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Aufgabe 1

Gegeben sind die in definierten Funktionen fa und ga mit

fa(x)=a250x4+125x3,a,a>0 sowie ga(x)=fa(x)35x.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von g1.

Abbildung 1

Abbildung 1

  1. Berechnen Sie für den Graphen von f1 die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten des Extrempunktes. Zeichnen Sie den Graphen von f1 in die Abbildung 1 ein. (6 P)

  2. Geben Sie an, für welche Werte von x der Graph von f1 oberhalb des Graphen von g1 verläuft und für welche unterhalb. Begründen Sie ihre Angabe. (3 P)

  3. Für jeden Wert von a gilt:

    I Die Funktionsterme von fa und ga unterscheiden sich nur um den Summanden 35x.

    II Der Graph von fa hat genau zwei Wendepunkte, deren x-Koordinaten 0 und 5a sind.

    Geben Sie an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von ga im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von fa folgern lässt.

    Begründen Sie ihre Angabe ausgehend von I und II. (5 P)