A3

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f(x)=x^4-k\cdot x^2$ , wobei $k$ eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ .
Abbildung 1
1. Zeigen Sie, dass $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Zeige, dass $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist
  Gegeben ist $f(x)=x^4-k\cdot x^2$ .
  Dann ist $f'(x)=4\cdot x^3-2\cdot k \cdot x=2x\cdot(2x^2-k)$ .
  Es ist also $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ .
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  Leite $f (x)$ ab.
2. Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die y-Koordinate $- 1$ .
  Ermitteln Sie den Wert von $k$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Ermittele den Wert von $k$
  Es ist $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ .
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet $f^{'} (x) = 0$ .
  $\Rightarrow\;0=2x\cdot(2x^2-k)$
  Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
  $x=0\vee x=\pm\sqrt{\dfrac{k}{2}}$
  Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die y-Koordinate $- 1$ , d.h. auf die hinreichende Bedingung kann verzichtet werden.
  Zu den beiden Tiefpunkte gehören die Extremstellen $x=\pm\sqrt{\dfrac{k}{2}}$ .
  Für $k > 0$ gilt: $f\left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)=-1\;\Rightarrow\;\left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)^4-k\cdot \left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)^2=-1$
  $\Rightarrow\;\dfrac{k^2}{4}-\dfrac{k^2}{2}=-1\;\Rightarrow\;-\dfrac{k^2}{4}=-1\Rightarrow\;k^2=4\;\Rightarrow\; k=2$ .
  Der gesuchte Wert von $k$ ist $k = 2$ .
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  Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet $f^{'} (x) = 0$ .
  Bestimme die Extremstellen $x_{E}$ .
  Die Tiefpunkte liegen nicht bei $x = 0$ .
  Löse die Gleichung $f (x_{E}) = - 1$ nach $k$ auf. Beachte $k > 0$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Funktion $f$ ist gegeben durch $f(x)=-x^3+9x^2-23x+15, x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
1. Interpretieren Sie die Aussage $F (5) - F (1) = 0$ in Bezug auf den Graphen von $f$ .
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Interpretiere die Aussage $F (5) - F (1) = 0$ in Bezug auf den Graphen von $f$
  Die Fläche, die im Intervall $[1; 3]$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, ist genauso groß wie die Fläche, die im Intervall $[3; 5]$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird
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  Betrachte die Flächen unterhalb und oberhalb der x-Achse.
2. Berechnen Sie $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Berechne $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x$
  Es ist $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 23 x + 15$ .
  Dann ist $F(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+3x^3-\dfrac{23}{2}x+15x$ eine Stammfunktion von $f$ .
  $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x=F(1)-F(0)=\left(-\dfrac{1}{4}+3-\dfrac{23}{2}+15\right)-(0)=18-\dfrac{47}{4}=\dfrac{25}{4}$
  Ergebnis: $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x=\dfrac{25}{4}$ .
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  Ermittele eine Stammfunktion von $f$ .
  Berechne $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x=F(1)-F(0)$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x+4}$ mit $x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.
Abbildung 3
1. Die Funktion $f$ besitzt genau zwei Extremstellen.
  Ermitteln Sie die beiden Extremstellen von $f$ .
  Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Ermittle die beiden Extremstellen von $f$ .
  Berechne die 1. Ableitung:
  $f'(x)=(2x+2)\cdot e^{-x+4}+\left(x^{2}+2 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x+4}\cdot (-1)=(-x^2+2)\cdot\mathrm{e}^{-x+4}$ .
  Die notwendige Bedingung ist $f^{'} (x) = 0$ .
  $\Rightarrow\;0=(-x^2+2)\cdot\mathrm{e}^{-x+4}$
  Wegen $\mathrm{e}^{-x+4}\neq 0$ für alle $x\in \mathbb{R}$ ist $- x^{2} + 2 = 0$ .
  $\Rightarrow\;x=-\sqrt{2}\vee x=\sqrt{2}$
  Da die Funktion $f$ genau zwei Extremstellen besitzt, sind die beiden Extremstellen $x=-\sqrt{2}$ und $x=\sqrt{2}$ .
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  Berechne die 1. Ableitung.
  Die notwendige Bedingung ist $f^{'} (x) = 0$ . Löse die Gleichung nach $x$ auf.
2. Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $f$ .
  Hinweis: Die Größe der $y$ -Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Graphen von $f$ und von $f^{'}$
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Für jedes $a \in \mathbb{R}$ ist durch die Gleichung $f_{a}(x)=\frac{1}{2}(x+2)(3 x+a)^{2} \mathrm{e}^{x}, x \in \mathbb{R}$ , eine Funktion $f_{a}$ gegeben.
In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $f_{a}$ für $a = 0$ abgebildet.
Abbildung 4
1. Es gibt genau einen Wert von $a$ , sodass die Funktion $f_{a}$ nur eine Nullstelle besitzt.
  Ermitteln Sie diesen Wert von $a$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Ermittle diesen Wert von $a$
  Gegeben ist $f_{a}(x)=\frac{1}{2}(x+2)(3 x+a)^{2} \mathrm{e}^{x}$ .
  Berechne die Nullstellen:
  Löse die Gleichung $f (x) = 0$ :
  $0=\frac{1}{2}(x+2)(3 x+a)^{2} \mathrm{e}^{x}$
  Wegen $\mathrm{e}^{x}\neq 0$ für alle $x\in \mathbb{R}$ ist $x + 2 = 0$ oder $(3 x + a)^{2} = 0$ (Satz vom Nullprodukt).
  $\Rightarrow\;x=-2\vee x=-\dfrac{a}{3}$
  Die Funktion $f_{a}$ darf nur eine Nullstelle besitzen, d.h. $-\dfrac{a}{3}=-2\;\Rightarrow\;a=6$ .
  Für $a = 6$ hat der Graph von $f_{6} (x)$ nur eine Nullstelle.
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  Berechne die Nullstellen, d.h. löse die Gleichung $f (x) = 0$ $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$ .
  Die Funktion $f_{a}$ darf nur eine Nullstelle besitzen $\;\Rightarrow\;x_1=x_2$ .
  Löse diese Gleichung nach $a$ auf.
2. Ermitteln Sie, für welche Werte von $a$ der Punkt $P\left(3 \mid 90 \mathrm{e}^{3}\right)$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Gegeben ist der Punkt $P\left(3 \mid 90 \mathrm{e}^{3}\right)$ .
  $\Rightarrow\; 90 \mathrm{e}^{3}=\frac{1}{2}(3+2)(3 \cdot 3+a)^{2} \mathrm{e}^{3}=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot(9+a^2)\cdot\mathrm{e}^{3}$
  Der Koeffizientenvergleich liefert die Gleichung $90=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot(9+a^2)$ .
  $\Rightarrow\;36=(9+a)^2\;\Rightarrow\;a_{1{,}2}=-9\pm 6\;\Rightarrow\; a=-15\vee a=-3$
  Für $a = - 15$ oder $a = - 3$ liegt der Punkt $P$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ .
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  Setze die Koordinaten des Punktes $P$ in $f_{a} (x)$ ein und löse die Gleichung nach $a$ auf.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Betrachtet werden die Ebene $E: x_{1}-x_{2}+x_{3}-3=0$ und für $a \in \mathbb{R}$ die Gerade $g_{a}: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ .
1. Bestimmen Sie, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Bestimme, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht
  Wenn die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ stehen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec u=\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}$ parallel zum Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ der Ebene sein, d.h. die beiden Vektoren sind Vielfache voneinander.
  $\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$
  Gleichung $\mathrm{I}$ und Gleichung $\mathrm{III}$ liefern $r = 2$ .
  Eingesetzt in Gleichung $\mathrm{II}$ :
  $\Rightarrow\;1+a=2\cdot(-1)=-2\;\Rightarrow\;a=-3$
  Für $a = - 3$ steht die Gerade $g_{- 3}$ senkrecht zu $E$ .
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  Wenn die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ stehen soll, dann muss der Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden parallel zum Normalenvektor $\vec n$ der Ebene sein.
  Löse die Gleichung $\vec u=r\cdot \vec n$ nach $a$ auf.
2. Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt
  Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec u=\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ der Ebene sein, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss gleich null sein.
  $\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=0\;\Rightarrow\;2\cdot 1+(1+a)\cdot(-1)+2\cdot1=0$
  $\Rightarrow\;4=1+a\;\Rightarrow\;a=3$
  Zunächst ist nur gezeigt, dass für $a = 3$ die Gerade $g_{3}$ parallel zu $E$ ist.
  Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, muss es einen Punkt $P\in g_{3}$ geben, der auch in $E$ liegt. Der Aufpunkt der Geraden $g_{3}$ sollte in $E$ liegen.
  Setze $(1 ∣ - 2 ∣ 0)$ in $E: x_{1}-x_{2}+x_{3}-3=0$ ein:
  $1-(-2)+0-3=0\;\Rightarrow\;3-3=0\;\checkmark$
  Die Gerade $g_{3}$ liegt demnach in der Ebene $E$ .
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  Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene sein, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss gleich null sein $\;\Rightarrow\; a_1$ .
  Damit ist gezeigt, dass für $a_{1}$ die Gerade $g_{a_1}$ parallel zu $E$ ist.
  Wenn die Gerade $g_{a_1}$ in $E$ liegen soll, muss es einen Punkt $P\in g_{a_1}$ geben, der auch in $E$ liegt. Der Aufpunkt der Geraden $g_{a_1}$ sollte in $E$ liegen. Überprüfe!
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 6
Bei einem Gewinnspiel beträgt der Einsatz für die Teilnahme 3 Euro. Die Auszahlung in Euro wird durch die Zufallsgröße $A$ beschrieben.
Abbildung 5 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $A$ .
Abbildung 5
1. Zeigen Sie, dass $p$ den Wert $\frac{1}{6}$ hat. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Zeige, dass $p$ den Wert $\frac{1}{6}$ hat
  Der Abbildung entnimmt man, dass $p + 3 p + 2 p = 1$ ist $\;\Rightarrow\;6p=1\;\Rightarrow\;p=\dfrac{1}{6}$ .
  Damit ist gezeigt, dass $p$ den Wert $\frac{1}{6}$ hat.
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2. Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen.
  Berechnen Sie den Wert von $b$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Berechne den Wert von $b$
  Der Einsatz für die Teilnahme beträgt $3$ Euro.
  Wenn sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen, muss $E (A) = 3$ sein. Es ist $p=\dfrac{1}{6}$ .
  Dann folgt:
  $E(A)=\dfrac{1}{6}\cdot 0+\dfrac{3}{6}\cdot b+\dfrac{2}{6}\cdot 6=3\;\Rightarrow\;\dfrac{3}{6}\cdot b=1\;\Rightarrow\;b=2$
  Der Wert von $b$ beträgt 2.
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  Wenn sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen, muss $E (A) = 3$ sein. Es ist $p=\dfrac{1}{6}$ .
  Stelle für $E (A)$ eine Gleichung auf und löse sie nach $b$ auf.
3. Beschreiben Sie, wie das Gewinnspiel unter Verwendung eines Behälters sowie roter, grüner und blauer Kugel durchgeführt werden könnte. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Beschreibe, wie das Gewinnspiel unter Verwendung eines Behälters sowie roter, grüner und blauer Kugel durchgeführt werden könnte
  Entsprechend der angegebenen Wahrscheinlichkeiten werden in den Behälter $1$ grüne, $3$ rote und $2$ blaue Kugeln gelegt.
  Dem Behälter wird zufällig eine Kugel entnommen und die Farbe betrachtet.
  Ist die Farbe der Kugel grün, dann erfolgt keine Gewinnauszahlung.
  Ist die Farbe der Kugel rot, dann werden $2 €$ ausgezahlt.
  Ist die Farbe der Kugel blau, dann werden $6 €$ ausgezahlt.
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  Lege entsprechend der Wahrscheinlichkeit eine Anzahl von roten, grünen und blauen Kugeln in den Behälter und ziehe einmal eine Kugel.
  Bestimme die Auszahlung für die gezogene Farbe der Kugel.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

A3

Aufgabe 1

Zeige, dass f′(x)=2x⋅(2x2−k)f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)f′(x)=2x⋅(2x2−k) eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von fff ist

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Ermittele den Wert von kkk

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Aufgabe 2

Interpretiere die Aussage F(5)−F(1)=0F(5)-F(1)=0F(5)−F(1)=0 in Bezug auf den Graphen von fff

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Berechne ∫01f(x) dx\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x∫01​f(x)dx

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Aufgabe 3

Ermittle die beiden Extremstellen von fff.

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Aufgabe 4

Ermittle diesen Wert von aaa

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Aufgabe 5

Bestimme, denjenigen Wert von aaa, für den die Gerade gag_{a}ga​ senkrecht zu EEE steht

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Untersuche, ob es einen Wert von aaa gibt, für den die Gerade gag_{a}ga​ in EEE liegt

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Aufgabe 6

Zeige, dass ppp den Wert 16\frac{1}{6}61​ hat

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Berechne den Wert von bbb

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Beschreibe, wie das Gewinnspiel unter Verwendung eines Behälters sowie roter, grüner und blauer Kugel durchgeführt werden könnte

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Zeige, dass $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist

Ermittele den Wert von $k$

Interpretiere die Aussage $F (5) - F (1) = 0$ in Bezug auf den Graphen von $f$

Berechne $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x$

Ermittle die beiden Extremstellen von $f$ .

Ermittle diesen Wert von $a$

Bestimme, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht

Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt

Zeige, dass $p$ den Wert $\frac{1}{6}$ hat

Berechne den Wert von $b$