B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ und $g_{a}$ mit

$f_{a}(x)=-\dfrac{a}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}, a \in \mathbb{R}, a>0$ sowie $g_{a}(x)=f_{a}(x)-\frac{3}{5} x$ .

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{1}$ .

Berechnen Sie für den Graphen von $f_{1}$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten des Extrempunktes. Zeichnen Sie den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein. (6 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Berechne für den Graphen von $f_{1}$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Gegeben ist $f_{a}(x)=-\dfrac{a}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}$ .
Dann ist $f_1(x)=-\dfrac{1}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}=-\dfrac{1}{25}x^3\left(\dfrac{1}{10}x-1)\right)$
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
$0=-\dfrac{1}{25}x^3\left(\dfrac{1}{10}x-1)\right)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
$x=0\vee x=10$
Die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse sind somit die Punkte $(0\mid0)$ und $(10\mid 0)$ . Wegen $f_{1} (0) = 0$ liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse auch im Koordinatenursprung.
Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f_{1}^{'} (x) = 0$ .
Bilde die 1. Ableitung:
$f_1'(x)=-\dfrac{4}{250} x^{3}+\dfrac{3}{25} x^{2}=-\dfrac{1}{25}x^2\left(\dfrac{4}{10}x-3\right)$
$f_1'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =-\dfrac{1}{25}x^2\left(\dfrac{4}{10}x-3\right)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
$x=0\vee \dfrac{4}{10}x-3=0\;\Rightarrow\;x=7{,}5$
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
Bilde die 2. Ableitung:
$f_1''(x)=-\dfrac{12}{250} x^{2}+\dfrac{6}{25} x=-\dfrac{6}{125} x^{2}+\dfrac{6}{25} x$
Überprüfung für $x = 0$ und $x = 7,5$ :
$f_{1}^{''} (0) = 0$ $\;\Rightarrow\;$ bei $x = 0$ hast du eine Aussage über eine Extremstelle. Weil $f^{'}$ für $x = 0$ eine doppelte Nullstelle hat, liegt kein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor. Daher hat $f$ dort kein Extremum (Dem Aufgabentext kannst du auch entnehmen, dass das weiter unten berechnete Extremum bei $x = 7,5$ das einzige ist).
Wegen der doppelten Nullstelle der Ableitung bei $x = 0$ hat diese aber dort ein Extremum. Daher besteht der Verdacht auf einen Sattelpunkt.
$f_1''(7{,}5)=-\dfrac{6}{125}\cdot 7{,}5^{2}+\dfrac{6}{25} \cdot7{,}5=-0{,}9<0$ $\;\Rightarrow\;$ $\text{HP}$
Dann ist $f_1(7{,}5)=-\dfrac{1}{250}\cdot 7{,}5^{4}+\dfrac{1}{25}\cdot 7{,}5^{3}=\dfrac{135}{32}=4{,}21875$
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $HP(7{,}5\mid 4{,}21875)$ .
Zeichne den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein
Abbildung 1
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Teil 1
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
Teil 2
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f_{1}^{'} (x) = 0$ .
Bilde die 1. und 2. Ableitung von $f_{1} (x)$ .
Löse die Gleichung $f_1'(x)=0\;\Rightarrow\;x_1, x_2$
Überprüfe mit $f_{1}^{''} (x)$ die Art des Extremums.
Teil 3
Zeichne den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein.
Geben Sie an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_{1}$ oberhalb des Graphen von $g_{1}$ verläuft und für welche unterhalb. Begründen Sie ihre Angabe. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gib an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_{1}$ oberhalb des Graphen von $g_{1}$ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.
Der Funktionsterm von $g_1(x)=f_1(x)-\dfrac{3}{5}x$ , d.h. der Term $-\dfrac{3}{5}x$ unterscheidet die beiden Funktionsterme.
Betrachte das Verhalten dieses Terms.
Für $x < 0$ gilt: $-\dfrac{3}{5}x>0$ .
Zu $f_{1} (x)$ wird ein positiver Wert addiert, sodass der Graph von $g_{1}$ oberhalb vom Graphen von $f_{1}$ verläuft.
Für $x > 0$ gilt: $-\dfrac{3}{5}x<0$ .
Zu $f_{1} (x)$ wird ein negativer Wert addiert, sodass der Graph von $g_{1}$ unterhalb vom Graphen von $f_{1}$ verläuft.
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Der Funktionsterm von $g_1(x)=f_1(x)-\dfrac{3}{5}x$ , d.h. der Term $-\dfrac{3}{5}x$ unterscheidet die beiden Funktionsterme.
Betrachte das Verhalten des Terms $-\dfrac{3}{5}x$ .
Welche Auswirkungen hat er auf die Größe von $g_{1} (x)$ ?
Für jeden Wert von $a$ gilt:
I Die Funktionsterme von $f_{a}$ und $g_{a}$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5} x$ .
II Der Graph von $f_{a}$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.
Geben Sie an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_{a}$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_{a}$ folgern lässt.
Begründen Sie ihre Angabe ausgehend von I und II. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_{a}$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_{a}$ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.
Es gilt: I Die Funktionsterme von $f_{a}$ und $g_{a}$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5} x$ .
Wird der Term $-\dfrac{3}{5}x$ zweimal abgeleitet, ist er gleich null, d.h. für die zweiten Ableitungen der beiden Funktionen $f_{a} (x)$ und $g_{a} (x)$ gilt dann $f_{a}^{''} (x) = g_{a}^{''} (x)$ .
Somit haben $f_{a}$ und $g_{a}$ die gleiche Anzahl von Wendepunkten.
Weiterhin gilt: II Der Graph von $f_{a}$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.
Für $x = 0$ ist der Term $-\dfrac{3}{5}x$ ebenfalls gleich null $\;\Rightarrow\;f_a(0)=g_a(0)$ .
Die y-Koordinate ist also bei beiden Graphen an der Stelle $x = 0$ gleich groß und es gilt: $WP_{f_a}(0\mid 0)=WP_{g_a}(0\mid 0)$ .
Beim zweiten Wendepunkt ist $x=\dfrac{5}{a}\;\Rightarrow\;-\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{a}=-\dfrac{3}{a}$ .
Somit hat der Graph von $g_{a}$ den Wendepunkt $WP\left(\dfrac{5}{a}\mid f_a\left(\dfrac{5}{a}\right)-\dfrac{3}{a}\right)$ .
Für $a < 0$ gilt: Zu $f_a\left(\dfrac{5}{a}\right)$ wird ein positiver Wert addiert, sodass der Wendepunkt von $g_{a}$ oberhalb vom Graphen von $f_{a}$ liegt.
Für $a > 0$ gilt: Zu $f_a\left(\dfrac{5}{a}\right)$ wird ein negativer Wert addiert, sodass der Wendepunkt von $g_{a}$ unterhalb vom Graphen von $f_{a}$ liegt.
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Betrachte den Term $-\frac{3}{5} x$ und untersuche, welche Auswirkungen dieser Term bei der Berechnung der Wendepunkte spielt.
Weiterhin gilt: Der Graph von $f_{a}$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.
Untersuche, wie die gegebenen Wendestellen sich auf die y-Koordinaten der beiden Wendepunkte auswirken.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Berechne für den Graphen von f1f_{1}f1​ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Untersuche fff rechnerisch auf lokale Extremstellen

Zeichne den Graphen von f1f_{1}f1​ in die Abbildung 1 ein

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Gib an, für welche Werte von xxx der Graph von f1f_{1}f1​ oberhalb des Graphen von g1g_{1}g1​ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.

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Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von gag_{a}ga​ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von faf_{a}fa​ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.

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Berechne für den Graphen von $f_{1}$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Zeichne den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein

Gib an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_{1}$ oberhalb des Graphen von $g_{1}$ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.

Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_{a}$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_{a}$ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.