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Teil 1 Lineare Algebra und analytische Geometrie: ohne Hilfsmittel

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    In einem kartesischen Koordinatensystem des R3\mathbb{R}^3 sind die Ebene E: x1+2x2−x3=4x_1+2x_2-x_3=4 und die Geradenschar Gk:x⃗=(−341)+r⋅(−2−k−2k)G_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -k-2 \\ k\end{pmatrix} mit r,k∈Rr,k\in\mathbb{R} gegeben.

    1. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene EE mit den Koordinatenachsen und

      veranschaulichen Sie die Lage der Ebene EE in dem nachfolgend abgebildeten

      Koordinatensystem. (4 BE)

      Bild
    2. ÜberprĂŒfen Sie, ob ein Wert fĂŒr kk existiert, sodass die Gerade gkg_k die Ebene EE senkrecht schneidet. (2 BE)

    3. Die Ebene FF beinhaltet die x3x_3 -Achse und steht senkrecht auf der Ebene EE. Geben Sie eine Gleichung der Ebene FF in Parameterform an. (2 BE)

  2. 2

    FĂŒr die linear unabhĂ€ngigen Vektoren a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} und c⃗\vec{c} im R3\mathbb{R}^3 gelten zugleich die folgenden drei Bedingungen (1), (2) und (3):

    (1) a⃗∘b⃗=0 \vec{\displaystyle a}\circ\vec{b}=0\

    (2) ∣a⃗∣=∣b⃗∣=5\displaystyle|\vec{a}|=|\vec{b}|=5

    (3) c⃗=15(a⃗×b⃗)\vec{c}=\displaystyle\frac{1}{5}(\vec{a}\times\vec{b})

    Die drei Vektoren a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} und c⃗\vec{c} spannen einen Spat auf. Dabei spannen die Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} die GrundflĂ€che des Spats auf. Beschreiben Sie die Form des Spats und legen Sie

    nachvollziehbar dar, wie Sie zu Ihren Aussagen kommen. (4 BE)


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