B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ und $g_{a}$ mit

$f_{a}(x)=-\dfrac{a}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}, a \in \mathbb{R}, a>0$ sowie $g_{a}(x)=f_{a}(x)-\frac{3}{5} x$ .

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{1}$ .

Die Tangente $t_{f_{a}}$ an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \left\lvert\, f_{a}\left(\frac{5}{a}\right)\right.\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^{2}}$ , die Tangente $t_{g_{a}}$ an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \left\lvert\, g_{a}\left(\frac{5}{a}\right)\right.\right)$ hat die Steigung $\frac{5-3 a^{2}}{5 a^{2}}$ , sie wird durch die Gleichung $t_{g_{a}}: y=\frac{5-3 a^{2}}{5 a^{2}} x-\frac{5}{2 a^{3}}$ beschrieben.

Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S_{a}$ bezeichnet.

Weisen Sie nach, dass $S_{a}$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Weise nach, dass $S_{a}$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt
Tangentengleichungen
Die Tangente $t_{f_{a}}$ an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \left\lvert\, f_{a}\left(\frac{5}{a}\right)\right.\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^{2}}$ .
Berechne $f_{a}\left(\frac{5}{a}\right)=-\dfrac{a}{250}\cdot\left(\dfrac{5}{a}\right)^4+\dfrac{1}{25}\cdot\left(\dfrac{5}{a}\right)^3=\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
Dann ist $t_{f_{a}}: y=\dfrac{1}{a^2}\cdot x+b$ .
Setze den Punkt $\left(\dfrac{5}{a}\mid \dfrac{2{,}5}{a^3}\right)$ ein:
$\dfrac{2{,}5}{a^3}=\dfrac{1}{a^2}\cdot \dfrac{5}{a}+b\;\Rightarrow\; b=-\dfrac{2{,}5}{a^3}$
Die Tangentengleichung lautet: $t_{f_{a}}: y=\dfrac{1}{a^2}\cdot x-\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
Die Tangentengleichung $t_{g_{a}}$ ist gegeben:
$t_{g_{a}}: y=\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}\right)\cdot x-\dfrac{5}{2a^3}\;\Rightarrow\;t_{g_{a}}: y=\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}\right)\cdot x-\dfrac{2{,}5}{a^3}$
Schnittpunkt
Beide Tangentengleichungen haben den gleichen y-Achsenabschnitt, d.h. sie schneiden sich im Punkt $S_a\left(0\mid -\dfrac{2{,}5}{a^3}\right)$ .
$S_{a}$ liegt für jeden Wert von $a$ auf der y-Achse.
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Berechne die Tangentengleichung von $t_{f_{a}}$ und vergleiche die beiden y-Achsenabschnitte von $t_{f_{a}}$ und $t_{g_{a}}$ .
Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ schneidet die Tangente $t_{g_{a}}$ .
Untersuchen Sie, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ senkrecht zueinander verlaufen. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei zueinander senkrechte Geraden (analytische Geometrie)
Untersuche, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ senkrecht zueinander verlaufen
Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ und die Tangentengleichung $t_{g_{a}}: y=\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}\right)\cdot x-\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
Die Steigung dieser Tangente ist $\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}$ .
Die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die Steigung der Tangente gleich null ist.
Setze diese Steigung gleich null und löse nach $a$ auf:
$\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}=0\;\Rightarrow\;a^2=\dfrac{5}{3}\;\Rightarrow\;a_{1{,}2}=\pm\sqrt{\dfrac{5}{3}}$
Wegen $a > 0$ erhält man die Lösung $a=\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ .
Für $a=\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ verlaufen die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ senkrecht zueinander.
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Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ steht senkrecht zur x-Achse.
Die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die Steigung der Tangente gleich null ist.
Löse die entsprechende Gleichung.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Weise nach, dass SaS_{a}Sa​ für jeden Wert von aaa auf der yyy-Achse liegt

Tangentengleichungen

Schnittpunkt

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Untersuche, für welchen Wert von a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R mit a>0a>0a>0 die Gerade und die Tangente tgat_{g_{a}}tga​​ senkrecht zueinander verlaufen

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Weise nach, dass $S_{a}$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt

Untersuche, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ senkrecht zueinander verlaufen