A3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Betrachtet werden die Ebene $E: x_{1}-x_{2}+x_{3}-3=0$ und für $a \in \mathbb{R}$ die Gerade $g_{a}: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ .

Bestimmen Sie, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Bestimme, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht
Wenn die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ stehen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec u=\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}$ parallel zum Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ der Ebene sein, d.h. die beiden Vektoren sind Vielfache voneinander.
$\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$
Gleichung $\mathrm{I}$ und Gleichung $\mathrm{III}$ liefern $r = 2$ .
Eingesetzt in Gleichung $\mathrm{II}$ :
$\Rightarrow\;1+a=2\cdot(-1)=-2\;\Rightarrow\;a=-3$
Für $a = - 3$ steht die Gerade $g_{- 3}$ senkrecht zu $E$ .
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Wenn die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ stehen soll, dann muss der Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden parallel zum Normalenvektor $\vec n$ der Ebene sein.
Löse die Gleichung $\vec u=r\cdot \vec n$ nach $a$ auf.
Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt
Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec u=\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ der Ebene sein, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss gleich null sein.
$\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=0\;\Rightarrow\;2\cdot 1+(1+a)\cdot(-1)+2\cdot1=0$
$\Rightarrow\;4=1+a\;\Rightarrow\;a=3$
Zunächst ist nur gezeigt, dass für $a = 3$ die Gerade $g_{3}$ parallel zu $E$ ist.
Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, muss es einen Punkt $P\in g_{3}$ geben, der auch in $E$ liegt. Der Aufpunkt der Geraden $g_{3}$ sollte in $E$ liegen.
Setze $(1 ∣ - 2 ∣ 0)$ in $E: x_{1}-x_{2}+x_{3}-3=0$ ein:
$1-(-2)+0-3=0\;\Rightarrow\;3-3=0\;\checkmark$
Die Gerade $g_{3}$ liegt demnach in der Ebene $E$ .
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Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene sein, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss gleich null sein $\;\Rightarrow\; a_1$ .
Damit ist gezeigt, dass für $a_{1}$ die Gerade $g_{a_1}$ parallel zu $E$ ist.
Wenn die Gerade $g_{a_1}$ in $E$ liegen soll, muss es einen Punkt $P\in g_{a_1}$ geben, der auch in $E$ liegt. Der Aufpunkt der Geraden $g_{a_1}$ sollte in $E$ liegen. Überprüfe!

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Bestimme, denjenigen Wert von aaa, für den die Gerade gag_{a}ga​ senkrecht zu EEE steht

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Untersuche, ob es einen Wert von aaa gibt, für den die Gerade gag_{a}ga​ in EEE liegt

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Bestimme, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht

Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt