Berechne für den Graphen von $f_1$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist $f_a(x)=-{\displaystyle \frac{a}{250}}{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^3$.

Dann ist $f_1(x)=-{\displaystyle \frac{1}{250}}{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^3=-{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^3({\displaystyle \frac{1}{10}}x-1))$

Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_1(x)=0$.

$0=-{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^3({\displaystyle \frac{1}{10}}x-1))$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee x=10$

Die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse sind somit die Punkte $(0|0)$ und $(10|0)$. Wegen $f_1(0)=0$ liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse auch im Koordinatenursprung.

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f_1^{\prime }(x)=0$.

Bilde die 1. Ableitung:

$f_1^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{4}{250}}{x}^3+{\displaystyle \frac{3}{25}}{x}^2=-{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^2({\displaystyle \frac{4}{10}}x-3)$

$f_1^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=-{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^2({\displaystyle \frac{4}{10}}x-3)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee {\displaystyle \frac{4}{10}}x-3=0\Rightarrow x=\mathrm{7,5}$

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$.

Bilde die 2. Ableitung:

$f_1^{\prime \prime }(x)=-{\displaystyle \frac{12}{250}}{x}^2+{\displaystyle \frac{6}{25}}x=-{\displaystyle \frac{6}{125}}{x}^2+{\displaystyle \frac{6}{25}}x$

Überprüfung für $x=0$ und $x=\mathrm{7,5}$:

$f_1^{\prime \prime }(0)=0$$\Rightarrow$ bei $x=0$ hast du eine Aussage über eine Extremstelle. Weil $f^{\prime }$ für $x=0$ eine doppelte Nullstelle hat, liegt kein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor. Daher hat $f$ dort kein Extremum (Dem Aufgabentext kannst du auch entnehmen, dass das weiter unten berechnete Extremum bei $x=\mathrm{7,5}$ das einzige ist).

Wegen der doppelten Nullstelle der Ableitung bei $x=0$ hat diese aber dort ein Extremum. Daher besteht der Verdacht auf einen Sattelpunkt.

$f_1^{\prime \prime }(\mathrm{7,5})=-{\displaystyle \frac{6}{125}}\cdot {\mathrm{7,5}}^2+{\displaystyle \frac{6}{25}}\cdot \mathrm{7,5}=-\mathrm{0,9}<0$$\Rightarrow$$\text{HP}$

Dann ist $f_1(\mathrm{7,5})=-{\displaystyle \frac{1}{250}}\cdot {\mathrm{7,5}}^4+{\displaystyle \frac{1}{25}}\cdot {\mathrm{7,5}}^3={\displaystyle \frac{135}{32}}=\mathrm{4,21875}$

Der Hochpunkt hat die Koordinaten $HP(\mathrm{7,5}|\mathrm{4,21875})$.

Zeichne den Graphen von $f_1$ in die Abbildung 1 ein

Gib an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_1$ oberhalb des Graphen von $g_1$ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.

Der Funktionsterm von $g_1(x)=f_1(x)-{\displaystyle \frac{3}{5}}x$, d.h. der Term $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x$ unterscheidet die beiden Funktionsterme.

Betrachte das Verhalten dieses Terms.

Für $x<0$ gilt: $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x>0$.

Zu $f_1(x)$ wird ein positiver Wert addiert, sodass der Graph von $g_1$ oberhalb vom Graphen von $f_1$ verläuft.

Für $x>0$ gilt: $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x<0$.

Zu $f_1(x)$ wird ein negativer Wert addiert, sodass der Graph von $g_1$ unterhalb vom Graphen von $f_1$ verläuft.

Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_a$ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.

Es gilt: I Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5}x$.

Wird der Term $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x$ zweimal abgeleitet, ist er gleich null, d.h. für die zweiten Ableitungen der beiden Funktionen $f_a(x)$ und $g_a(x)$ gilt dann $f_a^{\prime \prime }(x)=g_a^{\prime \prime }(x)$.

Somit haben $f_a$ und $g_a$ die gleiche Anzahl von Wendepunkten.

Weiterhin gilt: II Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$-Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.

Für $x=0$ ist der Term $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x$ ebenfalls gleich null $\Rightarrow f_a(0)=g_a(0)$.

Die y-Koordinate ist also bei beiden Graphen an der Stelle $x=0$ gleich groß und es gilt: $W{P}_{f_a}(0|0)=W{P}_{g_a}(0|0)$.

Beim zweiten Wendepunkt ist $x={\displaystyle \frac{5}{a}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{a}}=-{\displaystyle \frac{3}{a}}$.

Somit hat der Graph von $g_a$ den Wendepunkt $WP({\displaystyle \frac{5}{a}}|f_a\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)-{\displaystyle \frac{3}{a}})$.

Für $a<0$ gilt: Zu $f_a\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)$ wird ein positiver Wert addiert, sodass der Wendepunkt von $g_a$ oberhalb vom Graphen von $f_a$ liegt.

Für $a>0$ gilt: Zu $f_a\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)$ wird ein negativer Wert addiert, sodass der Wendepunkt von $g_a$ unterhalb vom Graphen von $f_a$ liegt.