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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung 1
1. Begründen Sie, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist
  Gegeben ist $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}$ .
  Für die Nullstellen löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
  $0 = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}$
  Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $\Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
  Demnach ist $x = 1$ die einzige Nullstelle.
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  Löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
2. Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
  $f^{'} (x) = 10 \cdot (1 \cdot e^{- x} + (x - 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$
  $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 0 = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$
  Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{''} (x) \neq 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
  $f^{''} (x) = 10 \cdot ((- 1) \cdot e^{- x} + (2 - x) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)) = 10 \cdot (x - 3) \cdot e^{- x}$
  $f^{''} (2) = 10 \cdot (2 - 3) \cdot e^{- 2} = - 10 \cdot e^{- 2} < 0$
  Die Funktion $f$ hat genau eine lokale Extremstelle.
  Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
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  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x_{1}$ .
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{''} (x) \neq 0$ .
  Bilde die 2. Ableitung und überprüfe $f^{''} (x_{1})$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .
Die 1. Ableitung ist $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .
Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t (x) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3}, x \in ℝ$ , und der Wendepunkt $W (3 | f (3))$ des Graphen von $f$ .
1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist
  Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
  $W \in t$ d.h. $f (3) = t (3)$ .
  Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
  Gegeben sind: $W (3 | f (3)), f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, t (x) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3}$ ,
  und nach Aufgabe 1 auch $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .
  Überprüfung der 1. Bedingung:
  Es ist $f (3) = 10 \cdot (3 - 1) \cdot e^{- 3} = 20 \cdot e^{- 3}$ und $t (3) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot 3 + 50 \cdot e^{- 3} = 20 \cdot e^{- 3} \Rightarrow f (3) = t (3) ✓$ .
  Überprüfung der 2. Bedingung:
  Für $t^{'} (x)$ erhält man: $t^{'} (x) = - 10 \cdot e^{- 3}$
  Dann ist $f^{'} (3) = 10 \cdot (2 - 3) \cdot e^{- 3} = - 10 \cdot e^{- 3} = t^{'} (3) ✓$ .
  Die beiden Bedingungen sind erfüllt und der Graph von $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W (3 | f (3))$ .
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  Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
  $W \in t$ , d.h. $f (3) = t (3)$ .
  Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
  Überprüfe die beiden Bedingungen.
2. Die Schnittpunkte der in Aufgabe 2 gegebenen Tangente mit den beiden Koordinatenachsen legen eine Strecke fest.
  Berechnen Sie die Länge dieser Strecke. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  Berechne die Länge dieser Strecke
  Es ist $t (x) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3}$ .
  Der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ist $t (0) \Rightarrow t (0) = 50 \cdot e^{- 3}$ .
  Dann ist $S_{y} (0 | 50 \cdot e^{- 3})$ .
  Für den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse setze $t (x) = 0$ .
  $0 = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3} = 10 \cdot e^{- 3} (- x + 5) \Rightarrow x = 5$
  Dann ist $S_{x} (5 | 0)$ .
  Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ .
  Setze die Koordinaten von $S_{x}$ und $S_{y}$ ein:
  $d = \sqrt{(5 - 0)^{2} + (0 - 50 \cdot e^{- 3})^{2}} = \sqrt{25 + 2500 \cdot e^{- 6}} \approx 5,5854$
  Die Länge dieser Strecke beträgt rund $5,5854 LE$ .
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  Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse $\Rightarrow S_{y} (x_{1} | y_{1})$ .
  Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse $\Rightarrow S_{x} (x_{2} | y_{2})$ .
  Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ .
3. Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 2 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2).
  Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$ auf vier Nachkommastellen gerundet. (3 P)
  Abbildung 2
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme den Flächeninhalt von $F$ auf vier Nachkommastellen gerundet
  Bekannt ist: Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 2 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ und es ist $W (3 | f (3))$ .
  Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
  Dann gilt: $A_{1} = \int_{1}^{3} f (x) d x$ und $A_{2} = \int_{3}^{5} t (x) d x$ .
  Der CAS-Rechner liefert das Ergebnis für $F = A_{1} + A_{2}$ :
  Der Flächeninhalt von $F$ beträgt auf vier Nachkommastellen gerundet $3,1809 FE$ .
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  Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
  Berechne mit dem CAS die Summe der beiden Integrale.
  Runde auf vier Nachkommastellen.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .
Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$ -Achse durch den Hochpunkt $H (2 | f (2))$ des Graphen von $f$ . Die $y$ -Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (orange gefärbte Fläche in Abbildung 3).
Abbildung 3
1. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittle den Inhalt dieser Fläche
  Ermittele zunächst die Gleichung der Geraden $g$ :
  Die Gerade $g$ verläuft durch den Hochpunkt $H P (2 | f (2))$ .
  Berechne $f (2) = 10 \cdot (2 - 1) \cdot e^{- 2} = 10 \cdot e^{- 2} \Rightarrow H P (2 | 10 \cdot e^{- 2})$ .
  Die Gerade $g$ hat die Steigung $m = 0 \Rightarrow g : y = 10 \cdot e^{- 2}$ .
  Für den Flächeninhalt erhält man dann: $\int_{0}^{2} (g - f (x)) d x$
  Die Berechnung mit CAS liefert das folgende Ergebnis:
  Der Inhalt dieser Fläche beträgt rund $5,4134 FE$ .
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  Ermittele die Gleichung der Geraden $g$ , die durch den Hochpunkt $H P (2 | f (2))$ verläuft.
  Für den Flächeninhalt erhält man dann: $\int_{0}^{2} (g - f (x)) d x$
2. $Q_{u} (u | f (u)), 0 < u < 2$ , ist ein Punkt auf dem Graphen von $f$ . Die Parallelen durch $Q_{u}$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_{x}$ und $p_{y}$ bezeichnet. Die $y$ -Achse, $g, p_{x}$ und $p_{y}$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).
  Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat
  Nach Aufgabe 1) hat der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x = 1$ . Der Punkt $Q_{1}$ hat die Koordinaten $Q_{1} (1 | 0)$ .
  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit $A = a \cdot b$ .
  Dabei ist $a = 1$ und $b = 10 \cdot e^{- 2}$ (Abstand der Geraden $g$ von der x-Achse).
  $\Rightarrow A = 1 \cdot 10 \cdot e^{- 2} = 10 \cdot e^{- 2} \approx 1,3534$
  Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt rund $1,3534 FE$ .
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  Nach Aufgabe 1) hat der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x = 1$ . Der Punkt $Q_{1}$ hat die Koordinaten $Q_{1} (1 | 0)$ .
  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit $A = a \cdot b$ .
  Setze $a$ und $b$ ein.
3. Untersuchen Sie, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u} (u | f (u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
  Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u} (u | f (u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird
  Es sind $Q_{u} (u | f (u))$ und $g : y = 10 \cdot e^{- 2}$ .
  Funktionsgleichung für $A (u)$ ermitteln
  Die eine Rechteckseite hat die Länge $u$ und die andere Rechteckseite hat die Länge $g - f (u) = 10 \cdot e^{- 2} - 10 \cdot (u - 1) \cdot e^{- u}$
  $\Rightarrow A (u) = u \cdot (10 \cdot e^{- 2} - 10 \cdot (u - 1) \cdot e^{- u})$
  Bestimmung des maximalen Flächeninhalts
  Lasse Dir den Graphen von $A (u)$ anzeigen und bestimme das Maximum.
  Für $u \approx 0,4850$ wird $A (u)$ maximal.
  Dabei ist $A_{max} \approx 2,1942 FE$ .
  Berechnung der prozentualen Vergrößerung
  Für die prozentuale Vergrößerung erhält man mit $A \approx 1,3534$ :
  $\frac{A_{max}}{A} = \frac{2,1942}{1,3534} \approx 1,621$
  Der Wert aus b) lässt sich maximal um etwa $62 %$ vergrößern.
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  Es sind $Q_{u} (u | f (u))$ und $g : y = 10 \cdot e^{- 2}$ .
  Die eine Rechteckseite hat die Länge $u$ und die andere Rechteckseite hat die Länge $g - f (u) \Rightarrow$ berechne $A (u)$ .
  Lasse Dir den Graphen von $A (u)$ anzeigen, bestimme das Maximum $A_{max}$ .
  Für die prozentuale Vergrößerung erhält man mit $A$ aus Aufgabe b): $\frac{A_{max}}{A}$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .
Die Funktion $f$ gehört zur Schar $h_{a}$ , die gegeben ist durch
$h_{a} (x) = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{- x}, x \in ℝ, a \in ℝ$ .
Der Graph von $h_{a}$ besitzt genau einen Wendepunkt $W_{a}$ .
1. Ermitteln Sie die Wendestelle. (3 P)
  $[$ Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich. $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Ermittle die Wendestelle
  Gegeben ist $h_{a} (x) = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{- x}$ .
  Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist $h_{a}^{''} (x) = 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel zunächst die 1. Ableitung:
  $h_{a}^{'} (x) = 10 \cdot (1 \cdot e^{- x} + (x - a) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)) = 10 \cdot (- x + a + 1) \cdot e^{- x}$
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
  $h_{a}^{''} (x) = 10 \cdot ((- 1) \cdot e^{- x} + (- x + a + 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)) = 10 \cdot (x - a - 2) \cdot e^{- x}$
  $h_{a}^{''} (x) = 0 \Rightarrow 0 = 10 \cdot (x - a - 2) \cdot e^{- x}$
  Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $x - a - 2 = 0 \Rightarrow x = a + 2$
  Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich, d.h. man erhält genau eine Wendestelle an der Stelle $x = a + 2$ .
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  Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist $h_{a}^{''} (x) = 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und die 2. Ableitung.
  Löse die Gleichung $h_{a}^{''} (x) = 0$ .
2. $t_{a}$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_{a} (a + 2 | h_{a} (a + 2))$ . Eine Gleichung für $t_{a}$ ist $y = - 10 \cdot e^{- a - 2} \cdot x + 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2}$ .
  Für $a \neq - 4$ begrenzt $t_{a}$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Leiten Sie einen Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks her. (4 P)
  $[$ Mögliche Lösung: $A_{D} (a) = 5 \cdot (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Leite einen Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks her
  Bestimme die Schnittpunkte von $t_{a}$ mit den Koordinatenachsen:
  Schnitt mit der y-Achse: $x = 0 \Rightarrow y = - 10 \cdot e^{- a - 2} \cdot 0 + 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2} = 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2}$
  $\Rightarrow S_{y} (0 | 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2})$
  Schnitt mit der x-Achse:
  $y = 0 \Rightarrow 0 = - 10 \cdot e^{- a - 2} \cdot x + 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2}$
  $\Rightarrow x = \frac{10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2}}{10 \cdot e^{- a - 2}} = a + 4$
  $\Rightarrow S_{x} (a + 4 | 0)$
  Für den Flächeninhalt des Dreiecks erhält man dann:
  $A_{D} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{1}{2} \cdot (a + 4) \cdot (10 \cdot (a + 4) \cdot e^{- a - 2})$
  $A_{D} = 5 \cdot (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}$
  Der Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks lautet $A_{D} = 5 \cdot (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}$ .
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  Bestimme die Schnittpunkte von $t_{a}$ mit den Koordinatenachsen $\Rightarrow x_{1}$ und $y_{1}$ .
  Für den Flächeninhalt des Dreiecks erhält man dann $A_{D} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} \cdot y_{1}$ .
3. Ermitteln Sie einen Wert von $a$ , für den die Dreiecksfläche die Größe $10 FE$ hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Ermittle einen Wert von $a$ , für den die Dreiecksfläche die Größe $10 FE$ hat
  Es ist $A_{D} = 5 \cdot (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}$ .
  Löse die Gleichung $10 = 5 \cdot (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2} \Rightarrow 2 = (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}$ .
  $NLöse (2 = (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}, a)$ mit dem Ergebnis:
  $a \approx - 4,4214 \lor a \approx - 3,2388 \lor a \approx 0,1559$
  Man erhält drei Werte für $a$ , sodass die Dreiecksfläche den Flächeninhalt $10 FE$ hat.
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  Aus Aufgabe c) $\Rightarrow A_{D}$ .
  Löse mit dem CAS die Gleichung $A_{D} = 10$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
$t_{a}$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_{a} (a + 2 | h_{a} (a + 2))$ . Eine Gleichung für $t_{a}$ ist $y = - 10 \cdot e^{- a - 2} \cdot x + 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2}$ .
Weiterhin ist $h_{a} (x) = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{- x}, x \in ℝ, a \in ℝ$ .
Die Gerade $l_{a}$ ist die Gerade, die im Wendepunkt $W_{a} (a + 2 | h_{a} (a + 2))$ senkrecht auf der Tangente $t_{a}$ steht.
1. Ermitteln Sie eine Gleichung für $l_{a}$ . (4 P)
  $[$ Mögliche Lösung: $y = \frac{e^{a + 2}}{10} \cdot x + \frac{200 - (a + 2) e^{2 a + 4}}{10 \cdot e^{a + 2}}]$
  $[$ Hinweis: Ohne Nachweis kannst du den folgenden Sachverhalt nutzen:
  Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander genau dann, wenn für ihre Steigungen gilt: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ . $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
  Ermittle eine Gleichung für $l_{a}$
  Gegeben ist der Wendepunkt $W_{a} (a + 2 | h_{a} (a + 2))$ und die Gleichung der Tangente $t_{a} : y = - 10 \cdot e^{- a - 2} \cdot x + 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2}$ $\Rightarrow m_{t_{a}} = - 10 \cdot e^{- a - 2}$ .
  Berechne zunächst $h_{a} (a + 2) = 10 \cdot (a + 2 - a) \cdot e^{- (a + 2)}$ .
  $h_{a} (a + 2) = 20 \cdot e^{- a - 2}$
  Die Gerade $l_{a}$ ist die Gerade, die im Wendepunkt $W_{a} (a + 2 | h_{a} (a + 2))$ senkrecht auf der Tangente $t_{a}$ steht $\Rightarrow m_{l_{a}} \cdot m_{t_{a}} = - 1 \Rightarrow m_{l_{a}} = - \frac{1}{m_{t_{a}}} = - \frac{1}{- 10 \cdot e^{- a - 2}}$ .
  Somit ist $m_{l_{a}} = \frac{e^{a + 2}}{10}$ .
  Dann folgt für die Normalengleichung: $l_{a} : y = \frac{e^{a + 2}}{10} \cdot x + b$ .
  Setze $W_{a} (a + 2 | 20 \cdot e^{- a - 2})$ in die Gleichung ein und löse nach $b$ auf:
  $20 \cdot e^{- a - 2} = \frac{e^{a + 2}}{10} \cdot (a + 2) + b \Rightarrow b = 20 \cdot e^{- a - 2} - \frac{(a + 2) \cdot e^{a + 2}}{10}$
  $b$ $=$ $20 \cdot e^{- a - 2} - \frac{(a + 2) \cdot e^{a + 2}}{10}$
  $=$ $\frac{20}{e^{a + 2}} - \frac{(a + 2) \cdot e^{a + 2}}{10}$
  ↓
  Bringe auf den Hauptnenner.
  $=$ $\frac{200 - (a + 2) \cdot e^{2 a + 4}}{10 \cdot e^{a + 2}}$
  Die Normalengleichung lautet also: $l_{a} : y = \frac{e^{a + 2}}{10} \cdot x + \frac{200 - (a + 2) \cdot e^{2 a + 4}}{10 \cdot e^{a + 2}}$
  (Siehe mögliche Lösung.)
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  Berechne zunächst $h_{a} (a + 2) \Rightarrow y_{a}$ .
  Die Gerade $l_{a}$ ist die Gerade, die im Wendepunkt $W_{a} (a + 2 | y_{a})$ senkrecht auf der Tangente $t_{a}$ steht $\Rightarrow m_{l_{a}} \cdot m_{t_{a}} = - 1 \Rightarrow m_{l_{a}} = - \frac{1}{m_{t_{a}}}$ .
  Setze $W_{a} (a + 2 | y_{a})$ in die Gleichung $l_{a} : y = m_{l_{a}} \cdot x + b$ ein und löse nach $b$ auf.
2. $N_{a}$ ist der Schnittpunkt des Graphen von $h_{a}$ mit der $x$ -Achse.
  Ermitteln Sie den Wert von $a$ , für den die Gerade $l_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Ermittle den Wert von $a$ , für den die Gerade $I_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft
  Gegeben ist $h_{a} (x) = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{- x}$ und $l_{a} : y = \frac{e^{a + 2}}{10} \cdot x + \frac{200 - (a + 2) \cdot e^{2 a + 4}}{10 \cdot e^{a + 2}}$ .
  Berechne den Schnittpunkt $N_{a}$ des Graphen von $h_{a}$ mit der $x$ -Achse $\Rightarrow h_{a} (x) = 0$ .
  $0 = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{- x}$
  Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $x - a = 0 \Rightarrow x = a \Rightarrow N_{a} (a | 0)$
  Die Gerade $l_{a}$ soll durch $N_{a}$ verlaufen.
  Setze $N_{a} (a | 0)$ in $l_{a} : y = \frac{e^{a + 2}}{10} \cdot x + \frac{200 - (a + 2) \cdot e^{2 a + 4}}{10 \cdot e^{a + 2}}$ ein und löse mit CAS:
  $\Rightarrow 0 = \frac{e^{a + 2}}{10} \cdot a + \frac{200 - (a + 2) \cdot e^{2 a + 4}}{10 \cdot e^{a + 2}}$
  Es ist $a = \ln (\frac{10}{e^{2}}) = \ln (10) - \ln (e^{2}) = \ln (10) - 2 \approx 0,3026$ .
  Der Wert von $a$ , für den die Gerade $l_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft, ist $a = \ln (10) - 2 \approx 0,3026$
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  Berechne den Schnittpunkt $N_{a}$ des Graphen von $h_{a}$ mit der $x$ -Achse $\Rightarrow h_{a} (x) = 0 \Rightarrow N_{a} (x_{1} | 0)$ .
  Die Gerade $l_{a}$ soll durch $N_{a}$ verlaufen.
  Setze $N_{a}$ in $l_{a}$ ein und löse mit CAS.

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$b$	$=$	$20 \cdot e^{- a - 2} - \frac{(a + 2) \cdot e^{a + 2}}{10}$
	$=$	$\frac{20}{e^{a + 2}} - \frac{(a + 2) \cdot e^{a + 2}}{10}$
	↓	Bringe auf den Hauptnenner.
	$=$	$\frac{200 - (a + 2) \cdot e^{2 a + 4}}{10 \cdot e^{a + 2}}$

B1

Aufgabe 1

Begründe, dass x=1 die einzige Nullstelle von f ist

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Untersuche f rechnerisch auf lokale Extremstellen

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Aufgabe 2

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von t die Tangente an den Graphen von f im Punkt W ist

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Berechne die Länge dieser Strecke

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Bestimme den Flächeninhalt von F auf vier Nachkommastellen gerundet

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Aufgabe 3

Ermittle den Inhalt dieser Fläche

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Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass Qu mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von f mit der x-Achse hat

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Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für Qu(u|f(u)) eine andere Position mit 0<u<2 gewählt wird

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Aufgabe 4

Ermittle die Wendestelle

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Leite einen Term für den Flächeninhalt AD des Dreiecks her

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Ermittle einen Wert von a, für den die Dreiecksfläche die Größe 10FE hat

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Aufgabe 5

Ermittle eine Gleichung für la

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Ermittle den Wert von a, für den die Gerade Ia durch Na verläuft

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Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist

Bestimme den Flächeninhalt von $F$ auf vier Nachkommastellen gerundet

Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat

Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u} (u | f (u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird

Leite einen Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks her

Ermittle einen Wert von $a$ , für den die Dreiecksfläche die Größe $10 FE$ hat

Ermittle eine Gleichung für $l_{a}$

Ermittle den Wert von $a$ , für den die Gerade $I_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft