1. Schritt

Teilt man die Mantelfläche in zwei gleich große Hälften, dann erhält man zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke.

Die Länge einer Kathete ist ${\displaystyle \frac{\overline{BC}}{2}}\backslash dfrac\{\backslash overline\{BC\}\}\{2\}$.

Berechnung von $\overline{BC}\backslash overline\{BC\}$:

$\sin \left({\displaystyle \frac{\phi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}}{\overline{BS}}}\backslash sin\{\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash right)\}=\backslash dfrac\{\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash overline\{BC\}\}\{\backslash overline\{BS\}\}$

$\sin \left({20}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}}{12}}\mathrm{\mid }\cdot 12\backslash sin\{\backslash left(20^\backslash circ\backslash right)\}=\backslash dfrac\{\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash overline\{BC\}\}\{12\}\backslash quad|\; \backslash text\{\backslash footnotesize\backslash \; \$\backslash cdot12\$\}$

$\sin \left({20}^{\circ }\right)\cdot 12={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}\mathrm{\mid }\cdot 2\backslash sin\{\backslash left(20^\backslash circ\backslash right)\}\backslash cdot\; 12=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash overline\{BC\}\backslash quad\; |\; \backslash text\{\backslash footnotesize\backslash \; \$\backslash cdot\; 2\$\}$

$2\cdot \sin \left({20}^{\circ }\right)\cdot 12=\overline{BC}2\backslash cdot\; \backslash sin\{\backslash left(20^\backslash circ\backslash right)\}\backslash cdot\; 12=\backslash overline\{BC\}$

$\overline{BC}=\mathrm{8,21}\backslash overline\{BC\}=8\{,\}21$

Die Länge der Strecke $\overline{BC}\backslash overline\{BC\}$ beträgt rund $\mathrm{8,21}\mathrm{c}\mathrm{m}8\{,\}21\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$.

2. Schritt

Die zweite Kathete ist die Höhe der Seitenfläche.

Höhe $h_{S}h\_S$ einer Seitenfläche berechnen:

Hypotenuse und eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks sind bekannt. Die Länge der anderen Kathete wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

$h_S^2+{\left({\displaystyle \frac{\overline{BC}}{2}}\right)}^2={\overline{BS}}^{2}h\_\{S\}^2+\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash overline\{BC\}\}\{2\}\backslash right)^2=\backslash overline\{BS\}^2$

$h_S^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2={12}^2\mathrm{\mid }-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^{2}h\_\{S\}^2+\backslash left(\backslash dfrac\{8\{,\}21\}\{2\}\backslash right)^2=12^2\backslash quad\; |\backslash text\{\backslash footnotesize\backslash \; \$-\backslash left(\backslash dfrac\{8\{,\}21\}\{2\}\backslash right)^2\$\}$

$h_S^2={12}^2-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2\mathrm{\mid }\sqrt{}h\_\{S\}^2=12^2-\backslash left(\backslash dfrac\{8\{,\}21\}\{2\}\backslash right)^2\; \backslash quad\; |\backslash text\{\backslash footnotesize\backslash \; \$\backslash sqrt\{\}\$\}$

$h_S=\sqrt{{12}^2-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,21}}{2}}\right)}^2}h\_\{S\}=\backslash sqrt\{12^2-\backslash left(\backslash dfrac\{8\{,\}21\}\{2\}\backslash right)^2\}$

$h_S=\mathrm{11,28}h\_\{S\}=11\{,\}28$

Die Höhe $h_{S}h\_S$ beträgt rund $\mathrm{11,28}\mathrm{c}\mathrm{m}11\{,\}28\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$.

3. Schritt

Zur Berechnung der Grundfläche der Pyramide benötigen wir die Länge von $h_{a}h\_a$ (s. Zeichnung)

Der Innenwinkel eines Kreises hat ${360}^{\circ }360^\backslash circ$. Da es sich bei der Grundfläche um ein regelmäßiges Fünfeck handelt, hat der eingezeichnete Winkel eine Größe von ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{10}}={36}^{\circ }\backslash dfrac\{360^\backslash circ\}\{10\}=36^\backslash circ$.

Es wird durch $1010$ dividiert, da pro Seite des Fünfecks je $22$ Dreiecke existieren.

$h_{a}h\_a$ berechnen

$\tan {36}^{\circ }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}}{h_a}}\backslash tan\{36^\backslash circ\}=\backslash dfrac\{\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash overline\{BC\}\}\{h\_a\}$

$\tan {36}^{\circ }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}}{h_a}}\mathrm{\mid }\cdot h_a\backslash tan\{36^\backslash circ\}=\backslash dfrac\{\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 8\{,\}21\}\{h\_a\}\; \backslash quad\; |\; \backslash text\{\backslash footnotesize\backslash \; \$\backslash cdot\; h\_a\$\}$

$\tan {36}^{\circ }\cdot h_a={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}\mathrm{\mid }:\tan {36}^{\circ }\backslash tan\{36^\backslash circ\}\backslash cdot\; h\_a=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 8\{,\}21\; \backslash quad\; |\; \backslash text\{\backslash footnotesize\backslash \; \$:\backslash tan\{36^\backslash circ\}\$\}$

$h_a={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}}{\tan {36}^{\circ }}}h\_a=\backslash dfrac\{\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 8\{,\}21\}\{\backslash tan\{36^\backslash circ\}\}$

$h_a=\mathrm{5,65}h\_a=5\{,\}65$

Die Höhe $h_{a}h\_a$ beträgt rund $\mathrm{5,65}\mathrm{c}\mathrm{m}5\{,\}65\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$.

4. Schritt

Höhe der Pyramide berechnen:

Die Höhe der Pyramide $h_{Pyr}h\_\{Pyr\}$ ist die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse $h_{S}h\_S$ gegeben ist und dessen zweite Kathete $h_{a}h\_a$ berechnet wurde.

Die Höhe $h_{Pyr}h\_\{Pyr\}$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

$h_{Pyr}^2+h_a^2=h_S^{2}h\_\{Pyr\}^2+h\_\{a\}^2=h\_\{S\}^2$

$h_{Pyr}^2+{\mathrm{5,65}}^2={\mathrm{11,28}}^2\mathrm{\mid }-{\mathrm{5,65}}^{2}h\_\{Pyr\}^2+5\{,\}65^2=11\{,\}28^2\; \backslash quad\; |\; \backslash text\{\backslash footnotesize\backslash \; \$-5\{,\}65^2\$\}$

$h_{Pyr}^2={\mathrm{11,28}}^2-{\mathrm{5,65}}^2\mathrm{\mid }\sqrt{}h\_\{Pyr\}^2=11\{,\}28^2-5\{,\}65^2\; \backslash quad\; |\; \backslash text\{\backslash footnotesize\backslash \; \$\backslash sqrt\{\}\$\}$

$h_{Pyr}=\sqrt{{\mathrm{11,28}}^2-{\mathrm{5,65}}^2}h\_\{Pyr\}=\backslash sqrt\{11\{,\}28^2-5\{,\}65^2\}$

$h_{Pyr}=\mathrm{9,76}h\_\{Pyr\}=9\{,\}76$

Die Höhe $h_{Pyr}h\_\{Pyr\}$ beträgt rund $\mathrm{9,76}\mathrm{c}\mathrm{m}9\{,\}76\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$.

5. Schritt

Volumen der Pyramide berechnen:

Das Volumen einer Pyramide mit Grundfläche $GG$ und Höhe $hh$ wird berechnet mit der Formel

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot hV=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; G\; \backslash cdot\; h$

Die Grundfläche der Pyramide besteht aus $55$ Dreiecken, die aus je zwei Ecken und dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide gebildet werden.

Die Fläche deines Dreiecks mit Seite $cc$ und darauf stehender Höhe $h_{c}h\_c$ berechnet sich nach

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot c\cdot h_{c}A=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; c\; \backslash cdot\; h\_c$

Für die Pyramide ist dies

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}\cdot h_{a}A=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash overline\{BC\}\; \backslash cdot\; h\_a$

Volumen der Pyramide

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (5\cdot A)\cdot h_{Pyr}V=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash left(5\; \backslash cdot\; A\backslash right)\backslash cdot\; h\_\{Pyr\}$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}\cdot h_a)\cdot h_{Pyr}V=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash left(5\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash overline\{BC\}\backslash cdot\; h\_a\backslash right)\backslash cdot\; h\_\{Pyr\}$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,21}\cdot \mathrm{5,65})\cdot \mathrm{9,76}V=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash left(5\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 8\{,\}21\backslash cdot\; 5\{,\}65\backslash right)\backslash cdot\; 9\{,\}76$

$V\approx 377V\backslash approx377$

Das Volumen der Pyramide beträgt rund $377{\text{ cm}}^{3}377\backslash cm^3$.