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A2

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  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben ist eine in R\mathbb{R} definierte Funktion f(x)=x4kx2f(x)=x^4-k\cdot x^2, wobei kk eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von ff.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    1. Zeigen Sie, dass f(x)=2x(2x2k)f'(x)=2x\cdot(2x^2-k) eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von ff ist. (1 P)

    2. Die beiden Tiefpunkte des Graphen von ff haben jeweils die y-Koordinate 1-1.

      Ermitteln Sie den Wert von kk. (4 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Funktion ff ist gegeben durch f(x)=x3+9x223x+15,xRf(x)=-x^3+9x^2-23x+15, x \in \mathbb{R}.

    Die Funktion FF ist eine Stammfunktion zur Funktion ff.

    Der Graph von ff ist in Abbildung 2 dargestellt.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    1. Interpretieren Sie die Aussage F(5)F(1)=0F(5)-F(1)=0 in Bezug auf den Graphen von ff.

      (2 P)

    2. Berechnen Sie 01f(x)  dx\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x. (3 P)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=(x2+2x)ex+4f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x+4} mit xRx \in \mathbb{R}.

    Der Graph von ff ist in Abbildung 3 dargestellt.

    Abbildung 3

    Abbildung 3

    1. Die Funktion ff besitzt genau zwei Extremstellen.

      Ermitteln Sie die beiden Extremstellen von ff.

      [[Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich.]] (3 P)

    2. Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von ff.

      [[Hinweis: Die Größe der yy-Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben.]] (2 P)

  4. 4

    Aufgabe 4

    Für jedes aRa \in \mathbb{R} ist durch die Gleichung fa(x)=12(x+2)(3x+a)2ex,xRf_{a}(x)=\frac{1}{2}(x+2)(3 x+a)^{2} \mathrm{e}^{x}, x \in \mathbb{R}, eine Funktion faf_{a} gegeben.

    In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion faf_{a} für a=0a=0 abgebildet.

     Abbildung 4

    Abbildung 4

    1. Es gibt genau einen Wert von aa, sodass die Funktion faf_{a} nur eine Nullstelle besitzt.

      Ermitteln Sie diesen Wert von aa. (2 P)

    2. Ermitteln Sie, für welche Werte von aa der Punkt P(390e3)P\left(3 \mid 90 \mathrm{e}^{3}\right) auf dem Graphen der Funktion faf_{a} liegt. (3 P)

  5. 5

    Aufgabe 5

    Die Zufallsgröße XX ist binomialverteilt mit den Parametern n=100n=100 und pp.

    Der Erwartungswert von XX ist 50.

    1. Berechnen Sie die Standardabweichung von XX. (3 P)

    2. Die Wahrscheinlichkeit P(X61)P(X \geq 61) beträgt etwa 2%2 \%.

      Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit P(40X60)P(40 \leq X \leq 60). (2 P)

  6. 6

    Aufgabe 6

    Bei einem Gewinnspiel beträgt der Einsatz für die Teilnahme 33 Euro. Die Auszahlung in Euro wird durch die Zufallsgröße AA beschrieben.

    Abbildung 5 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von AA.

    Abbildung 5

    Abbildung 5

    1. Zeigen Sie, dass pp den Wert 16\frac{1}{6} hat. (1 P)

    2. Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen.

      Berechnen Sie den Wert von bb. (2 P)

    3. Beschreiben Sie, wie das Gewinnspiel unter Verwendung eines Behälters sowie roter, grüner und blauer Kugel durchgeführt werden könnte. (2 P)


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