Teil 1 Lineare Algebra und analytische Geometrie: ohne Hilfsmittel

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind die Ebene E: $x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 4$ und die Geradenschar $G_{k} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - k - 2 \\ k \end{array})$ mit $r, k \in ℝ$ gegeben.
1. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen und
  veranschaulichen Sie die Lage der Ebene $E$ in dem nachfolgend abgebildeten
  Koordinatensystem. (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsenabschnittsform der Ebenengleichung
  Bestimme die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen
  $E : x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 4$
  Überführe die Ebenengleichung in die Achsenabschnittsform:
  $E : \frac{x_{1}}{4} + \frac{2 x_{2}}{4} - \frac{x_{3}}{4} = 1 \Rightarrow E : \frac{x_{1}}{4} + \frac{x_{2}}{2} - \frac{x_{3}}{4} = 1$
  $\Rightarrow S_{x_{1}} (4 | 0 | 0)$ , $S_{x_{2}} (0 | 2 | 0)$ , $S_{x_{3}} (0 | 0 | - 4)$
  Veranschauliche die Lage der Ebene $E$ in dem nachfolgend abgebildeten Koordinatensystem
  Ebene E
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Teil 1
  Überführe die Ebenengleichung in die Achsenabschnittsform und lies die Koordinatenschnittpunkte ab.
  Teil 2
  Trage die drei Koordinatenschnittpunkte in die Abbildung ein und verbinde die drei Punkte.
2. Überprüfen Sie, ob ein Wert für $k$ existiert, sodass die Gerade $g_{k}$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Überprüfe, ob ein Wert für $k$ existiert, sodass die Gerade $g_{k}$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet
  Der Richtungsvektor der Geraden $g_{k}$ muss parallel zum Normalenvektor der Ebene $E$ sein.
  $E : x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 4 \Rightarrow {\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
  $\vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - k - 2 \\ k \end{array}) \Rightarrow \vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - k - 2 \\ k \end{array})$
  $r \cdot {\vec{n}}_{E} = \vec{u}$
  $\Rightarrow r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - k - 2 \\ k \end{array})$
  Aus Gleichung $(I)$ folgt: $r = - 2$
  $r = - 2$ eingesetzt in Gleichung $(I I)$ folgt: $- 2 \cdot 2 = - k - 2 \Rightarrow k = 2$
  $r = - 2$ und $k = 2$ eingesetzt in Gleichung $(I I I)$ folgt: $- 2 \cdot (- 1) = 2 ✓$
  Für $k = 2$ schneidet die Gerade $g_{k}$ die Ebene $E$ senkrecht.
  Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Ebene $E$ mit senkrechter Geraden $g_{2}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Der Richtungsvektor der Geraden $g_{k}$ muss parallel zum Normalenvektor der Ebene $E$ sein. Löse das entstehende Gleichungssystem.
3. Die Ebene $F$ beinhaltet die $x_{3}$ -Achse und steht senkrecht auf der Ebene $E$ . Geben Sie eine Gleichung der Ebene $F$ in Parameterform an. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
  Gib eine Gleichung der Ebene $F$ in Parameterform an
  Wenn $F$ senkrecht auf $E$ steht, dann ist ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ ein Richtungsvektor von $F$ .
  Ein zweiter Richtungsvektor ist der Einheitsvektor in Richtung der $x_{3} -$ Achse $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
  Die Ebene $F$ geht durch den Koordinatenursprung.
  $\Rightarrow F : \vec{x} = r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
  Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Ebene $F$ senkrecht zu $E$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Wenn $F$ senkrecht auf $E$ steht, dann ist ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ ein Richtungsvektor von $F$ .
  Ein zweiter Richtungsvektor ist der Einheitsvektor in Richtung der $x_{3} -$ Achse $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
  Die Ebene $F$ geht durch den Koordinatenursprung.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Für die linear unabhängigen Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ im $ℝ^{3}$ gelten zugleich die folgenden drei Bedingungen (1), (2) und (3):
(1) $\vec{a} \circ \vec{b} = 0$
(2) $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 5$
(3) $\vec{c} = \frac{1}{5} (\vec{a} \times \vec{b})$
Die drei Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ spannen einen Spat auf. Dabei spannen die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ die Grundfläche des Spats auf. Beschreiben Sie die Form des Spats und legen Sie
nachvollziehbar dar, wie Sie zu Ihren Aussagen kommen. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelepiped
Beschreibe die Form des Spats und lege nachvollziehbar dar, wie Du zu Deinen Aussagen kommst
Ein Parallelepiped oder Spat (früher auch Parallelflach) ist ein geometrischer Körper, der von sechs Parallelogrammen begrenzt wird, von denen je zwei gegenüberliegende kongruent (deckungsgleich) sind und in parallelen Ebenen liegen.
(1) $\vec{a} \circ \vec{b} = 0$ $\Rightarrow \vec{a} ⟂ \vec{b}$ , der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist $90^{°}$ .
(2) $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 5 \Rightarrow$ Die Grundfläche des Spats ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $5$ .
(3) $\vec{c} = \frac{1}{5} (\vec{a} \times \vec{b}) \Rightarrow | \vec{a} \times \vec{b} | = 25 \Rightarrow | \vec{c} | = \frac{25}{5} = 5$
Der Vektor $\vec{c}$ steht senkrecht auf der Grundfläche des Spats und es gilt:
$| \vec{c} | = | \vec{a} | = | \vec{b} | = 5$
Somit ist der Spat ein Würfel mit der Kantenlänge $5$ .
(1) $\vec{a} \circ \vec{b} = 0$ , was folgt daraus?
(2) $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 5$ , was kann man schließen?
(3) $\vec{c} = \frac{1}{5} (\vec{a} \times \vec{b}) \Rightarrow | \vec{a} \times \vec{b} | = 25 \Rightarrow | \vec{c} | = \frac{25}{5} = 5$
Welchen Körper erhält man?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 1 Lineare Algebra und analytische Geometrie: ohne Hilfsmittel

Bestimme die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen

Veranschauliche die Lage der Ebene E in dem nachfolgend abgebildeten Koordinatensystem

Hast du eine Frage oder Feedback?

Überprüfe, ob ein Wert für k existiert, sodass die Gerade gk die Ebene E senkrecht schneidet

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib eine Gleichung der Ebene F in Parameterform an

Hast du eine Frage oder Feedback?

Beschreibe die Form des Spats und lege nachvollziehbar dar, wie Du zu Deinen Aussagen kommst

Bestimme die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen

Veranschauliche die Lage der Ebene $E$ in dem nachfolgend abgebildeten Koordinatensystem

Überprüfe, ob ein Wert für $k$ existiert, sodass die Gerade $g_{k}$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet

Gib eine Gleichung der Ebene $F$ in Parameterform an