A2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 100$ und $p$ .

Der Erwartungswert von $X$ ist 50.

Berechnen Sie die Standardabweichung von $X$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Standardabweichung
Berechne die Standardabweichung von $X$
Gegeben: Der Erwartungswert von $X$ ist $50$ und $n = 100$ .
Mit diesen Angaben kann zunächst $p$ berechnet werden:
$\mu=n\cdot p\;\Rightarrow\;p=\dfrac{\mu}{n}=\dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}$ .
Für die Standardabweichung $\sigma$ gilt:
$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{100\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}}=\sqrt{25}=5$
Die Standardabweichung von $X$ ist $\sigma=5$ .
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Gegeben: Der Erwartungswert von $X$ ist $50$ und $n = 100$ .
Mit diesen Angaben kann $p$ berechnet werden.
Berechne dann $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ .
Die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 61)$ beträgt etwa $2 %$ .
Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40 \leq X \leq 60)$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40 \leq X \leq 60)$
Vorausgesetzt wird, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wegen $p=\dfrac{1}{2}$ symmetrisch um den Erwartungswert liegt.
Mit dieser Annahme ist also $P(X\leq 39)=P(X\geq 61)$
Die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 61)$ beträgt etwa $2 %$ , d.h. $P(X\leq 39)$ beträgt somit auch $2 %$ .
Andererseits ist $P(X\leq 60)=1-P(X \geq 61)=1-0{,}02=0{,}98$ .
Somit ist dann: ⁣ $P(40 \leq X \leq 60)=P(X \leq 60)-P(X \leq 39)=0{,}98-0{,}02=0{,}96$ .
Der zugehörige Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40 \leq X \leq 60)$ ist $0,96$ .
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Vorausgesetzt wird, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wegen $p=\dfrac{1}{2}$ symmetrisch um den Erwartungswert liegt.
Mit dieser Annahme ist also $P(X\leq 39)=P(X\geq 61)$
Berechne dann $P(40 \leq X \leq 60)=P(X \leq 60)-P(X \leq 39)$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Berechne die Standardabweichung von XXX

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Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit P(40≤X≤60)P(40 \leq X \leq 60)P(40≤X≤60)

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Berechne die Standardabweichung von $X$

Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40 \leq X \leq 60)$