B2

Berechne für den Graphen von $f_1$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist $f_a(x)=-{\displaystyle \frac{a}{250}}{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^3$.

Dann ist $f_1(x)=-{\displaystyle \frac{1}{250}}{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^3=-{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^3({\displaystyle \frac{1}{10}}x-1))$

Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_1(x)=0$.

$0=-{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^3({\displaystyle \frac{1}{10}}x-1))$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee x=10$

Die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse sind somit die Punkte $N_1(0|0)$ und $N_2(10|0)$.

Wegen $f_1(0)=0$ liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse auch im Koordinatenursprung$\Rightarrow S_y(0|0)$.

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f_1^{\prime }(x)=0$.

Bilde die 1. Ableitung:

$f_1^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{4}{250}}{x}^3+{\displaystyle \frac{3}{25}}{x}^2=-{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^2({\displaystyle \frac{4}{10}}x-3)$

$f_1^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=-{\displaystyle \frac{1}{25}}{x}^2({\displaystyle \frac{4}{10}}x-3)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee {\displaystyle \frac{4}{10}}x-3=0\Rightarrow x=\mathrm{7,5}$

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$.

Bilde die 2. Ableitung:

$f_1^{\prime \prime }(x)=-{\displaystyle \frac{12}{250}}{x}^2+{\displaystyle \frac{6}{25}}x=-{\displaystyle \frac{6}{125}}{x}^2+{\displaystyle \frac{6}{25}}x$

Überprüfung für $x=0$ und $x=\mathrm{7,5}$:

$f_1^{\prime \prime }(0)=0$$\Rightarrow$ bei $x=0$ hast du eine Aussage über eine Extremstelle. Weil $f^{\prime }$ für $x=0$ eine doppelte Nullstelle hat, liegt kein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor. Daher hat $f$ dort kein Extremum (Dem Aufgabentext kannst du auch entnehmen, dass das weiter unten berechnete Extremum bei $x=\mathrm{7,5}$ das einzige ist).

Wegen der doppelten Nullstelle der Ableitung bei $x=0$ hat diese aber dort ein Extremum. Daher besteht der Verdacht auf einen Sattelpunkt.

$f_1^{\prime \prime }(\mathrm{7,5})=-{\displaystyle \frac{6}{125}}\cdot {\mathrm{7,5}}^2+{\displaystyle \frac{6}{25}}\cdot \mathrm{7,5}=-\mathrm{0,9}<0$$\Rightarrow$$\text{HP}$

Dann ist $f_1(\mathrm{7,5})=-{\displaystyle \frac{1}{250}}\cdot {\mathrm{7,5}}^4+{\displaystyle \frac{1}{25}}\cdot {\mathrm{7,5}}^3={\displaystyle \frac{135}{32}}=\mathrm{4,21875}$

Der Hochpunkt hat die Koordinaten $HP(\mathrm{7,5}|\mathrm{4,21875})$.

Zeichne den Graphen von $f_1$ in die Abbildung 1 ein

Gib an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_1$ oberhalb des Graphen von $g_1$ verläuft und für welche unterhalb und begründe deine Angabe.

Der Funktionsterm von $g_1(x)=f_1(x)-{\displaystyle \frac{3}{5}}x$, d.h. der Term $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x$ unterscheidet die beiden Funktionsterme.

Betrachte das Verhalten dieses Terms.

Für $x<0$ gilt: $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x>0$.

Zu $f_1(x)$ wird ein positiver Wert addiert, sodass der Graph von $g_1$ oberhalb vom Graphen von $f_1$ verläuft$\Rightarrow$der Graph von $f_1$ verläuft unterhalb des Graphen von $g_1$.

Für $x>0$ gilt: $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x<0$.

Zu $f_1(x)$ wird ein negativer Wert addiert, sodass der Graph von $g_1$ unterhalb vom Graphen von $f_1$ verläuft$\Rightarrow$der Graph von $f_1$ verläuft oberhalb des Graphen von $g_1$.

Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_a$ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.

Es gilt: I Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5}x$.

Wird der Term $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x$ zweimal abgeleitet, ist er gleich null, d.h. für die zweiten Ableitungen der beiden Funktionen $f_a(x)$ und $g_a(x)$ gilt dann $f_a^{\prime \prime }(x)=g_a^{\prime \prime }(x)$.

Somit haben $f_a$ und $g_a$ die gleiche Anzahl von Wendepunkten.

Weiterhin gilt: II Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$-Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.

Für $x=0$ ist der Term $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x$ ebenfalls gleich null $\Rightarrow f_a(0)=g_a(0)$.

Die y-Koordinate ist also bei beiden Graphen an der Stelle $x=0$ gleich groß und es gilt: $W{P}_{f_a}(0|0)=W{P}_{g_a}(0|0)$.

Beim zweiten Wendepunkt ist $x={\displaystyle \frac{5}{a}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{a}}=-{\displaystyle \frac{3}{a}}$.

Somit hat der Graph von $g_a$ den Wendepunkt $W{P}_{g_a}(\frac{5}{a}|f_a\left(\frac{5}{a}\right)-\frac{3}{a})$ und der Graph von $f_a$ den Wendepunkt$W{P}_{f_a}(\frac{5}{a}|f_a\left(\frac{5}{a}\right))$

Für $a<0$ gilt: Zu $f_a\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)$ wird ein positiver Wert addiert, sodass der Wendepunkt von $g_a$ oberhalb vom Graphen von $f_a$ liegt.

Für $a>0$ gilt: Zu $f_a\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)$ wird ein negativer Wert addiert, sodass der Wendepunkt von $g_a$ unterhalb vom Graphen von $f_a$ liegt.

Weise nach, dass $S_a$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$-Achse liegt

Tangentengleichungen

Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}|f_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$.

Berechne $f_a\left(\frac{5}{a}\right)=-{\displaystyle \frac{a}{250}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)}^4+{\displaystyle \frac{1}{25}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)}^3={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

Dann ist $t_{f_a}:y={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot x+b$.

Setze den Punkt $({\displaystyle \frac{5}{a}}|{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}})$ ein:

${\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{a}}+b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$

Die Tangentengleichung lautet: $t_{f_a}:y={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot x-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

Die Tangentengleichung $t_{g_a}$ ist gegeben:

$t_{g_a}:y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot x-{\displaystyle \frac{5}{2a^3}}\Rightarrow t_{g_a}:y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot x-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$

Schnittpunkt

Beide Tangentengleichungen haben den gleichen y-Achsenabschnitt, d.h. sie schneiden sich im Punkt $S_a(0|-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}})$.

$S_a$ liegt für jeden Wert von $a$ auf der y-Achse.

Untersuche, für welchen Wert von $a\in ℝ$ mit $a>0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ senkrecht zueinander verlaufen

Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ und die Tangentengleichung $t_{g_a}:y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot x-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

Die Steigung dieser Tangente ist ${\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die Steigung der Tangente gleich null ist.

Setze diese Steigung gleich null und löse nach $a$ auf:

${\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}=0\Rightarrow a^2={\displaystyle \frac{5}{3}}\Rightarrow a_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$

Wegen $a>0$ erhält man die Lösung $a=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$.

Für $a=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$ verlaufen die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ senkrecht zueinander.

Bestimme die größte Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen in Prozent

Gegeben ist $p(x)=-\mathrm{0,000004}{x}^4+\mathrm{0,015}{x}^2-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1875}$.

Gesucht ist das Maximum der 1. Ableitung von $p(x)$:

Berechne $p^{\prime }(x)$, $p^{\prime \prime }(x)$ und $p^{\prime \prime \prime }(x)$:

$p^{\prime }(x)=-\mathrm{0,000016}{x}^3+\mathrm{0,03}x-\mathrm{0,1}$

$p^{\prime \prime }(x)=-\mathrm{0,000048}{x}^2+\mathrm{0,03}$

$p^{\prime \prime \prime }(x)=-\mathrm{0,000096}x$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $p^{\prime \prime }(x)=0$.

$0=-\mathrm{0,000048}{x}^2+\mathrm{0,03}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}}{\mathrm{0,000048}}}}=\pm \sqrt{625}=\pm 25$.

Wegen $0\le x\le \mathrm{41,5}$ ist $x=25$.

Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt:

$p^{\prime \prime \prime }(25)=-\mathrm{0,000096}\cdot 25=-\mathrm{0,0024}<0\Rightarrow$Maximum

Die größte Neigung der Piste:

Für $x=25$ liegt ein Maximum vor.

Berechne $p^{\prime }(25)=-\mathrm{0,000016}\cdot {25}^3+\mathrm{0,03}\cdot 25-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,4}=40\%$.

Für $x=25$ hat die Piste die größte Neigung gegenüber der Horizontalen mit $40\%$.

Bestimme die Werte von $b$ und $c$

Gegeben sind Funktion $h$ mit $h(x)=b\cdot c^x,b>0,c>0$ und die Punkte $A(5|\mathrm{2,31})$ und $B(37|\mathrm{10,68})$.

Setze die Koordinaten von $A$ in $h$ ein:

$\mathrm{2,31}=b\cdot c^5\Rightarrow b={\displaystyle \frac{\mathrm{2,31}}{c^5}}$

Setze $b$ und die Koordinaten von $B$ in $h$ ein:

$\mathrm{10,68}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,31}}{c^5}}\cdot c^{37}=\mathrm{2,31}\cdot c^{32}\Rightarrow c^{32}={\displaystyle \frac{\mathrm{10,68}}{\mathrm{2,31}}}\Rightarrow c=\sqrt[32]{{\displaystyle \frac{\mathrm{10,68}}{\mathrm{2,31}}}}\approx \mathrm{1,049}$

Dann erhält man für $b={\displaystyle \frac{\mathrm{2,31}}{{\mathrm{1,049}}^5}}\approx \mathrm{1,818}$. (Das ist die Musterlösung, gerundet erhält man $b\approx \mathrm{1,819}$.)

Die Werte von $b$ und $c$ sind $b\approx \mathrm{1,818}$ und $c\approx \mathrm{1,049}$.

Dann ist $h(x)=\mathrm{1,818}\cdot {\mathrm{1,049}}^x$.

Untersuche, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens 3 m beträgt

Es sind $h(x)=\mathrm{1,818}\cdot {\mathrm{1,049}}^x$ und $p(x)=-\mathrm{0,000004}{x}^4+\mathrm{0,015}{x}^2-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1875}$.

Weiterhin gilt: Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\mathrm{m}$ in der Realität.

Betrachte die Differenz der beiden Funktionsgleichungen:

$d(x)=h(x)-p(x)$

$d(x)=\mathrm{1,818}\cdot {\mathrm{1,049}}^x-(-\mathrm{0,000004}{x}^4+\mathrm{0,015}{x}^2-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1875})$

$d(x)=\mathrm{1,818}\cdot {\mathrm{1,049}}^x+\mathrm{0,000004}{x}^4-\mathrm{0,015}{x}^2+\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1875}$

Der vertikale Abstand des Seils zur Piste soll mindestens $3\mathrm{m}$ betragen.

An den Randstellen des Seils, bei $x=5$ und $x=37$ beträgt der vertikale Abstand zur Piste $d(5)\approx \mathrm{2,24925...}$ (etwa $\mathrm{22,5}\mathrm{m}$) und $d(37)\approx \mathrm{1,14754...}$ (etwa $\mathrm{11,5}\mathrm{m}$).

Die Stellen, an denen der Abstand $3\mathrm{m}$ beträgt, findet man mit der Gleichung $d(x)=\mathrm{0,3}$.

Löse die Gleichung:

Für $5\le x\le 37$ erhält man die beiden Lösungen $x_1\approx \mathrm{27,24}$ und $x_2\approx \mathrm{32,64}$.

Vom Beginn des Seils bis $x_1\approx \mathrm{27,24}$ und von $x_2\approx \mathrm{32,64}$ bis $x=37$ beträgt der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens $3\mathrm{m}$.

Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\mathrm{m}$ hat

Finde graphisch das absolute Minimum der Funktion $d(x)$ im Bereich $\mathrm{27,24}\le x\le \mathrm{32,64}$.

Du erhältst die Minimalstelle bei $x\approx \mathrm{30,08821487}$ und den y-Wert $y\approx \mathrm{0,1882497763}$.

Der Tiefpunkt hat die gerundeten Koordinaten $TP(\mathrm{30,09}|\mathrm{0,19})$.

$y=\mathrm{0,19}$ entspricht einem Abstand von $\mathrm{1,9}\mathrm{m}$.

Um einen Abstand von mindestens $3\mathrm{m}$ zu haben, muss das Seil um $3\mathrm{m}-\mathrm{1,9}\mathrm{m}=\mathrm{1,1}\mathrm{m}$ angehoben werden.

Bestimme das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste

Bekannt ist, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $60\mathrm{c}\mathrm{m}$ beträgt, d.h. $60\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,6}\mathrm{m}$ und wegen des Faktors $10$ muss mit $\mathrm{0,06}$ gerechnet werden.

Weiterhin gilt: Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30\mathrm{m}$ breit $\Rightarrow \text{Breite}=30\mathrm{m}$.

Berechne zunächst die grau unterlegte Fläche.

Diese Fläche kann in zwei Teile zerlegt werden.

$$A=A_1+A_2={\displaystyle {\int }_0^{5}p(x)\mathrm{d}x+{\displaystyle {\int }_5^{\mathrm{41,5}}(p(x)-(p(x)-\mathrm{0,06}))\mathrm{d}x}}$$

Man erhält folgendes Ergebnis:

Die Fläche ist: $A=A_1+A_2={\displaystyle \frac{31}{100}}+{\displaystyle \frac{219}{100}}={\displaystyle \frac{250}{100}}$, d.h. der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt ${\displaystyle \frac{250}{100}}\mathrm{F}\mathrm{E}$. Da $1\mathrm{F}\mathrm{E}$ gleich $100{\mathrm{m}}^2$ entspricht, ist die gesuchte Fläche $250{\mathrm{m}}^2$ groß.

Dann ist das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste:

$V=\text{Fläche}\cdot \text{Breite}=250\cdot 30=7500$.

Das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste beträgt $7500{\mathrm{m}}^3$.