Weise nach, dass $S_a$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$-Achse liegt

Tangentengleichungen

Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}|f_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$.

Berechne $f_a\left(\frac{5}{a}\right)=-{\displaystyle \frac{a}{250}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)}^4+{\displaystyle \frac{1}{25}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)}^3={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

Dann ist $t_{f_a}:y={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot x+b$.

Setze den Punkt $({\displaystyle \frac{5}{a}}|{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}})$ ein:

${\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{a}}+b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$

Die Tangentengleichung lautet: $t_{f_a}:y={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot x-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

Die Tangentengleichung $t_{g_a}$ ist gegeben:

$t_{g_a}:y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot x-{\displaystyle \frac{5}{2a^3}}\Rightarrow t_{g_a}:y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot x-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$

Schnittpunkt

Beide Tangentengleichungen haben den gleichen y-Achsenabschnitt, d.h. sie schneiden sich im Punkt $S_a(0|-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}})$.

$S_a$ liegt für jeden Wert von $a$ auf der y-Achse.

Untersuche, für welchen Wert von $a\in ℝ$ mit $a>0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ senkrecht zueinander verlaufen

Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ und die Tangentengleichung $t_{g_a}:y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot x-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

Die Steigung dieser Tangente ist ${\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die Steigung der Tangente gleich null ist.

Setze diese Steigung gleich null und löse nach $a$ auf:

${\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}=0\Rightarrow a^2={\displaystyle \frac{5}{3}}\Rightarrow a_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$

Wegen $a>0$ erhält man die Lösung $a=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$.

Für $a=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$ verlaufen die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ senkrecht zueinander.