;A=1\cdot10\cdot \mathrm{e}^{-2}=10\cdot \mathrm{e}^{-2}\approx1{,}3534$
  Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt rund $1{,}3534\;\mathrm{FE}$ .
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  Nach Aufgabe 1) hat der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x = 1$ . Der Punkt $Q_{1}$ hat die Koordinaten $Q_{1} (1 ∣ 0)$ .
  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit $A=a\cdot b$ .
  Setze $a$ und $b$ ein.
3. Untersuchen Sie, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u}(u \mid f(u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
  Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u}(u \mid f(u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird
  Es sind $Q_{u}(u \mid f(u))$ und $g:y=10\cdot \mathrm{e}^{-2}$ .
  Funktionsgleichung für $A (u)$ ermitteln
  Die eine Rechteckseite hat die Länge $u$ und die andere Rechteckseite hat die Länge $g-f(u)=10\cdot \mathrm{e}^{-2}-10 \cdot(u-1) \cdot \mathrm{e}^{-u}$
  $\Rightarrow\;A(u)=u\cdot \left(10\cdot \mathrm{e}^{-2}-10 \cdot(u-1) \cdot \mathrm{e}^{-u}\right)$
  Bestimmung des maximalen Flächeninhalts
  Lasse Dir den Graphen von $A (u)$ anzeigen und bestimme das Maximum.
  Für $u\approx 0{,}4850$ wird $A (u)$ maximal.
  Dabei ist $A_{\text{max}}\approx2{,}1942\;\mathrm{FE}$ .
  Berechnung der prozentualen Vergrößerung
  Für die prozentuale Vergrößerung erhält man mit $A\approx1{,}3534$ :
  $\dfrac{A_{\text{max}}}{A}=\dfrac{2{,}1942}{1{,}3534}\approx1{,}621$
  Der Wert aus b) lässt sich maximal um etwa $62 %$ vergrößern.
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  Es sind $Q_{u}(u \mid f(u))$ und $g:y=10\cdot \mathrm{e}^{-2}$ .
  Die eine Rechteckseite hat die Länge $u$ und die andere Rechteckseite hat die Länge $g-f(u)\;\Rightarrow\;$ berechne $A (u)$ .
  Lasse Dir den Graphen von $A (u)$ anzeigen, bestimme das Maximum $A_{\text{max}}$ .
  Für die prozentuale Vergrößerung erhält man mit $A$ aus Aufgabe b): $\dfrac{A_{\text{max}}}{A}$ .
4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .
Die Funktion $f$ gehört zur Schar $h_{a}$ , die gegeben ist durch
$h_{a}(x)=10 \cdot(x-a) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$ .
Der Graph von $h_{a}$ besitzt genau einen Wendepunkt $W_{a}$ .
1. Ermitteln Sie die Wendestelle. (3 P)
  $[$ Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich. $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Ermittle die Wendestelle
  Gegeben ist $h_{a}(x)=10 \cdot(x-a) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
  Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist $h_{a}^{''} (x) = 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel zunächst die 1. Ableitung:
  $h_a'(x)=10\cdot(1\cdot e^{-x}+(x-a)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot(-x+a+1)\cdot e^{-x}$
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
  $h_a''(x)=10\cdot\left((-1)\cdot e^{-x}+(-x+a+1)\cdot e^{-x}\cdot (-1)\right)=10\cdot(x-a-2)\cdot e^{-x}$
  $h_a''(x)=0\;\Rightarrow\;0=10\cdot(x-a-2)\cdot e^{-x}$
  Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $x-a-2=0\;\Rightarrow\;x=a+2$
  Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich, d.h. man erhält genau eine Wendestelle an der Stelle $x = a + 2$ .
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  Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist $h_{a}^{''} (x) = 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und die 2. Ableitung.
  Löse die Gleichung $h_{a}^{''} (x) = 0$ .
2. $t_{a}$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_{a}\left(a+2 \mid h_{a}(a+2)\right)$ . Eine Gleichung für $t_{a}$ ist $y=-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2} \cdot x+10(a+4) \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ .
  Für $a \neq-4$ begrenzt $t_{a}$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Leiten Sie einen Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks her. (4 P)
  $[$ Mögliche Lösung: $A_{D}(a)=5 \cdot(a+4)^{2} \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Leite einen Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks her
  Bestimme die Schnittpunkte von $t_{a}$ mit den Koordinatenachsen:
  Schnitt mit der y-Achse: $x=0\;\Rightarrow\;y=-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2} \cdot 0+10(a+4) \cdot \mathrm{e}^{-a-2}=10(a+4) \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$
  $\Rightarrow\;S_y\left(0|10(a+4) \cdot \mathrm{e}^{-a-2}\right)$
  Schnitt mit der x-Achse:
  $y=0\;\Rightarrow\;0=-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2} \cdot x+10(a+4) \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$
  $\Rightarrow\;x=\dfrac{\cancel{10}(a+4) \cdot \cancel{\mathrm{e}^{-a-2}}}{\cancel{10} \cdot \cancel{\mathrm{e}^{-a-2}}}=a+4$
  $\Rightarrow\;S_x(a+4|0)$
  Für den Flächeninhalt des Dreiecks erhält man dann:
  $A_D=\dfrac{1}{2}\cdot x\cdot y=\dfrac{1}{2}\cdot(a+4)\cdot \left(10\cdot(a+4) \cdot \mathrm{e}^{-a-2}\right)$
  $A_D=5\cdot (a+4)^2 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$
  Der Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks lautet $A_D=5\cdot (a+4)^2 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ .
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  Bestimme die Schnittpunkte von $t_{a}$ mit den Koordinatenachsen $\;\Rightarrow\;x_1$ und $y_{1}$ .
  Für den Flächeninhalt des Dreiecks erhält man dann $A_D=\dfrac{1}{2}\cdot x_1\cdot y_1$ .
3. Ermitteln Sie einen Wert von $a$ , für den die Dreiecksfläche die Größe $10\;\mathrm{FE}$ hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Ermittle einen Wert von $a$ , für den die Dreiecksfläche die Größe $10\;\mathrm{FE}$ hat
  Es ist $A_D=5\cdot (a+4)^2 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ .
  Löse die Gleichung $10=5\cdot (a+4)^2 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}\;\Rightarrow\;2=(a+4)^2 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ .
  $\text{NLöse}(2=(a+4)^{2}\cdot e^{-a-2},a)$ mit dem Ergebnis:
  $a\approx-4{,}4214\vee a\approx-3{,}2388\vee a\approx 0{,}1559$
  Man erhält drei Werte für $a$ , sodass die Dreiecksfläche den Flächeninhalt $10\;\mathrm{FE}$ hat.
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  Aus Aufgabe c) $\;\Rightarrow\;A_D$ .
  Löse mit dem CAS die Gleichung $A_{D} = 10$ .

Aufgabe 5

Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

$t_{a}$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_{a}\left(a+2 \mid h_{a}(a+2)\right)$ . Eine Gleichung für $t_{a}$ ist $y=-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2} \cdot x+10(a+4) \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ .

Weiterhin ist $h_{a}(x)=10 \cdot(x-a) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$ .

Die Gerade $l_{a}$ ist die Gerade, die im Wendepunkt $W_{a}\left(a+2 \mid h_{a}(a+2)\right)$ senkrecht auf der Tangente $t_{a}$ steht.

Ermitteln Sie eine Gleichung für $l_{a}$ . (4 P)

$\left[\right.$ Mögliche Lösung: $\left.y=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10} \cdot x+\dfrac{200-(a+2) \mathrm{e}^{2 a+4}}{10 \cdot \mathrm{e}^{a+2}}\right]$

$[$ Hinweis: Ohne Nachweis kannst du den folgenden Sachverhalt nutzen:

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander genau dann, wenn für ihre Steigungen gilt: $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ . $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale

Ermittle eine Gleichung für $l_{a}$

Gegeben ist der Wendepunkt $W_{a}\left(a+2 \mid h_{a}(a+2)\right)$ und die Gleichung der Tangente $t_a: y=-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2} \cdot x+10(a+4) \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ $\;\Rightarrow\;m_{t_{a}}=-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ .

Berechne zunächst $h_{a}(a+2)=10 \cdot(a+2-a) \cdot \mathrm{e}^{-(a+2)}$ .

$h_{a}(a+2)=20 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$

Die Gerade $l_{a}$ ist die Gerade, die im Wendepunkt $W_{a}\left(a+2 \mid h_{a}(a+2)\right)$ senkrecht auf der Tangente $t_{a}$ steht $\;\Rightarrow\;m_{l_{a}}\cdot m_{t_{a}}=-1\;\Rightarrow\;m_{l_{a}}=-\dfrac{1}{m_{t_{a}}}=-\dfrac{1}{-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}}$ .

Somit ist $m_{l_{a}}=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}$ .

Dann folgt für die Normalengleichung: $l_a:y=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot x+b$ .

Setze $W_{a}\left(a+2 \mid 20 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}\right)$ in die Gleichung ein und löse nach $b$ auf:

$20 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot (a+2)+b\;\Rightarrow\;b=20 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}-\dfrac{(a+2)\cdot\mathrm{e}^{a+2}}{10}$

$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 20 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}-\dfrac{(a+2)\cdot\mathrm{e}^{a+2}}{10}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{20}{\mathrm{e}^{a+2}}-\dfrac{(a+2)\cdot\mathrm{e}^{a+2}}{10}$
	↓	Bringe auf den Hauptnenner.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{200-(a+2)\cdot\mathrm{e}^{2a+4}}{10\cdot \mathrm{e}^{a+2} }$

Die Normalengleichung lautet also: $l_a:y=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot x+\dfrac{200-(a+2)\cdot\mathrm{e}^{2a+4}}{10\cdot \mathrm{e}^{a+2} }$

(Siehe mögliche Lösung.)

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$N_{a}$ ist der Schnittpunkt des Graphen von $h_{a}$ mit der $x$ -Achse.
Ermitteln Sie den Wert von $a$ , für den die Gerade $l_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Ermittle den Wert von $a$ , für den die Gerade $I_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft
Gegeben ist $h_{a}(x)=10 \cdot(x-a) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ und $l_a: y=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot x+\dfrac{200-(a+2)\cdot\mathrm{e}^{2a+4}}{10\cdot \mathrm{e}^{a+2} }$ .
Berechne den Schnittpunkt $N_{a}$ des Graphen von $h_{a}$ mit der $x$ -Achse $\;\Rightarrow h_{a}(x)=0$ .
$0=10 \cdot(x-a) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$x-a=0\;\Rightarrow\;x=a\;\Rightarrow\;N_a(a\mid 0)$
Die Gerade $l_{a}$ soll durch $N_{a}$ verlaufen.
Setze $N_a(a\mid 0)$ in $l_a: y=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot x+\dfrac{200-(a+2)\cdot\mathrm{e}^{2a+4}}{10\cdot \mathrm{e}^{a+2} }$ ein und löse mit CAS:
$\Rightarrow\;0=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot a+\dfrac{200-(a+2)\cdot\mathrm{e}^{2a+4}}{10\cdot \mathrm{e}^{a+2} }$
Es ist $a=\ln\left(\dfrac{10}{e^2}\right)=\ln(10)-\ln(e^2)=\ln(10)-2\approx0{,}3026$ .
Der Wert von $a$ , für den die Gerade $l_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft, ist $a=\ln(10)-2\approx0{,}3026$
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Berechne den Schnittpunkt $N_{a}$ des Graphen von $h_{a}$ mit der $x$ -Achse $\;\Rightarrow h_{a}(x)=0\;\Rightarrow\;N_a(x_1\mid 0)$ .
Die Gerade $l_{a}$ soll durch $N_{a}$ verlaufen.
Setze $N_{a}$ in $l_{a}$ ein und löse mit CAS.

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B1

Aufgabe 1

Begründe, dass x=1x=1x=1 die einzige Nullstelle von fff ist

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Untersuche fff rechnerisch auf lokale Extremstellen

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Aufgabe 2

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von ttt die Tangente an den Graphen von fff im Punkt WWW ist

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Berechne die Länge dieser Strecke

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Bestimme den Flächeninhalt von FFF auf vier Nachkommastellen gerundet

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Aufgabe 3

Ermittle den Inhalt dieser Fläche

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Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass QuQ_{u}Qu​ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von fff mit der xxx-Achse hat

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Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für Qu(u∣f(u))Q_{u}(u \mid f(u))Qu​(u∣f(u)) eine andere Position mit 0<u<20<u<20<u<2 gewählt wird

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Aufgabe 4

Ermittle die Wendestelle

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Leite einen Term für den Flächeninhalt ADA_{D}AD​ des Dreiecks her

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Ermittle einen Wert von aaa, für den die Dreiecksfläche die Größe 10 FE10\;\mathrm{FE}10FE hat

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Aufgabe 5

Ermittle eine Gleichung für lal_{a}la​

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Ermittle den Wert von aaa, für den die Gerade IaI_{a}Ia​ durch NaN_{a}Na​ verläuft

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Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist

Bestimme den Flächeninhalt von $F$ auf vier Nachkommastellen gerundet

Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat

Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u}(u \mid f(u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird

Leite einen Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks her

Ermittle einen Wert von $a$ , für den die Dreiecksfläche die Größe $10\;\mathrm{FE}$ hat

Ermittle eine Gleichung für $l_{a}$

Ermittle den Wert von $a$ , für den die Gerade $I_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft