B2

1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ und $g_{a}$ mit
$f_{a}(x)=-\dfrac{a}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}, a \in \mathbb{R}, a>0$ sowie $g_{a}(x)=f_{a}(x)-\frac{3}{5} x$ .
Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{1}$ .
Abbildung 1
1. Berechnen Sie für den Graphen von $f_{1}$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten des Extrempunktes. Zeichnen Sie den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein. (6 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Berechne für den Graphen von $f_{1}$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Gegeben ist $f_{a}(x)=-\dfrac{a}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}$ .
  Dann ist $f_1(x)=-\dfrac{1}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}=-\dfrac{1}{25}x^3\left(\dfrac{1}{10}x-1)\right)$
  Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
  $0=-\dfrac{1}{25}x^3\left(\dfrac{1}{10}x-1)\right)$
  Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
  $x=0\vee x=10$
  Die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse sind somit die Punkte $N_1(0\mid0)$ und $N_2(10\mid 0)$ .
  Wegen $f_{1} (0) = 0$ liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse auch im Koordinatenursprung $\;\Rightarrow\;S_y(0\mid 0)$ .
  Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f_{1}^{'} (x) = 0$ .
  Bilde die 1. Ableitung:
  $f_1'(x)=-\dfrac{4}{250} x^{3}+\dfrac{3}{25} x^{2}=-\dfrac{1}{25}x^2\left(\dfrac{4}{10}x-3\right)$
  $f_1'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =-\dfrac{1}{25}x^2\left(\dfrac{4}{10}x-3\right)$
  Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
  $x=0\vee \dfrac{4}{10}x-3=0\;\Rightarrow\;x=7{,}5$
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
  Bilde die 2. Ableitung:
  $f_1''(x)=-\dfrac{12}{250} x^{2}+\dfrac{6}{25} x=-\dfrac{6}{125} x^{2}+\dfrac{6}{25} x$
  Überprüfung für $x = 0$ und $x = 7,5$ :
  $f_{1}^{''} (0) = 0$ $\;\Rightarrow\;$ bei $x = 0$ hast du eine Aussage über eine Extremstelle. Weil $f^{'}$ für $x = 0$ eine doppelte Nullstelle hat, liegt kein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor. Daher hat $f$ dort kein Extremum (Dem Aufgabentext kannst du auch entnehmen, dass das weiter unten berechnete Extremum bei $x = 7,5$ das einzige ist).
  Wegen der doppelten Nullstelle der Ableitung bei $x = 0$ hat diese aber dort ein Extremum. Daher besteht der Verdacht auf einen Sattelpunkt.
  $f_1''(7{,}5)=-\dfrac{6}{125}\cdot 7{,}5^{2}+\dfrac{6}{25} \cdot7{,}5=-0{,}9<0$ $\;\Rightarrow\;$ $\text{HP}$
  Dann ist $f_1(7{,}5)=-\dfrac{1}{250}\cdot 7{,}5^{4}+\dfrac{1}{25}\cdot 7{,}5^{3}=\dfrac{135}{32}=4{,}21875$
  Der Hochpunkt hat die Koordinaten $HP(7{,}5\mid 4{,}21875)$ .
  Zeichne den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein
  Abbildung 1
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  Teil 1
  Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
  Teil 2
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f_{1}^{'} (x) = 0$ .
  Bilde die 1. und 2. Ableitung von $f_{1} (x)$ .
  Löse die Gleichung $f_1'(x)=0\;\Rightarrow\;x_1, x_2$
  Überprüfe mit $f_{1}^{''} (x)$ die Art des Extremums.
  Teil 3
  Zeichne den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein.
2. Geben Sie an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_{1}$ oberhalb des Graphen von $g_{1}$ verläuft und für welche unterhalb. Begründen Sie ihre Angabe. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Gib an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_{1}$ oberhalb des Graphen von $g_{1}$ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.
  Der Funktionsterm von $g_1(x)=f_1(x)-\dfrac{3}{5}x$ , d.h. der Term $-\dfrac{3}{5}x$ unterscheidet die beiden Funktionsterme.
  Betrachte das Verhalten dieses Terms.
  Für $x < 0$ gilt: $-\dfrac{3}{5}x>0$ .
  Zu $f_{1} (x)$ wird ein positiver Wert addiert, sodass der Graph von $g_{1}$ oberhalb vom Graphen von $f_{1}$ verläuft $\;\Rightarrow\;$ der Graph von $f_{1}$ verläuft unterhalb des Graphen von $g_{1}$ .
  Für $x > 0$ gilt: $-\dfrac{3}{5}x<0$ .
  Zu $f_{1} (x)$ wird ein negativer Wert addiert, sodass der Graph von $g_{1}$ unterhalb vom Graphen von $f_{1}$ verläuft $\;\Rightarrow\;$ der Graph von $f_{1}$ verläuft oberhalb des Graphen von $g_{1}$ .
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  Der Funktionsterm von $g_1(x)=f_1(x)-\dfrac{3}{5}x$ , d.h. der Term $-\dfrac{3}{5}x$ unterscheidet die beiden Funktionsterme.
  Betrachte das Verhalten des Terms $-\dfrac{3}{5}x$ .
  Welche Auswirkungen hat er auf die Größe von $g_{1} (x)$ ?
3. Für jeden Wert von $a$ gilt:
  I Die Funktionsterme von $f_{a}$ und $g_{a}$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5} x$ .
  II Der Graph von $f_{a}$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.
  Geben Sie an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_{a}$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_{a}$ folgern lässt.
  Begründen Sie ihre Angabe ausgehend von I und II. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_{a}$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_{a}$ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.
  Es gilt: I Die Funktionsterme von $f_{a}$ und $g_{a}$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5} x$ .
  Wird der Term $-\dfrac{3}{5}x$ zweimal abgeleitet, ist er gleich null, d.h. für die zweiten Ableitungen der beiden Funktionen $f_{a} (x)$ und $g_{a} (x)$ gilt dann $f_{a}^{''} (x) = g_{a}^{''} (x)$ .
  Somit haben $f_{a}$ und $g_{a}$ die gleiche Anzahl von Wendepunkten.
  Weiterhin gilt: II Der Graph von $f_{a}$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.
  Für $x = 0$ ist der Term $-\dfrac{3}{5}x$ ebenfalls gleich null $\;\Rightarrow\;f_a(0)=g_a(0)$ .
  Die y-Koordinate ist also bei beiden Graphen an der Stelle $x = 0$ gleich groß und es gilt: $WP_{f_a}(0\mid 0)=WP_{g_a}(0\mid 0)$ .
  Beim zweiten Wendepunkt ist $x=\dfrac{5}{a}\;\Rightarrow\;-\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{a}=-\dfrac{3}{a}$ .
  Somit hat der Graph von $g_{a}$ den Wendepunkt $WP_{g_a}\left(\frac{5}{a}\mid f_a\left(\frac{5}{a}\right)-\frac{3}{a}\right)$ und der Graph von $f_{a}$ den Wendepunkt $WP_{f_a}\left(\frac{5}{a}\mid f_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$
  Für $a < 0$ gilt: Zu $f_a\left(\dfrac{5}{a}\right)$ wird ein positiver Wert addiert, sodass der Wendepunkt von $g_{a}$ oberhalb vom Graphen von $f_{a}$ liegt.
  Für $a > 0$ gilt: Zu $f_a\left(\dfrac{5}{a}\right)$ wird ein negativer Wert addiert, sodass der Wendepunkt von $g_{a}$ unterhalb vom Graphen von $f_{a}$ liegt.
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  Betrachte den Term $-\frac{3}{5} x$ und untersuche, welche Auswirkungen dieser Term bei der Berechnung der Wendepunkte spielt.
  Weiterhin gilt: Der Graph von $f_{a}$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.
  Untersuche, wie die gegebenen Wendestellen sich auf die y-Koordinaten der beiden Wendepunkte auswirken.
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ und $g_{a}$ mit
$f_{a}(x)=-\dfrac{a}{250} x^{4}+\dfrac{1}{25} x^{3}, a \in \mathbb{R}, a>0$ sowie $g_{a}(x)=f_{a}(x)-\frac{3}{5} x$ .
Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{1}$ .
Abbildung 1
Die Tangente $t_{f_{a}}$ an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \left\lvert\, f_{a}\left(\frac{5}{a}\right)\right.\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^{2}}$ , die Tangente $t_{g_{a}}$ an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \left\lvert\, g_{a}\left(\frac{5}{a}\right)\right.\right)$ hat die Steigung $\frac{5-3 a^{2}}{5 a^{2}}$ , sie wird durch die Gleichung $t_{g_{a}}: y=\frac{5-3 a^{2}}{5 a^{2}} x-\frac{5}{2 a^{3}}$ beschrieben.
Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S_{a}$ bezeichnet.
1. Weisen Sie nach, dass $S_{a}$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Weise nach, dass $S_{a}$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt
  Tangentengleichungen
  Die Tangente $t_{f_{a}}$ an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \left\lvert\, f_{a}\left(\frac{5}{a}\right)\right.\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^{2}}$ .
  Berechne $f_{a}\left(\frac{5}{a}\right)=-\dfrac{a}{250}\cdot\left(\dfrac{5}{a}\right)^4+\dfrac{1}{25}\cdot\left(\dfrac{5}{a}\right)^3=\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
  Dann ist $t_{f_{a}}: y=\dfrac{1}{a^2}\cdot x+b$ .
  Setze den Punkt $\left(\dfrac{5}{a}\mid \dfrac{2{,}5}{a^3}\right)$ ein:
  $\dfrac{2{,}5}{a^3}=\dfrac{1}{a^2}\cdot \dfrac{5}{a}+b\;\Rightarrow\; b=-\dfrac{2{,}5}{a^3}$
  Die Tangentengleichung lautet: $t_{f_{a}}: y=\dfrac{1}{a^2}\cdot x-\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
  Die Tangentengleichung $t_{g_{a}}$ ist gegeben:
  $t_{g_{a}}: y=\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}\right)\cdot x-\dfrac{5}{2a^3}\;\Rightarrow\;t_{g_{a}}: y=\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}\right)\cdot x-\dfrac{2{,}5}{a^3}$
  Schnittpunkt
  Beide Tangentengleichungen haben den gleichen y-Achsenabschnitt, d.h. sie schneiden sich im Punkt $S_a\left(0\mid -\dfrac{2{,}5}{a^3}\right)$ .
  $S_{a}$ liegt für jeden Wert von $a$ auf der y-Achse.
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  Berechne die Tangentengleichung von $t_{f_{a}}$ und vergleiche die beiden y-Achsenabschnitte von $t_{f_{a}}$ und $t_{g_{a}}$ .
2. Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ schneidet die Tangente $t_{g_{a}}$ .
  Untersuchen Sie, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ senkrecht zueinander verlaufen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei zueinander senkrechte Geraden (analytische Geometrie)
  Untersuche, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ senkrecht zueinander verlaufen
  Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ und die Tangentengleichung $t_{g_{a}}: y=\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}\right)\cdot x-\dfrac{2{,}5}{a^3}$ .
  Die Steigung dieser Tangente ist $\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}$ .
  Die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die Steigung der Tangente gleich null ist.
  Setze diese Steigung gleich null und löse nach $a$ auf:
  $\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{5}=0\;\Rightarrow\;a^2=\dfrac{5}{3}\;\Rightarrow\;a_{1{,}2}=\pm\sqrt{\dfrac{5}{3}}$
  Wegen $a > 0$ erhält man die Lösung $a=\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ .
  Für $a=\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ verlaufen die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ senkrecht zueinander.
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  Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ steht senkrecht zur x-Achse.
  Die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die Steigung der Tangente gleich null ist.
  Löse die entsprechende Gleichung.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnittes einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30\mathrm{~m}$ breit.
Abbildung 2
Die Profilinie wird für $0 \leq x \leq 41{,}5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x)=-0{,}000004 x^{4}+0{,}015 x^{2}-0{,}1 x+0{,}1875$ dargestellt.
Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$ -Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\mathrm{~m}$ in der Realität.
1. Bestimmen Sie die größte Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen in Prozent.
  (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Bestimme die größte Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen in Prozent
  Gegeben ist $p(x)=-0{,}000004 x^{4}+0{,}015 x^{2}-0{,}1 x+0{,}1875$ .
  Gesucht ist das Maximum der 1. Ableitung von $p (x)$ :
  Berechne $p^{'} (x)$ , $p^{''} (x)$ und $p^{'''} (x)$ :
  $p'(x)=-0{,}000016x^{3}+0{,}03 x-0{,}1$
  $p''(x)=-0{,}000048x^{2}+0{,}03$
  $p^{'''} (x) = - 0,000096 x$
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $p^{''} (x) = 0$ .
  $0=-0{,}000048x^{2}+0{,}03\;\Rightarrow\;x_{1{,}2}=\pm\sqrt{\dfrac{0{,}03}{0{,}000048}}=\pm\sqrt{625}=\pm 25$ .
  Wegen $0 \leq x \leq 41{,}5$ ist $x = 25$ .
  Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt:
  $p'''(25)=-0{,}000096\cdot 25=-0{,}0024<0\;\Rightarrow\;$ Maximum
  Die größte Neigung der Piste:
  Für $x = 25$ liegt ein Maximum vor.
  Berechne $p'(25)=-0{,}000016\cdot 25^{3}+0{,}03 \cdot 25-0{,}1=0{,}4=40\;\%$ .
  Für $x = 25$ hat die Piste die größte Neigung gegenüber der Horizontalen mit $40 %$ .
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  Gesucht ist das Maximum der 1. Ableitung von $p (x)$ .
  Berechne $p^{'} (x)$ , $p^{''} (x)$ und $p^{'''} (x)$ .
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $p''(x)=0\;\Rightarrow\;x_1$
  Berechne $p^{'} (x_{1})$ und gib den Wert in $%$ an.
2. Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)=b \cdot c^{x}, b>0, c>0$ beschrieben werden.
  Bestimmen Sie die Werte von $b$ und $c$ .
  $[$ Zur Kontrolle: $b \approx 1{,}818, c \approx 1{,}049$ $]$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Bestimme die Werte von $b$ und $c$
  Gegeben sind Funktion $h$ mit $h(x)=b \cdot c^{x}, b>0, c>0$ und die Punkte $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ .
  Setze die Koordinaten von $A$ in $h$ ein:
  $2{,}31=b \cdot c^{5}\;\Rightarrow\;b=\dfrac{2{,}31}{c^{5}}$
  Setze $b$ und die Koordinaten von $B$ in $h$ ein:
  $10{,}68=\dfrac{2{,}31}{c^{5}}\cdot c^{37}=2{,}31\cdot c^{32}\;\Rightarrow\;c^{32}=\dfrac{10{,}68}{2{,}31}\;\Rightarrow\;c=\sqrt[32]{\dfrac{10{,}68}{2{,}31}}\approx1{,}049$
  Dann erhält man für $b=\dfrac{2{,}31}{1{,}049^5}\approx1{,}818$ . (Das ist die Musterlösung, gerundet erhält man $b\approx1{,}819$ .)
  Die Werte von $b$ und $c$ sind $b\approx1{,}818$ und $c\approx1{,}049$ .
  Dann ist $h(x)=1{,}818\cdot 1{,}049^x$ .
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  Setze die Koordinaten von $A$ in $h$ ein und löse nach $b$ auf.
  Setze $b$ und die Koordinaten von $B$ in $h$ ein und berechne $c$ .
  Mit dem berechneten $c$ kann $b$ berechnet werden.
3. Untersuchen Sie, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens $3\mathrm{~m}$ beträgt.
  Ermitteln Sie die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\mathrm{~m}$ hat. (7 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Untersuche, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens 3 m beträgt
  Es sind $h(x)=1{,}818\cdot 1{,}049^x$ und $p(x)=-0{,}000004 x^{4}+0{,}015 x^{2}-0{,}1 x+0{,}1875$ .
  Weiterhin gilt: Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\mathrm{~m}$ in der Realität.
  Betrachte die Differenz der beiden Funktionsgleichungen:
  $d (x) = h (x) - p (x)$
  $d(x)=1{,}818\cdot 1{,}049^x-(-0{,}000004 x^{4}+0{,}015 x^{2}-0{,}1 x+0{,}1875)$
  $d(x)=1{,}818\cdot 1{,}049^x+0{,}000004 x^{4}-0{,}015 x^{2}+0{,}1 x-0{,}1875$
  Der vertikale Abstand des Seils zur Piste soll mindestens $3\mathrm{~m}$ betragen.
  An den Randstellen des Seils, bei $x = 5$ und $x = 37$ beträgt der vertikale Abstand zur Piste $d(5)\approx2{,}24925...$ (etwa $22{,}5\mathrm{~m}$ ) und $d(37)\approx1{,}14754...$ (etwa $11{,}5\mathrm{~m}$ ).
  Die Stellen, an denen der Abstand $3\mathrm{~m}$ beträgt, findet man mit der Gleichung $d (x) = 0,3$ .
  Löse die Gleichung:
  Für $5\leq x\leq 37$ erhält man die beiden Lösungen $x_1\approx27{,}24$ und $x_2\approx32{,}64$ .
  Vom Beginn des Seils bis $x_1\approx27{,}24$ und von $x_2\approx32{,}64$ bis $x = 37$ beträgt der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens $3\mathrm{~m}$ .
  Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\mathrm{~m}$ hat
  Finde graphisch das absolute Minimum der Funktion $d (x)$ im Bereich $27{,}24\leq x\leq 32{,}64$ .
  Du erhältst die Minimalstelle bei $x\approx30{,}08821487$ und den y-Wert $y\approx 0{,}1882497763$ .
  Der Tiefpunkt hat die gerundeten Koordinaten $TP(30{,}09\mid 0{,}19)$ .
  $y = 0,19$ entspricht einem Abstand von $1{,}9\mathrm{~m}$ .
  Um einen Abstand von mindestens $3 \mathrm{~m}$ zu haben, muss das Seil um $3 \mathrm{~m}-1{,}9 \mathrm{~m}=1{,}1 \mathrm{~m}$ angehoben werden.
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  Teil 1
  Betrachte die Differenz der beiden Funktionsgleichungen $d (x) = h (x) - p (x)$ .
  Der vertikale Abstand des Seils zur Piste soll mindestens 3 m betragen.
  $\Rightarrow\; d(x)=0{,}3$ : Löse die Gleichung mit dem CAS.
  Die gesuchten Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ liegen im Bereich $5\leq x\leq 37$ .
  Teil 2
  Finde graphisch das absolute Minimum der Funktion $d (x)$ im Bereich $x_1\leq x\leq x_2$ .
  Der Tiefpunkt hat die gerundeten Koordinaten $TP(x_m\mid y_m)$ .
  Beachte, $y_m\cdot 10$ ist der Abstand in Metern.
  Um einen Abstand von mindestens $3 \mathrm{~m}$ zu haben, muss das Seil um $3 -y_m\cdot 10 =z$ Meter angehoben werden.
4. Abbildung 3 zeigt grau markiert die Schneeauflage im unteren Bereich der Piste; dazu wurde Abbildung 2 in Richtung der $y$ -Achse stärker vergrößert als in Richtung der $x$ -Achse. Der Untergrund, auf dem der Schnee aufgebracht ist, wird für $0 \leq x \leq 5$ durch die $x$ -Achse dargestellt. Für den übrigen Teil der Piste soll davon ausgegangen werden, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $60\mathrm{~cm}$ beträgt.
  Abbildung 3
  Bestimmen Sie das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste
  Bekannt ist, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $60\mathrm{~cm}$ beträgt, d.h. $60\mathrm{~cm}=0{,}6\mathrm{~m}$ und wegen des Faktors $10$ muss mit $0,06$ gerechnet werden.
  Weiterhin gilt: Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30\mathrm{~m}$ breit $\;\Rightarrow\; \text{Breite}=30\mathrm{~m}$ .
  Berechne zunächst die grau unterlegte Fläche.
  Diese Fläche kann in zwei Teile zerlegt werden.
  $A=A_1+A_2=\displaystyle\int_0^5p(x)\; \mathrm{d}x+\displaystyle\int_5^{41{,}5}\left(p(x)-(p(x)-0{,}06)\right)\; \mathrm{d}x$
  Man erhält folgendes Ergebnis:
  Die Fläche ist: $A=A_1+A_2=\dfrac{31}{100}+\dfrac{219}{100}=\dfrac{250}{100}$ , d.h. der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt $\dfrac{250}{100}\mathrm{~FE}$ . Da $1\mathrm{~FE}$ gleich $100\mathrm{~m}^2$ entspricht, ist die gesuchte Fläche $250\mathrm{~m}^2$ groß.
  Dann ist das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste:
  $V=\text{Fläche}\cdot \text{Breite}=250\cdot 30=7500$ .
  Das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste beträgt $7500\mathrm{~m}^3$ .
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  Beachte, die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe beträgt $60\mathrm{~cm}$ , d.h. $60\mathrm{~cm}=0{,}6\mathrm{~m}$ und wegen des Faktors $10$ muss mit $0,06$ gerechnet werden.
  Berechne die grau unterlegte Fläche. Diese Fläche kann in zwei Teile zerlegt werden.
  $A=A_1+A_2=\displaystyle\int_0^{x_1}p(x)\; \mathrm{d}x+\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\left(p(x)-(p(x)-0{,}06)\right)\; \mathrm{d}x$
  Beachte, $1\mathrm{~FE}$ entspricht $100\mathrm{~m}^2$ .
  Das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste ist dann: $V=\text{Fläche}\cdot \text{Breite}=(A\cdot 100)\cdot 30$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B2

Aufgabe 1

Berechne für den Graphen von f1f_{1}f1​ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Untersuche fff rechnerisch auf lokale Extremstellen

Zeichne den Graphen von f1f_{1}f1​ in die Abbildung 1 ein

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Gib an, für welche Werte von xxx der Graph von f1f_{1}f1​ oberhalb des Graphen von g1g_{1}g1​ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.

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Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von gag_{a}ga​ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von faf_{a}fa​ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.

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Aufgabe 2

Weise nach, dass SaS_{a}Sa​ für jeden Wert von aaa auf der yyy-Achse liegt

Tangentengleichungen

Schnittpunkt

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Untersuche, für welchen Wert von a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R mit a>0a>0a>0 die Gerade und die Tangente tgat_{g_{a}}tga​​ senkrecht zueinander verlaufen

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Aufgabe 3

Bestimme die größte Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen in Prozent

Die größte Neigung der Piste:

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Bestimme die Werte von bbb und ccc

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Untersuche, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens 3 m beträgt

Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens 3 m3\mathrm{~m}3 m hat

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Bestimme das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste

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Berechne für den Graphen von $f_{1}$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Zeichne den Graphen von $f_{1}$ in die Abbildung 1 ein

Gib an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_{1}$ oberhalb des Graphen von $g_{1}$ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.

Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_{a}$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_{a}$ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.

Weise nach, dass $S_{a}$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt

Untersuche, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_{a}}$ senkrecht zueinander verlaufen

Bestimme die Werte von $b$ und $c$

Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\mathrm{~m}$ hat