1. Schritt

Teilt man die Mantelfläche in zwei gleich große Hälften, dann erhält man zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke.

Die Länge einer Kathete ist ${\displaystyle \frac{\overline{BC}}{2}}$.

Berechnung von $\overline{BC}$:

$\sin \left({\displaystyle \frac{\phi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}}{\overline{BS}}}$

$\sin \left({20}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}}{12}}|\cdot 12$

$\sin \left({20}^{\circ }\right)\cdot 12={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}|\cdot 2$

$2\cdot \sin \left({20}^{\circ }\right)\cdot 12=\overline{BC}$

$\overline{BC}=\mathrm{8,21}$

Die Länge der Strecke $\overline{BC}$ beträgt rund $\mathrm{8,21}\mathrm{cm}$.

2. Schritt

Die zweite Kathete ist die Höhe der Seitenfläche.

Höhe $h_S$ einer Seitenfläche berechnen:

Hypotenuse und eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks sind bekannt. Die Länge der anderen Kathete wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

$h_S^2+{\left({\displaystyle \frac{\overline{BC}}{2}}\right)}^2={\overline{BS}}^2$

$h_S^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2={12}^2|-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2$

$h_S^2={12}^2-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2|\sqrt{}$

$h_S=\sqrt{{12}^2-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2}$

$h_S=\mathrm{11,28}$

Die Höhe $h_S$ beträgt rund $\mathrm{11,28}\mathrm{cm}$.

3. Schritt

Zur Berechnung der Grundfläche der Pyramide benötigen wir die Länge von $h_a$ (s. Zeichnung)

Der Innenwinkel eines Kreises hat ${360}^{\circ }$. Da es sich bei der Grundfläche um ein regelmäßiges Fünfeck handelt, hat der eingezeichnete Winkel eine Größe von ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{10}}={36}^{\circ }$.

Es wird durch $10$ dividiert, da pro Seite des Fünfecks je $2$ Dreiecke existieren.

$h_a$ berechnen

$\tan {36}^{\circ }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}}{h_a}}$

$\tan {36}^{\circ }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}}{h_a}}|\cdot h_a$

$\tan {36}^{\circ }\cdot h_a={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}|:\tan {36}^{\circ }$

$h_a={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}}{\tan {36}^{\circ }}}$

$h_a=\mathrm{5,65}$

Die Höhe $h_a$ beträgt rund $\mathrm{5,65}\mathrm{cm}$.

4. Schritt

Höhe der Pyramide berechnen:

Die Höhe der Pyramide $h_{Pyr}$ ist die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse $h_S$ gegeben ist und dessen zweite Kathete $h_a$ berechnet wurde.

Die Höhe $h_{Pyr}$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

$h_{Pyr}^2+h_a^2=h_S^2$

$h_{Pyr}^2+{\mathrm{5,65}}^2={\mathrm{11,28}}^2|-{\mathrm{5,65}}^2$

$h_{Pyr}^2={\mathrm{11,28}}^2-{\mathrm{5,65}}^2|\sqrt{}$

$h_{Pyr}=\sqrt{{\mathrm{11,28}}^2-{\mathrm{5,65}}^2}$

$h_{Pyr}=\mathrm{9,76}$

Die Höhe $h_{Pyr}$ beträgt rund $\mathrm{9,76}\mathrm{cm}$.

5. Schritt

Volumen der Pyramide berechnen:

Das Volumen einer Pyramide mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ wird berechnet mit der Formel

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h$

Die Grundfläche der Pyramide besteht aus $5$ Dreiecken, die aus je zwei Ecken und dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide gebildet werden.

Die Fläche deines Dreiecks mit Seite $c$ und darauf stehender Höhe $h_c$ berechnet sich nach

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot c\cdot h_c$

Für die Pyramide ist dies

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}\cdot h_a$

Volumen der Pyramide

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (5\cdot A)\cdot h_{Pyr}$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}\cdot h_a)\cdot h_{Pyr}$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}\cdot \mathrm{5,65})\cdot \mathrm{9,76}$

$V\approx 377$

Das Volumen der Pyramide beträgt rund $377{\text{ cm}}^3$.