A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte $A$ und $B$ mit den Koordinaten $A (3 | 4 | 2)$ und $B (8 | - 11 | 12)$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung

g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6,5 \\ - 6,5 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array}), r \in ℝ

Geben Sie eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft.
(1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft
Gegeben sind $A (3 | 4 | 2)$ und $B (8 | - 11 | 12)$ .
Dann folgt für die Gerade $h_{A B}$ :
$h_{A B} : \vec{x} = \vec{O A} + s \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + s \cdot ((\begin{array}{c} 8 \\ - 11 \\ 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}))$
$\Rightarrow h_{A B} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 10 \end{array})$
Die Gleichung der Geraden $h$ , die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft, lautet
$h_{A B} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 10 \end{array})$ .
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Gegeben sind $A (3 | 4 | 2)$ und $B (8 | - 11 | 12)$ .
Dann folgt für die Gerade $h_{A B}$ : $h_{A B} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B}$ .
Weisen Sie nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt.
Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Weise nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt
Gegeben sind $A (3 | 4 | 2)$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6,5 \\ - 6,5 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array})$ .
Prüfe, ob $A \in g$ :
$(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6,5 \\ - 6,5 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} - 3,5 \\ 10,5 \\ - 7 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array})$
Für $r = \frac{1}{2}$ erhält man eine Lösung der Gleichung.
$\Rightarrow$ Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander
Gegeben sind $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6,5 \\ - 6,5 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 10 \end{array})$ .
Untersuche die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit, d.h. ist der Richtungsvektor $\vec{u} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 10 \end{array})$ der Geraden $h$ ein Vielfaches des Richtungsvektors $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array})$ der Geraden $g$ :
$(\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 10 \end{array}) = t \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array})$ $\Rightarrow$ Für $t = - \frac{5}{7}$ erhält man eine Lösung der Gleichung.
Die Geraden sind parallel zueinander und da der Punkt $A \in g$ und $A \in h$ ist, sind die beiden Geraden identisch.
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Teil 1
Prüfe, ob $A \in g$ .
Hat die Gleichung eine eindeutige Lösung, dann liegt der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ .
Teil 2
Untersuche die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf lineare Abhängigkeit.
Wird die lineare Abhängigkeit festgestellt, prüfe, ob die Geraden identisch sind.
Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.
(1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet
Nach Aufgabe b) gilt: Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
Damit kann mit dem Punkt $A$ und einem beliebigen Richtungsvektor eine Geradengleichung $j$ angegeben werden, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.
$j : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
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Nach Aufgabe b) gilt: Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
Damit kann mit dem Punkt $A$ und einem beliebigen Richtungsvektor eine Geradengleichung $j$ angegeben werden, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Gib eine Gleichung der Geraden h an, die durch die Punkte A und B verläuft

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Weise nach, dass der Punkt A auf der Geraden g liegt

Untersuche die Lage der Geraden g und h zueinander

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Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade g im Punkt A schneidet

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Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft

Weise nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt

Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander

Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet