Wahrscheinlichkeit "zweimal Muschel"

Insgesamt befinden sich $5\text{\hspace{0.17em}Fische}+3\text{\hspace{0.17em}Seesterne}+2\text{\hspace{0.17em}Muscheln}=10\text{\hspace{0.17em}Gegenstände}$ in dem Gefäß.

Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine Muschel zu ziehen, beträgt:

$P\left(\text{1. Zug Muschel}\right)={\displaystyle \frac{2}{10}}$

Die Muschel wird nicht zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine Muschel zu ziehen, beträgt:

$P\left(\text{2. Zug Muschel}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}$

Die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine Muschel zu ziehen, ist dann:

$P\left(zweimalMuschel\right)={\displaystyle \frac{2}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{2}{90}}={\displaystyle \frac{1}{35}}\approx \mathrm{2,22}\%$

Erwartungswert

$P\left(zweimalMuschel\right)={\displaystyle \frac{1}{45}}$

$P\left(zweimalSeestern\right)={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{6}{90}}={\displaystyle \frac{1}{15}}$

Das Ereignis "Muschel und Seestern" tritt ein, wenn im ersten Zug eine Muschel und im zweiten Zug ein Seestern oder im ersten Zug ein Seestern und im zweiten Zug eine Muschel gezogen wird.

$P\left(MuschelundSeestern\right)={\displaystyle \frac{2}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{9}}+{\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{12}{90}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$

Der Erwartungswert $E$ des Spiels berechnet sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ereignisse multipliziert mit dem Gewinn abzüglich des Einsatzes.

$E={\displaystyle \frac{1}{45}}\cdot 9+{\displaystyle \frac{1}{15}}\cdot 4+{\displaystyle \frac{2}{15}}\cdot \mathrm{2,5}-1=-\mathrm{0,2}$

Gewinn für "zweimal Muschel" bei fairem Gewinnplan

Das Spiel ist fair bei einem Erwartungswert von $0$.

Neuen Gewinn $x$ für "zweimal Muschel" berechnen.

Für ein faires Spiel muss der Gewinn für "zweimal Muschel" $18$ € betragen.

Funktionsgleichung angeben

Die Parabel hat den Scheitelpunkt $S\left(0|12\right)$.

Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in die Funktionsgleichung

$y=a\cdot x^2+c$

$12=a\cdot 0+c$

$12=c$

Da die Halle am Boden eine Breite von $40\text{ m}$ hat, kommt sie im Punkt $P\left(20|0\right)$ auf dem Boden auf. Dieser Punkt liegt auch auf der Parabel.

Einsetzen der Koordinaten des Punktes $P$ in die Funktionsgleichung

$y=a\cdot x^2+c$

$0=a\cdot {20}^2+12$

$0=a\cdot 400+12$

$-12=a\cdot 400$

$-\mathrm{0,03}=a$

Eine mögliche Funktionsgleichung lautet:

$y=-\mathrm{0,03}\cdot x^2+12$

Flächeninhalt der Fensterfläche

Vorschlag 1

Die Fensterfläche ist $10\text{ m}$ hoch. Damit können die Eckpunkte der Fensterfläche auf dem Parabelbogen berechnet werden.

Die Fensterfläche hat eine Höhe von $10\text{ m}$ und eine Breite von $2\cdot \mathrm{8,17}=\mathrm{16,34}\text{ m}$.

Der Flächeninhalt $A_1$beträgt $10\cdot \mathrm{16,34}=\mathrm{163,40}{\text{ m}}^2$.

Vorschlag 2

Größtmögliche Höhe berechnen

Da das Fenster eine Breite von $10\text{ m}$ haben soll, muss der Funktionswert an der Stelle $x=5$ berechnet werden.

$y=-\mathrm{0,03}\cdot 5^2+12=\mathrm{11,25}$

Die Fensterfläche kann maximal $\mathrm{11,25}\text{ m}$ hoch sein.

Der Flächeninhalt $A_2$ beträgt $10\cdot \mathrm{11,25}=\mathrm{112,50}{\text{ m}}^2$.

Vergleich der Flächen

$A_2=\mathrm{112,5}<A_1=\mathrm{163,4}$

Die Fensterfläche von Vorschlag 1 ist größer.