Teil 1 Lineare Algebra und analytische Geometrie: ohne Hilfsmittel

In einem kartesischen Koordinatensystem des ${\mathbb{R}}^3\backslash mathbb\{R\}^3$ sind die Ebene E: $x_1+2x_2-x_3=4x\_1+2x\_2-x\_3=4$ und die Geradenschar $G_k:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -k-2\\ k\end{array}\right)G\_k:\; \backslash vec\{x\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -3\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -2\; \backslash \backslash \; -k-2\; \backslash \backslash \; k\backslash end\{pmatrix\}$ mit $r,k\in \mathbb{R}r,k\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ gegeben.

Für die linear unabhängigen Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ und $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ im ${\mathbb{R}}^3\backslash mathbb\{R\}^3$ gelten zugleich die folgenden drei Bedingungen (1), (2) und (3):

(1) $\overrightarrow{{\displaystyle a}}\circ \vec{b}=0\backslash vec\{\backslash displaystyle\; a\}\backslash circ\backslash vec\{b\}=0\backslash$

(2) ${\displaystyle \mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=5}\backslash displaystyle|\backslash vec\{a\}|=|\backslash vec\{b\}|=5$

(3) $\vec{c}={\displaystyle \frac{1}{5}(\vec{a}\times \vec{b})}\backslash vec\{c\}=\backslash displaystyle\backslash frac\{1\}\{5\}(\backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{b\})$

Die drei Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ und $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ spannen einen Spat auf. Dabei spannen die Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ die Grundfläche des Spats auf. Beschreiben Sie die Form des Spats und legen Sie

nachvollziehbar dar, wie Sie zu Ihren Aussagen kommen. (4 BE)