B2

1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ und $g_{a}$ mit
$f_{a}(x)=-\dfrac{a}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}, a \in \mathbb{R}, a>0$ sowie $g_{a}(x)=f_{a}(x)-\frac{3}{5} x$ .
Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{1}$ .
Abbildung 1
1. Berechnen Sie für den Graphen von $f_{1}$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten des Extrempunktes. Zeichnen Sie den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein. (6 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Berechne für den Graphen von $f_{1}$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Gegeben ist $f_{a}(x)=-\dfrac{a}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}$ .
  Dann ist $f_1(x)=-\dfrac{1}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}=-\dfrac{1}{25}x^3\left(\dfrac{1}{10}x-1)\right)$
  Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
  $0=-\dfrac{1}{25}x^3\left(\dfrac{1}{10}x-1)\right)$
  Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
  $x=0\vee x=10$
  Die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse sind somit die Punkte $(0\mid0)$ und $(10\mid 0)$ . Wegen $f_{1} (0) = 0$ liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse auch im Koordinatenursprung.
  Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f_{1}^{'} (x) = 0$ .
  Bilde die 1. Ableitung:
  $f_1'(x)=-\dfrac{4}{250} x^{3}+\dfrac{3}{25} x^{2}=-\dfrac{1}{25}x^2\left(\dfrac{4}{10}x-3\right)$
  $f_1'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =-\dfrac{1}{25}x^2\left(\dfrac{4}{10}x-3\right)$
  Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
  $x=0\vee \dfrac{4}{10}x-3=0\;\Rightarrow\;x=7{,}5$
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
  Bilde die 2. Ableitung:
  $f_1''(x)=-\dfrac{12}{250} x^{2}+\dfrac{6}{25} x=-\dfrac{6}{125} x^{2}+\dfrac{6}{25} x$
  Überprüfung für $x = 0$ und $x = 7,5$ :
  $f_{1}^{''} (0) = 0$ $\;\Rightarrow\;$ bei $x = 0$ hast du eine Aussage über eine Extremstelle. Weil $f^{'}$ für $x = 0$ eine doppelte Nullstelle hat, liegt kein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor. Daher hat $f$ dort kein Extremum (Dem Aufgabentext kannst du auch entnehmen, dass das weiter unten berechnete Extremum bei $x = 7,5$ das einzige ist).
  Wegen der doppelten Nullstelle der Ableitung bei $x = 0$ hat diese aber dort ein Extremum. Daher besteht der Verdacht auf einen Sattelpunkt.
  $f_1''(7{,}5)=-\dfrac{6}{125}\cdot 7{,}5^{2}+\dfrac{6}{25} \cdot7{,}5=-0{,}9<0$ $\;\Rightarrow\;$ $\text{HP}$
  Dann ist $f_1(7{,}5)=-\dfrac{1}{250}\cdot 7{,}5^{4}+\dfrac{1}{25}\cdot 7{,}5^{3}=\dfrac{135}{32}=4{,}21875$
  Der Hochpunkt hat die Koordinaten $HP(7{,}5\mid 4{,}21875)$ .
  Zeichne den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein
  Abbildung 1
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Teil 1
  Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
  Teil 2
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f_{1}^{'} (x) = 0$ .
  Bilde die 1. und 2. Ableitung von $f_{1} (x)$ .
  Löse die Gleichung $f_1'(x)=0\;\Rightarrow\;x_1, x_2$
  Überprüfe mit $f_{1}^{''} (x)$ die Art des Extremums.
  Teil 3
  Zeichne den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein.
2. Geben Sie an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_{1}$ oberhalb des Graphen von $g_{1}$ verläuft und für welche unterhalb. Begründen Sie ihre Angabe. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Gib an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_{1}$ oberhalb des Graphen von $g_{1}$ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.
  Der Funktionsterm von $g_1(x)=f_1(x)-\dfrac{3}{5}x$ , d.h. der Term $-\dfrac{3}{5}x$ unterscheidet die beiden Funktionsterme.
  Betrachte das Verhalten dieses Terms.
  Für $x < 0$ gilt: $-\dfrac{3}{5}x>0$ .
  Zu $f_{1} (x)$ wird ein positiver Wert addiert, sodass der Graph von $g_{1}$ oberhalb vom Graphen von $f_{1}$ verläuft.
  Für $x > 0$ gilt: $-\dfrac{3}{5}x<0$ .
  Zu $f_{1} (x)$ wird ein negativer Wert addiert, sodass der Graph von $g_{1}$ unterhalb vom Graphen von $f_{1}$ verläuft.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Der Funktionsterm von $g_1(x)=f_1(x)-\dfrac{3}{5}x$ , d.h. der Term $-\dfrac{3}{5}x$ unterscheidet die beiden Funktionsterme.
  Betrachte das Verhalten des Terms $-\dfrac{3}{5}x$ .
  Welche Auswirkungen hat er auf die Größe von $g_{1} (x)$ ?
3. Für jeden Wert von $a$ gilt:
  I Die Funktionsterme von $f_{a}$ und $g_{a}$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5} x$ .
  II Der Graph von $f_{a}$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.
  Geben Sie an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_{a}$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_{a}$ folgern lässt.
  Begründen Sie ihre Angabe ausgehend von I und II. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_{a}$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_{a}$ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.
  Es gilt: I Die Funktionsterme von $f_{a}$ und $g_{a}$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5} x$ .
  Wird der Term $-\dfrac{3}{5}x$ zweimal abgeleitet, ist er gleich null, d.h. für die zweiten Ableitungen der beiden Funktionen $f_{a} (x)$ und $g_{a} (x)$ gilt dann $f_{a}^{''} (x) = g_{a}^{''} (x)$ .
  Somit haben $f_{a}$ und $g_{a}$ die gleiche Anzahl von Wendepunkten.
  Weiterhin gilt: II Der Graph von $f_{a}$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.
  Für $x = 0$ ist der Term $-\dfrac{3}{5}x$ ebenfalls gleich null $\;\Rightarrow\;f_a(0)=g_a(0)$ .
  Die y-Koordinate ist also bei beiden Graphen an der Stelle $x = 0$ gleich groß und es gilt: $WP_{f_a}(0\mid 0)=WP_{g_a}(0\mid 0)$ .
  Beim zweiten Wendepunkt ist $x=\dfrac{5}{a}\;\Rightarrow\;-\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{a}=-\dfrac{3}{a}$ .
  Somit hat der Graph von $g_{a}$ den Wendepunkt $WP\left(\dfrac{5}{a}\mid f_a\left(\dfrac{5}{a}\right)-\dfrac{3}{a}\right)$ .
  Für $a < 0$ gilt: Zu $f_a\left(\dfrac{5}{a}\right)$ wird ein positiver Wert addiert, sodass der Wendepunkt von $g_{a}$ oberhalb vom Graphen von $f_{a}$ liegt.
  Für $a > 0$ gilt: Zu $f_a\left(\dfrac{5}{a}\right)$ wird ein negativer Wert addiert, sodass der Wendepunkt von $g_{a}$ unterhalb vom Graphen von $f_{a}$ liegt.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Betrachte den Term $-\frac{3}{5} x$ und untersuche, welche Auswirkungen dieser Term bei der Berechnung der Wendepunkte spielt.
  Weiterhin gilt: Der Graph von $f_{a}$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.
  Untersuche, wie die gegebenen Wendestellen sich auf die y-Koordinaten der beiden Wendepunkte auswirken.
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ und $g_{a}$ mit
$f_{a}(x)=-\dfrac{a}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}, a \in \mathbb{R}, a>0$ sowie $g_{a}(x)=f_{a}(x)-\frac{3}{5} x$ .
Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{1}$ .
Abbildung 1
Die Tangente $t_{f_{a}}$ an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \left\lvert\, f_{a}\left(\frac{5}{a}\right)\right.\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^{2}}$ , die Tangente $t_{g_{a}}$ an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \left\lvert\, g_{a}\left(\frac{5}{a}\right)\right.\right)$ hat die Steigung $\frac{5-3 a^{2}}{5 a^{2}}$ .
Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S_{a}$ bezeichnet.
1. Weisen Sie nach, dass $S_{a}$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Weise nach, dass $S_{a}$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt
  Tangentengleichungen
  1. Die Tangente $t_{f_{a}}$ an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \left\lvert\, f_{a}\left(\frac{5}{a}\right)\right.\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^{2}}$ .
  Berechne $f_{a}\left(\frac{5}{a}\right)=-\dfrac{a}{250}\cdot\left(\dfrac{5}{a}\right)^4+\dfrac{1}{25}\cdot\left(\dfrac{5}{a}\right)^3=\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
  Dann ist $t_{f_{a}}: y=\dfrac{1}{a^2}\cdot x+b$ .
  Setze den Punkt $\left(\dfrac{5}{a}\mid \dfrac{2{,}5}{a^3}\right)$ ein:
  $\dfrac{2{,}5}{a^3}=\dfrac{1}{a^2}\cdot \dfrac{5}{a}+b\;\Rightarrow\; b=-\dfrac{2{,}5}{a^3}$
  Die Tangentengleichung lautet: $t_{f_{a}}: y=\dfrac{1}{a^2}\cdot x-\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
  2. Die Tangente $t_{g_{a}}$ an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \left\lvert\, g_{a}\left(\frac{5}{a}\right)\right.\right)$ hat die Steigung $\dfrac{5-3 a^{2}}{5 a^{2}}=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}$ .
  Berechne $g_{a}\left(\frac{5}{a}\right)=f_{a}\left(\frac{5}{a}\right)-\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{5}{a}=\dfrac{2{,}5}{a^3}-\dfrac{3}{a}$ .
  Dann ist $t_{g_{a}}: y=\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}\right)\cdot x+b$ .
  Setze den Punkt $\left(\dfrac{5}{a}\mid \dfrac{2{,}5}{a^3}-\dfrac{3}{a}\right)$ ein:
  $\dfrac{2{,}5}{a^3}-\dfrac{3}{a}=\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}\right)\cdot \left(\dfrac{5}{a}\right)+b=\dfrac{5}{a^3}-\dfrac{3}{a}+b\;\Rightarrow\;b=-\dfrac{2{,}5}{a^3}$
  Die Tangentengleichung lautet: $t_{g_{a}}: y=\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}\right)\cdot x-\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
  Schnittpunkt
  Beide Tangentengleichungen haben den gleichen y-Achsenabschnitt, d.h. sie schneiden sich im Punkt $S_a\left(0\mid -\dfrac{2{,}5}{a^3}\right)$ .
  $S_{a}$ liegt für jeden Wert von $a$ auf der y-Achse.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Berechne die beiden Tangentengleichungen und vergleiche den y-Achsenabschnitt.
2. Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ schneidet $t_{f_{a}}$ im Punkt $F_{a}$ und $t_{g_{a}}$ im Punkt $G_{a}$ . Das Dreieck $S_{a} G_{a} F_{a}$ hat für keinen Wert von $a$ einen rechten Winkel beim Punkt $S_{a}$ .
  $[$ Nachweis nicht erforderlich $]$
  Untersuchen Sie, für welche Werte von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ das Dreieck $S_{a} G_{a} F_{a}$ rechtwinklig ist. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Untersuche, für welche Werte von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ das Dreieck $S_{a} G_{a} F_{a}$ rechtwinklig ist
  Die Tangentengleichung lautet $t_{f_{a}}: y=\dfrac{1}{a^2}\cdot x-\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
  Die Steigung dieser Tangente ist $\dfrac{1}{a^2}$ und für $a >$ 0 ist die Steigung größer null.
  Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ steht senkrecht zur x-Achse. Deshalb kann sich im Punkt $F_{a}$ kein rechter Winkel befinden.
  Der rechte Winkel kann nur im Punkt $G_{a}$ sein.
  Die Tangentengleichung lautet: $t_{g_{a}}: y=\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}\right)\cdot x-\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
  Die Steigung dieser Tangente ist $\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}$ .
  Setze diese Steigung gleich null und löse nach $a$ auf:
  $\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}=0\;\Rightarrow\;a^2=\dfrac{5}{3}\;\Rightarrow\;a_{1{,}2}=\pm\sqrt{\dfrac{5}{3}}$
  Wegen $a > 0$ erhält man die Lösung $a=\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ .
  Für diesen Wert von $a$ ist das Dreieck $S_{a} G_{a} F_{a}$ rechtwinklig.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ steht senkrecht zur x-Achse.
  Betrachte die beiden Tangentensteigungen.
  Welche Steigung kann für $a >$ 0 gleich null werden.
  Löse die entsprechende Gleichung.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnittes einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30\mathrm{~m}$ breit.
Abbildung 2
Die Profilinie wird für $0 \leq x \leq 41{,}5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x)=-0{,}000004 x^{4}+0{,}015 x^{2}-0{,}1 x+0{,}1875$ dargestellt.
Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$ -Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\mathrm{~m}$ in der Realität.
1. Berechnen Sie die größte Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen in Prozent.
  $[$ Hinweis: Die Randwerte müssen nicht betrachtet werden. $]$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Berechne die größte Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen in Prozent
  Gegeben ist $p(x)=-0{,}000004 x^{4}+0{,}015 x^{2}-0{,}1 x+0{,}1875$ .
  Gesucht ist das Maximum der 1. Ableitung von $p (x)$ :
  Berechne $p^{'} (x)$ , $p^{''} (x)$ und $p^{'''} (x)$ :
  $p'(x)=-0{,}000016x^{3}+0{,}03 x-0{,}1$
  $p''(x)=-0{,}000048x^{2}+0{,}03$
  $p^{'''} (x) = - 0,000096 x$
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $p^{''} (x) = 0$ .
  $0=-0{,}000048x^{2}+0{,}03\;\Rightarrow\;x_{1{,}2}=\pm\sqrt{\dfrac{0{,}03}{0{,}000048}}=\pm\sqrt{625}=\pm 25$ .
  Wegen $0 \leq x \leq 41{,}5$ ist $x = 25$ .
  Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt:
  $p'''(25)=-0{,}000096\cdot 25=-0{,}0024<0\;\Rightarrow\;$ Maximum
  Die größte Neigung der Piste:
  Für $x = 25$ liegt ein Maximum vor.
  Berechne $p'(25)=-0{,}000016\cdot 25^{3}+0{,}03 \cdot 25-0{,}1=0{,}4=40\;\%$ .
  Für $x = 25$ hat die Piste die größte Neigung gegenüber der Horizontalen mit $40 %$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Gesucht ist das Maximum der 1. Ableitung von $p (x)$ .
  Berechne $p^{'} (x)$ , $p^{''} (x)$ und $p^{'''} (x)$ .
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $p''(x)=0\;\Rightarrow\;x_1$
  Berechne $p^{'} (x_{1})$ und gib den Wert in $%$ an.
2. Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)=b \cdot c^{x}, b>0, c>0$ beschrieben werden.
  Bestimmen Sie die Werte von $b$ und $c$ .
  $[$ Zur Kontrolle: $b \approx 1{,}818, c \approx 1{,}049$ $]$ (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Bestimme die Werte von $b$ und $c$
  Gegeben sind Funktion $h$ mit $h(x)=b \cdot c^{x}, b>0, c>0$ und die Punkte $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ .
  Setze die Koordinaten von $A$ in $h$ ein:
  $2{,}31=b \cdot c^{5}\;\Rightarrow\;b=\dfrac{2{,}31}{c^{5}}$
  Setze $b$ und die Koordinaten von $B$ in $h$ ein:
  $10{,}68=\dfrac{2{,}31}{c^{5}}\cdot c^{37}=2{,}31\cdot c^{32}\;\Rightarrow\;c^{32}=\dfrac{10{,}68}{2{,}31}\;\Rightarrow\;c=\sqrt[32]{\dfrac{10{,}68}{2{,}31}}\approx1{,}049$
  Dann erhält man für $b=\dfrac{2{,}31}{1{,}049^5}\approx1{,}818$ . (Das ist die Musterlösung, gerundet erhält man $b\approx1{,}819$ .)
  Die Werte von $b$ und $c$ sind $b\approx1{,}818$ und $c\approx1{,}049$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Setze die Koordinaten von $A$ in $h$ ein und löse nach $b$ auf.
  Setze $b$ und die Koordinaten von $B$ in $h$ ein und berechne $c$ .
  Mit dem berechneten $c$ kann $b$ berechnet werden.
3. Untersuchen Sie, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens $3\mathrm{~m}$ beträgt.
  Ermitteln Sie die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\mathrm{~m}$ hat. (7 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Untersuche, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens 3 m beträgt
  Es sind $h(x)=1{,}818\cdot 1{,}049^x$ und $p(x)=-0{,}000004 x^{4}+0{,}015 x^{2}-0{,}1 x+0{,}1875$ .
  Weiterhin gilt: Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\mathrm{~m}$ in der Realität.
  Betrachte die Differenz der beiden Funktionsgleichungen:
  $d (x) = h (x) - p (x)$
  $d(x)=1{,}818\cdot 1{,}049^x-(-0{,}000004 x^{4}+0{,}015 x^{2}-0{,}1 x+0{,}1875)$
  $d(x)=1{,}818\cdot 1{,}049^x+0{,}000004 x^{4}-0{,}015 x^{2}+0{,}1 x-0{,}1875$
  Der vertikale Abstand des Seils zur Piste soll mindestens $3\mathrm{~m}$ betragen.
  An den Randstellen des Seils, bei $x = 5$ und $x = 37$ beträgt der vertikale Abstand zur Piste $d(5)\approx2{,}24925...$ (etwa $22{,}5\mathrm{~m}$ ) und $d(37)\approx1{,}14754...$ (etwa $11{,}5\mathrm{~m}$ ).
  Die Stellen, an denen der Abstand $3\mathrm{~m}$ beträgt, findet man mit der Gleichung $d (x) = 0,3$ .
  Löse die Gleichung mit dem CAS:
  Für $5\leq x\leq 37$ erhält man die beiden Lösungen $x_1\approx27{,}24$ und $x_2\approx32{,}64$ .
  Vom Beginn des Seils bis $x_1\approx27{,}24$ und von $x_2\approx32{,}64$ bis $x = 37$ beträgt der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens $3\mathrm{~m}$ .
  Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\mathrm{~m}$ hat
  Finde graphisch das absolute Minimum der Funktion $d (x)$ im Bereich $27{,}24\leq x\leq 32{,}64$ .
  Du erhältst die Minimalstelle bei $x\approx30{,}08821487$ und den y-Wert $y\approx 0{,}1882497763$ .
  Der Tiefpunkt hat die gerundeten Koordinaten $TP(30{,}09\mid 0{,}19)$ .
  $y = 0,19$ entspricht einem Abstand von $1{,}9\mathrm{~m}$ .
  Um einen Abstand von mindestens $3 \mathrm{~m}$ zu haben, muss das Seil um $3 \mathrm{~m}-1{,}9 \mathrm{~m}=1{,}1 \mathrm{~m}$ angehoben werden.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Teil 1
  Betrachte die Differenz der beiden Funktionsgleichungen $d (x) = h (x) - p (x)$ .
  Der vertikale Abstand des Seils zur Piste soll mindestens 3 m betragen.
  $\Rightarrow\; d(x)=0{,}3$ : Löse die Gleichung mit dem CAS.
  Die gesuchten Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ liegen im Bereich $5\leq x\leq 37$ .
  Teil 2
  Finde graphisch das absolute Minimum der Funktion $d (x)$ im Bereich $x_1\leq x\leq x_2$ .
  Der Tiefpunkt hat die gerundeten Koordinaten $TP(x_m\mid y_m)$ .
  Beachte, $y_m\cdot 10$ ist der Abstand in Metern.
  Um einen Abstand von mindestens $3 \mathrm{~m}$ zu haben, muss das Seil um $3 -y_m\cdot 10 =z$ Meter angehoben werden.
4. Abbildung 3 zeigt grau markiert die Schneeauflage im unteren Bereich der Piste; dazu wurde Abbildung 2 in Richtung der $y$ -Achse stärker vergrößert als in Richtung der $x$ -Achse. Der Untergrund, auf dem der Schnee aufgebracht ist, wird für $0 \leq x \leq 5$ durch die $x$ -Achse dargestellt. Für den übrigen Teil der Piste soll davon ausgegangen werden, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $60\mathrm{~cm}$ beträgt.
  Abbildung 3
  Bestimmen Sie das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste
  Bekannt ist, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $60\mathrm{~cm}$ beträgt, d.h. $60\mathrm{~cm}=0{,}6\mathrm{~m}$ und wegen des Faktors $10$ muss mit $0,06$ gerechnet werden.
  Weiterhin gilt: Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30\mathrm{~m}$ breit $\;\Rightarrow\; \text{Breite}=30\mathrm{~m}$ .
  Berechne zunächst die grau unterlegte Fläche.
  Diese Fläche kann in zwei Teile zerlegt werden.
  $A=A_1+A_2=\displaystyle\int_0^5p(x)\; \mathrm{d}x+\displaystyle\int_5^{41{,}5}\left(p(x)-(p(x)-0{,}06)\right)\; \mathrm{d}x$
  Das CAS liefert folgendes Ergebnis:
  Die Fläche ist: $A=A_1+A_2=\dfrac{31}{100}+\dfrac{219}{100}=\dfrac{250}{100}$ , d.h. der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt $\dfrac{250}{100}\mathrm{~FE}$ . Da $1\mathrm{~FE}$ gleich $100\mathrm{~m}^2$ entspricht, ist die gesuchte Fläche $250\mathrm{~m}^2$ groß.
  Dann ist das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste:
  $V=\text{Fläche}\cdot \text{Breite}=250\cdot 30=7500$ .
  Das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste beträgt $7500\mathrm{~m}^3$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Beachte, die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe beträgt $60\mathrm{~cm}$ , d.h. $60\mathrm{~cm}=0{,}6\mathrm{~m}$ und wegen des Faktors $10$ muss mit $0,06$ gerechnet werden.
  Berechne die grau unterlegte Fläche. Diese Fläche kann in zwei Teile zerlegt werden.
  $A=A_1+A_2=\displaystyle\int_0^{x_1}p(x)\; \mathrm{d}x+\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\left(p(x)-(p(x)-0{,}06)\right)\; \mathrm{d}x$
  Beachte, $1\mathrm{~FE}$ entspricht $100\mathrm{~m}^2$ .
  Das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste ist dann: $V=\text{Fläche}\cdot \text{Breite}=(A\cdot 100)\cdot 30$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B2

Aufgabe 1

Berechne für den Graphen von f1f_{1}f1​ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Untersuche fff rechnerisch auf lokale Extremstellen

Zeichne den Graphen von f1f_{1}f1​ in die Abbildung 1 ein

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib an, für welche Werte von xxx der Graph von f1f_{1}f1​ oberhalb des Graphen von g1g_{1}g1​ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von gag_{a}ga​ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von faf_{a}fa​ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufgabe 2

Weise nach, dass SaS_{a}Sa​ für jeden Wert von aaa auf der yyy-Achse liegt

Tangentengleichungen

Schnittpunkt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Untersuche, für welche Werte von a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R mit a>0a>0a>0 das Dreieck SaGaFaS_{a} G_{a} F_{a}Sa​Ga​Fa​ rechtwinklig ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufgabe 3

Berechne die größte Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen in Prozent

Die größte Neigung der Piste:

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme die Werte von bbb und ccc

Hast du eine Frage oder Feedback?

Untersuche, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens 3 m beträgt

Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens 3 m3\mathrm{~m}3 m hat

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne für den Graphen von $f_{1}$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Zeichne den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein

Gib an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_{1}$ oberhalb des Graphen von $g_{1}$ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.

Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_{a}$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_{a}$ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.

Weise nach, dass $S_{a}$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt

Untersuche, für welche Werte von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ das Dreieck $S_{a} G_{a} F_{a}$ rechtwinklig ist

Bestimme die Werte von $b$ und $c$

Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\mathrm{~m}$ hat