Berechne die größte Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen in Prozent

Gegeben ist $p(x)=-\mathrm{0,000004}{x}^4+\mathrm{0,015}{x}^2-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1875}$.

Gesucht ist das Maximum der 1. Ableitung von $p(x)$:

Berechne $p^{\prime }(x)$, $p^{\prime \prime }(x)$ und $p^{\prime \prime \prime }(x)$:

$p^{\prime }(x)=-\mathrm{0,000016}{x}^3+\mathrm{0,03}x-\mathrm{0,1}$

$p^{\prime \prime }(x)=-\mathrm{0,000048}{x}^2+\mathrm{0,03}$

$p^{\prime \prime \prime }(x)=-\mathrm{0,000096}x$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $p^{\prime \prime }(x)=0$.

$0=-\mathrm{0,000048}{x}^2+\mathrm{0,03}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}}{\mathrm{0,000048}}}}=\pm \sqrt{625}=\pm 25$.

Wegen $0\le x\le \mathrm{41,5}$ ist $x=25$.

Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt:

$p^{\prime \prime \prime }(25)=-\mathrm{0,000096}\cdot 25=-\mathrm{0,0024}<0\Rightarrow$Maximum

Die größte Neigung der Piste:

Für $x=25$ liegt ein Maximum vor.

Berechne $p^{\prime }(25)=-\mathrm{0,000016}\cdot {25}^3+\mathrm{0,03}\cdot 25-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,4}=40\%$.

Für $x=25$ hat die Piste die größte Neigung gegenüber der Horizontalen mit $40\%$.

Bestimme die Werte von $b$ und $c$

Gegeben sind Funktion $h$ mit $h(x)=b\cdot c^x,b>0,c>0$ und die Punkte $A(5|\mathrm{2,31})$ und $B(37|\mathrm{10,68})$.

Setze die Koordinaten von $A$ in $h$ ein:

$\mathrm{2,31}=b\cdot c^5\Rightarrow b={\displaystyle \frac{\mathrm{2,31}}{c^5}}$

Setze $b$ und die Koordinaten von $B$ in $h$ ein:

$\mathrm{10,68}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,31}}{c^5}}\cdot c^{37}=\mathrm{2,31}\cdot c^{32}\Rightarrow c^{32}={\displaystyle \frac{\mathrm{10,68}}{\mathrm{2,31}}}\Rightarrow c=\sqrt[32]{{\displaystyle \frac{\mathrm{10,68}}{\mathrm{2,31}}}}\approx \mathrm{1,049}$

Dann erhält man für $b={\displaystyle \frac{\mathrm{2,31}}{{\mathrm{1,049}}^5}}\approx \mathrm{1,818}$. (Das ist die Musterlösung, gerundet erhält man $b\approx \mathrm{1,819}$.)

Die Werte von $b$ und $c$ sind $b\approx \mathrm{1,818}$ und $c\approx \mathrm{1,049}$.

Untersuche, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens 3 m beträgt

Es sind $h(x)=\mathrm{1,818}\cdot {\mathrm{1,049}}^x$ und $p(x)=-\mathrm{0,000004}{x}^4+\mathrm{0,015}{x}^2-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1875}$.

Weiterhin gilt: Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\mathrm{m}$ in der Realität.

Betrachte die Differenz der beiden Funktionsgleichungen:

$d(x)=h(x)-p(x)$

$d(x)=\mathrm{1,818}\cdot {\mathrm{1,049}}^x-(-\mathrm{0,000004}{x}^4+\mathrm{0,015}{x}^2-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1875})$

$d(x)=\mathrm{1,818}\cdot {\mathrm{1,049}}^x+\mathrm{0,000004}{x}^4-\mathrm{0,015}{x}^2+\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1875}$

Der vertikale Abstand des Seils zur Piste soll mindestens $3\mathrm{m}$ betragen.

An den Randstellen des Seils, bei $x=5$ und $x=37$ beträgt der vertikale Abstand zur Piste $d(5)\approx \mathrm{2,24925...}$ (etwa $\mathrm{22,5}\mathrm{m}$) und $d(37)\approx \mathrm{1,14754...}$ (etwa $\mathrm{11,5}\mathrm{m}$).

Die Stellen, an denen der Abstand $3\mathrm{m}$ beträgt, findet man mit der Gleichung $d(x)=\mathrm{0,3}$.

Löse die Gleichung mit dem CAS:

Für $5\le x\le 37$ erhält man die beiden Lösungen $x_1\approx \mathrm{27,24}$ und $x_2\approx \mathrm{32,64}$.

Vom Beginn des Seils bis $x_1\approx \mathrm{27,24}$ und von $x_2\approx \mathrm{32,64}$ bis $x=37$ beträgt der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens $3\mathrm{m}$.

Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\mathrm{m}$ hat

Finde graphisch das absolute Minimum der Funktion $d(x)$ im Bereich $\mathrm{27,24}\le x\le \mathrm{32,64}$.

Du erhältst die Minimalstelle bei $x\approx \mathrm{30,08821487}$ und den y-Wert $y\approx \mathrm{0,1882497763}$.

Der Tiefpunkt hat die gerundeten Koordinaten $TP(\mathrm{30,09}|\mathrm{0,19})$.

$y=\mathrm{0,19}$ entspricht einem Abstand von $\mathrm{1,9}\mathrm{m}$.

Um einen Abstand von mindestens $3\mathrm{m}$ zu haben, muss das Seil um $3\mathrm{m}-\mathrm{1,9}\mathrm{m}=\mathrm{1,1}\mathrm{m}$ angehoben werden.

Bestimme das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste

Bekannt ist, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $60\mathrm{c}\mathrm{m}$ beträgt, d.h. $60\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,6}\mathrm{m}$ und wegen des Faktors $10$ muss mit $\mathrm{0,06}$ gerechnet werden.

Weiterhin gilt: Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30\mathrm{m}$ breit $\Rightarrow \text{Breite}=30\mathrm{m}$.

Berechne zunächst die grau unterlegte Fläche.

Diese Fläche kann in zwei Teile zerlegt werden.

$$A=A_1+A_2={\displaystyle {\int }_0^{5}p(x)\mathrm{d}x+{\displaystyle {\int }_5^{\mathrm{41,5}}(p(x)-(p(x)-\mathrm{0,06}))\mathrm{d}x}}$$

Das CAS liefert folgendes Ergebnis:

Die Fläche ist: $A=A_1+A_2={\displaystyle \frac{31}{100}}+{\displaystyle \frac{219}{100}}={\displaystyle \frac{250}{100}}$, d.h. der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt ${\displaystyle \frac{250}{100}}\mathrm{F}\mathrm{E}$. Da $1\mathrm{F}\mathrm{E}$ gleich $100{\mathrm{m}}^2$ entspricht, ist die gesuchte Fläche $250{\mathrm{m}}^2$ groß.

Dann ist das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste:

$V=\text{Fläche}\cdot \text{Breite}=250\cdot 30=7500$.

Das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste beträgt $7500{\mathrm{m}}^3$.