A2

Zeige, dass $f^{\prime }(x)=2x\cdot (2x^2-k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist

Gegeben ist $f(x)=x^4-k\cdot x^2$.

Dann ist $f^{\prime }(x)=4\cdot x^3-2\cdot k\cdot x=2x\cdot (2x^2-k)$.

Es ist also $f^{\prime }(x)=2x\cdot (2x^2-k)$.

Ermittele den Wert von $k$

Es ist $f^{\prime }(x)=2x\cdot (2x^2-k)$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet $f^{\prime }(x)=0$.

$\Rightarrow 0=2x\cdot (2x^2-k)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}$

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die y-Koordinate $-1$, d.h. auf die hinreichende Bedingung kann verzichtet werden.

Zu den beiden Tiefpunkte gehören die Extremstellen $x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}$.

Für $k>0$ gilt: $f\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\right)=-1\Rightarrow {\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\right)}^4-k\cdot {\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\right)}^2=-1$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{k^2}{4}}-{\displaystyle \frac{k^2}{2}}=-1\Rightarrow -{\displaystyle \frac{k^2}{4}}=-1\Rightarrow k^2=4\Rightarrow k=2$.

Der gesuchte Wert von $k$ ist $k=2$.

Interpretiere die Aussage $F(5)-F(1)=0$ in Bezug auf den Graphen von $f$

Die Fläche, die im Intervall $[1;3]$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, ist genauso groß wie die Fläche, die im Intervall $[3;5]$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird

Berechne $${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}$$

Es ist $f(x)=-x^3+9x^2-23x+15$.

Dann ist $F(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+3x^3-{\displaystyle \frac{23}{2}}x+15x$ eine Stammfunktion von $f$.

$${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=F(1)-F(0)=(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+3-{\displaystyle \frac{23}{2}}+15)-(0)=18-{\displaystyle \frac{47}{4}}={\displaystyle \frac{25}{4}}}$$

Ergebnis: $${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{25}{4}}}$$.

Ermittle die beiden Extremstellen von $f$.

Berechne die 1. Ableitung:

$f^{\prime }(x)=(2x+2)\cdot e^{-x+4}+(x^2+2x)\cdot {\mathrm{e}}^{-x+4}\cdot (-1)=(-x^2+2)\cdot {\mathrm{e}}^{-x+4}$.

Die notwendige Bedingung ist $f^{\prime }(x)=0$.

$\Rightarrow 0=(-x^2+2)\cdot {\mathrm{e}}^{-x+4}$

Wegen ${\mathrm{e}}^{-x+4}\ne 0$ für alle $x\in ℝ$ ist $-x^2+2=0$.

$\Rightarrow x=-\sqrt{2}\vee x=\sqrt{2}$

Da die Funktion $f$ genau zwei Extremstellen besitzt, sind die beiden Extremstellen $x=-\sqrt{2}$ und $x=\sqrt{2}$.

Ermittle diesen Wert von $a$

Gegeben ist $f_a(x)=\frac{1}{2}(x+2)(3x+a{)}^2{\mathrm{e}}^x$.

Berechne die Nullstellen:

Löse die Gleichung $f(x)=0$:

$0=\frac{1}{2}(x+2)(3x+a{)}^2{\mathrm{e}}^x$

Wegen ${\mathrm{e}}^x\ne 0$ für alle $x\in ℝ$ ist $x+2=0$ oder $(3x+a{)}^2=0$ (Satz vom Nullprodukt).

$\Rightarrow x=-2\vee x=-{\displaystyle \frac{a}{3}}$

Die Funktion $f_a$ darf nur eine Nullstelle besitzen, d.h. $-{\displaystyle \frac{a}{3}}=-2\Rightarrow a=6$.

Für $a=6$ hat der Graph von $f_6(x)$ nur eine Nullstelle.

Gegeben ist der Punkt $P(3|90{\mathrm{e}}^3)$.

$\Rightarrow 90{\mathrm{e}}^3=\frac{1}{2}(3+2)(3\cdot 3+a{)}^2{\mathrm{e}}^3={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot (9+a^2)\cdot {\mathrm{e}}^3$

Der Koeffizientenvergleich liefert die Gleichung $90={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot (9+a^2)$.

$\Rightarrow 36=(9+a{)}^2\Rightarrow a_{\mathrm{1,2}}=-9\pm 6\Rightarrow a=-15\vee a=-3$

Für $a=-15$ oder $a=-3$ liegt der Punkt $P$ auf dem Graphen der Funktion $f_a$.

Berechne die Standardabweichung von $X$

Gegeben: Der Erwartungswert von $X$ ist $50$ und $n=100$.

Mit diesen Angaben kann zunächst $p$ berechnet werden:

$\mu =n\cdot p\Rightarrow p={\displaystyle \frac{\mu }{n}}={\displaystyle \frac{50}{100}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Für die Standardabweichung $\sigma$ gilt:

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{100\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}=\sqrt{25}=5$

Die Standardabweichung von $X$ist $\sigma =5$.

Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40\le X\le 60)$

Vorausgesetzt wird, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wegen $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ symmetrisch um den Erwartungswert liegt.

Mit dieser Annahme ist also $P(X\le 39)=P(X\ge 61)$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X\ge 61)$ beträgt etwa $2\%$, d.h. $P(X\le 39)$ beträgt somit auch $2\%$.

Andererseits ist $P(X\le 60)=1-P(X\ge 61)=1-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,98}$.

Somit ist dann: ⁣$P(40\le X\le 60)=P(X\le 60)-P(X\le 39)=\mathrm{0,98}-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,96}$.

Der zugehörige Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40\le X\le 60)$ ist $\mathrm{0,96}$.

Zeige, dass $p$ den Wert $\frac{1}{6}$ hat

Der Abbildung entnimmt man, dass $p+3p+2p=1$ ist$\Rightarrow 6p=1\Rightarrow p={\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Damit ist gezeigt, dass $p$ den Wert $\frac{1}{6}$ hat.

Berechne den Wert von $b$

Der Einsatz für die Teilnahme beträgt $3$ Euro.

Wenn sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen, muss $E(A)=3$ sein. Es ist $p={\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Dann folgt:

$E(A)={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot 0+{\displaystyle \frac{3}{6}}\cdot b+{\displaystyle \frac{2}{6}}\cdot 6=3\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{6}}\cdot b=1\Rightarrow b=2$

Der Wert von $b$ beträgt 2.

Beschreibe, wie das Gewinnspiel unter Verwendung eines Behälters sowie roter, grüner und blauer Kugel durchgeführt werden könnte

Entsprechend der angegebenen Wahrscheinlichkeiten werden in den Behälter $1$ grüne, $3$ rote und $2$ blaue Kugeln gelegt.

Dem Behälter wird zufällig eine Kugel entnommen und die Farbe betrachtet.

• Ist die Farbe der Kugel grün, dann erfolgt keine Gewinnauszahlung.

• Ist die Farbe der Kugel rot, dann werden $2€$ ausgezahlt.

• Ist die Farbe der Kugel blau, dann werden $6€$ ausgezahlt.