A3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Betrachtet werden die Ebene $E : x_{1} - x_{2} + x_{3} - 3 = 0$ und für $a \in ℝ$ die Gerade $g_{a} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{array})$ mit $s \in ℝ$ .

Bestimmen Sie, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Bestimme, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht
Wenn die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ stehen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{array})$ parallel zum Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ der Ebene sein, d.h. die beiden Vektoren sind Vielfache voneinander.
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
Gleichung $I$ und Gleichung $III$ liefern $r = 2$ .
Eingesetzt in Gleichung $II$ :
$\Rightarrow 1 + a = 2 \cdot (- 1) = - 2 \Rightarrow a = - 3$
Für $a = - 3$ steht die Gerade $g_{- 3}$ senkrecht zu $E$ .
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Wenn die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ stehen soll, dann muss der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden parallel zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene sein.
Löse die Gleichung $\vec{u} = r \cdot \vec{n}$ nach $a$ auf.
Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt
Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{array})$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ der Ebene sein, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss gleich null sein.
$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) = 0 \Rightarrow 2 \cdot 1 + (1 + a) \cdot (- 1) + 2 \cdot 1 = 0$
$\Rightarrow 4 = 1 + a \Rightarrow a = 3$
Zunächst ist nur gezeigt, dass für $a = 3$ die Gerade $g_{3}$ parallel zu $E$ ist.
Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, muss es einen Punkt $P \in g_{3}$ geben, der auch in $E$ liegt. Der Aufpunkt der Geraden $g_{3}$ sollte in $E$ liegen.
Setze $(1 | - 2 | 0)$ in $E : x_{1} - x_{2} + x_{3} - 3 = 0$ ein:
$1 - (- 2) + 0 - 3 = 0 \Rightarrow 3 - 3 = 0 ✓$
Die Gerade $g_{3}$ liegt demnach in der Ebene $E$ .
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Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene sein, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss gleich null sein $\Rightarrow a_{1}$ .
Damit ist gezeigt, dass für $a_{1}$ die Gerade $g_{a_{1}}$ parallel zu $E$ ist.
Wenn die Gerade $g_{a_{1}}$ in $E$ liegen soll, muss es einen Punkt $P \in g_{a_{1}}$ geben, der auch in $E$ liegt. Der Aufpunkt der Geraden $g_{a_{1}}$ sollte in $E$ liegen. Überprüfe!

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Bestimme, denjenigen Wert von a, für den die Gerade ga senkrecht zu E steht

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Untersuche, ob es einen Wert von a gibt, für den die Gerade ga in E liegt

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Bestimme, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht

Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt