Pflichtteil A2

1. Schritt

Strecke $\overline{CF}$ berechnen:

Mithilfe der Sinus Funktion wird die Strecke $\overline{CF}$ berechnet.

$\sin \epsilon ={\displaystyle \frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}}$

$\sin {49}^{\circ }={\displaystyle \frac{\overline{CF}}{\mathrm{7,2}}}|\cdot \mathrm{7,2}$

$\sin {49}^{\circ }\cdot \mathrm{7,2}=\overline{CF}$

$\overline{CF}=\mathrm{5,43}$

Die Länge der Strecke $\overline{CF}$ beträgt rund $\mathrm{5,43}\mathrm{cm}$.

2. Schritt

${\phi }_2$ berechnen:

Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt ${180}^{\circ }$

${\phi }_2={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{49}^{\circ }={41}^{\circ }$

3. Schritt

${\phi }_3$ berechnen:

Mithilfe der Kosinus Funktion wird der Winkel ${\phi }_3$ berechnet.

$\cos {\phi }_3={\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\overline{CF}}}$

$\cos {\phi }_3={\displaystyle \frac{\mathrm{4,6}}{\mathrm{5,43}}}|\cos {}^{-1}$

${\phi }_3={\mathrm{32,1}}^{\circ }$

4. Schritt

${\phi }_1$ berechnen

Der Winkel $\angle DCB$ ist ein rechter Winkel und hat demnach ${90}^{\circ }$.

${\phi }_1={90}^{\circ }-{41}^{\circ }-{\mathrm{32,1}}^{\circ }={\mathrm{16,9}}^{\circ }$

5. Schritt

Strecke $\overline{CD}$ berechnen:

Mithilfe der Kosinus Funktion wird die Länge der Strecke $\overline{CD}$ berechnet.

Strecke $\overline{CD}$ berechnen:

$\cos {\phi }_1={\displaystyle \frac{\overline{CD}}{\overline{CE}}}$

$\cos {\mathrm{16,9}}^{\circ }={\displaystyle \frac{\overline{CD}}{\mathrm{7,2}}}|\cdot \mathrm{7,2}$

$\cos {\mathrm{16,9}}^{\circ }\cdot \mathrm{7,2}=\overline{CD}$

$\overline{CD}=\mathrm{6,89}$

Die Länge der Strecke $\overline{CD}$ beträgt rund $\mathrm{6,89}\mathrm{cm}$.

6. Schritt

Umfang des Vierecks $ABCD$ berechnen:

$U=2\cdot \overline{BC}+2\cdot \overline{CD}$

$U=2\cdot \mathrm{4,6}+2\cdot \mathrm{6,89}=\mathrm{22,98}\approx 23$

Der Umfang des Vierecks $ABCD$ beträgt rund $23\mathrm{cm}$.

1. Schritt

Teilt man die Mantelfläche in zwei gleich große Hälften, dann erhält man zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke.

Die Länge einer Kathete ist ${\displaystyle \frac{\overline{BC}}{2}}$.

Berechnung von $\overline{BC}$:

$\sin \left({\displaystyle \frac{\phi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}}{\overline{BS}}}$

$\sin \left({20}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}}{12}}|\cdot 12$

$\sin \left({20}^{\circ }\right)\cdot 12={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}|\cdot 2$

$2\cdot \sin \left({20}^{\circ }\right)\cdot 12=\overline{BC}$

$\overline{BC}=\mathrm{8,21}$

Die Länge der Strecke $\overline{BC}$ beträgt rund $\mathrm{8,21}\mathrm{cm}$.

2. Schritt

Die zweite Kathete ist die Höhe der Seitenfläche.

Höhe $h_S$ einer Seitenfläche berechnen:

Hypotenuse und eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks sind bekannt. Die Länge der anderen Kathete wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

$h_S^2+{\left({\displaystyle \frac{\overline{BC}}{2}}\right)}^2={\overline{BS}}^2$

$h_S^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2={12}^2|-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2$

$h_S^2={12}^2-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2|\sqrt{}$

$h_S=\sqrt{{12}^2-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2}$

$h_S=\mathrm{11,28}$

Die Höhe $h_S$ beträgt rund $\mathrm{11,28}\mathrm{cm}$.

3. Schritt

Zur Berechnung der Grundfläche der Pyramide benötigen wir die Länge von $h_a$ (s. Zeichnung)

Der Innenwinkel eines Kreises hat ${360}^{\circ }$. Da es sich bei der Grundfläche um ein regelmäßiges Fünfeck handelt, hat der eingezeichnete Winkel eine Größe von ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{10}}={36}^{\circ }$.

Es wird durch $10$ dividiert, da pro Seite des Fünfecks je $2$ Dreiecke existieren.

$h_a$ berechnen

$\tan {36}^{\circ }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}}{h_a}}$

$\tan {36}^{\circ }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}}{h_a}}|\cdot h_a$

$\tan {36}^{\circ }\cdot h_a={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}|:\tan {36}^{\circ }$

$h_a={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}}{\tan {36}^{\circ }}}$

$h_a=\mathrm{5,65}$

Die Höhe $h_a$ beträgt rund $\mathrm{5,65}\mathrm{cm}$.

4. Schritt

Höhe der Pyramide berechnen:

Die Höhe der Pyramide $h_{Pyr}$ ist die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse $h_S$ gegeben ist und dessen zweite Kathete $h_a$ berechnet wurde.

Die Höhe $h_{Pyr}$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

$h_{Pyr}^2+h_a^2=h_S^2$

$h_{Pyr}^2+{\mathrm{5,65}}^2={\mathrm{11,28}}^2|-{\mathrm{5,65}}^2$

$h_{Pyr}^2={\mathrm{11,28}}^2-{\mathrm{5,65}}^2|\sqrt{}$

$h_{Pyr}=\sqrt{{\mathrm{11,28}}^2-{\mathrm{5,65}}^2}$

$h_{Pyr}=\mathrm{9,76}$

Die Höhe $h_{Pyr}$ beträgt rund $\mathrm{9,76}\mathrm{cm}$.

5. Schritt

Volumen der Pyramide berechnen:

Das Volumen einer Pyramide mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ wird berechnet mit der Formel

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h$

Die Grundfläche der Pyramide besteht aus $5$ Dreiecken, die aus je zwei Ecken und dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide gebildet werden.

Die Fläche deines Dreiecks mit Seite $c$ und darauf stehender Höhe $h_c$ berechnet sich nach

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot c\cdot h_c$

Für die Pyramide ist dies

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}\cdot h_a$

Volumen der Pyramide

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (5\cdot A)\cdot h_{Pyr}$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}\cdot h_a)\cdot h_{Pyr}$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}\cdot \mathrm{5,65})\cdot \mathrm{9,76}$

$V\approx 377$

Das Volumen der Pyramide beträgt rund $377{\text{ cm}}^3$.

Zuordnen der Graphen zu den Funktionsgleichungen.

Bestimmen des Wertes für $\text{𝐞}$ mithilfe des Schaubildes.

$\mathrm{y}=(\mathrm{x}-3{)}^2+\mathrm{e}$

Einsetzen der 1. Nullstelle in die Funktionsgleichung und berechnen von $\text{𝐞}$.

$0=(1-3{)}^2+\mathrm{e}$

$0=(-2{)}^2+\mathrm{e}$

$0=4+\mathrm{e}\Rightarrow \text{e}=-4$

Bestimmen der Funktionsgleichung der Geraden $\text{g}$.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}$

Einsetzen der bekannten Punkte (siehe Aufgabenstellung) in die allgemeine Geradengleichung und berechnen von $\mathrm{m}$ und $\mathrm{t}$.

$(\mathrm{I}.)2=\mathrm{m}\cdot 0+\mathrm{t}\Rightarrow \mathrm{t}=2$

$(\mathrm{I}\mathrm{I}.)-4=\mathrm{m}\cdot 3+\mathrm{t}$

$(\mathrm{I}.)\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{I}\mathrm{I}.)-4=3\mathrm{m}+2\Rightarrow \mathrm{m}=-2$

Die Funktionsgleichung der Geraden $\text{g}$ lautet dann:

$\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+2$

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass auf den beiden gezogenen Sammelbildern portugiesische Spieler abgebildet sind.

Im Schuhkarton befinden sich $20$ Sammelbilder, auf $5$ Sammelbildern sind portugiesische Spieler abgebildet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass auf den beiden gezogenen Bildern portugiesische Spieler abgebildet sind ist dann:

(siehe Baumdiagramm)

$\text{P}\left(\text{pSp}.\right)={\displaystyle \frac{5}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{19}}={\displaystyle \frac{20}{380}}\approx \mathrm{5,26}\%$

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass auf den beiden gezogenen Sammelbildern höchstens ein deutscher Spieler abgebildet ist.

Im Schuhkarton befinden sich $20$ Sammelbilder, auf $6$ Sammelbildern sind deutsche Spieler abgebildet.

Berechne die Gegenwahrscheinlichkeit, nämlich, dass auf den beiden gezogenen Bildern deutsche Spieler abgebildet sind.

$\text{P}\left(\overline{\text{ dSp.}}\right)={\displaystyle \frac{6}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{19}}={\displaystyle \frac{30}{380}}\approx \mathrm{7,89}\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass auf den beiden gezogenen Bildern höchstens ein deutscher Spieler abgebildet ist, ist dann:

(siehe Baumdiagramm)

$\mathrm{P}(\mathrm{d}\mathrm{S}\mathrm{p}.)=1-\mathrm{P}(\overline{\mathrm{d}\mathrm{S}\mathrm{p}.})=1-{\displaystyle \frac{30}{380}}={\displaystyle \frac{350}{380}}\approx \mathrm{92,1}\%$

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass auf den beiden gezogenen Sammelbildern kein französischer Spieler abgebildet ist

Im Schuhkarton befinden sich $20$ Sammelbilder, auf $9$ Sammelbildern sind französische Spieler abgebildet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass auf den beiden gezogenen Bildern kein französischer Spieler abgebildet ist, ist dann:

(siehe Baumdiagramm)

$\text{P}\left(\text{fSp}.\right)={\displaystyle \frac{6}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{19}}+{\displaystyle \frac{6}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{19}}+{\displaystyle \frac{5}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{19}}+{\displaystyle \frac{5}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{19}}={\displaystyle \frac{30+30+30+20}{380}}={\displaystyle \frac{110}{380}}$

$\text{P}\left(\text{fSp}.\right)\approx \mathrm{28,95}\%$

Lösen der Gleichung mit der Mitternachtsformel.

Die Mitternachtsformel lautet:

${\mathrm{x}}_{1/2}={\displaystyle \frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}}$

Lösungsmenge der quadratischen Gleichung: $𝕃=\{3;6\}$

Zuwachs der Nutzer von 2020 bis 2022 berechnen

Der Zuwachs wird mithilfe eines Dreisatzes berechnet.

Der Zuwachs beträgt $\mathrm{123,5}\%-100\%=\mathrm{23,5}\%$.

Säule einzeichnen

Nutzerzahl im Jahr 2023

$420000\cdot \mathrm{1,191}=500220$

Prozentualen Anteil der Mädchen berechnen

Anzahl der 10- bis 19-jährigen Nutzer

$420000\cdot \mathrm{0,25}=105000$

Anteil der Mädchen

${\displaystyle \frac{47500}{105000}}\approx \mathrm{0,452}=\mathrm{45,2}\%$