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Wahlteil B

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  1. 1

    1. Im Rechteck ABCDA B C D liegt das Drachenviereck EGCFE G C F.

      Bild

      Es gilt:

      AB=9,4 cmBE=5,6 cmε=20,0\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \overline{A B} & =9{,}4 \mathrm{~cm} \\ \overline{B E} & =5{,}6 \mathrm{~cm} \\ \varepsilon & =20{,}0^{\circ} \end{aligned}

      Berechne den Winkel φ\varphi. Berechne den Umfang des Vierecks AEFDA E F D.

      [5 Pkte]

    2. Die Parabeln p1p_{1} und p2p_{2} sind zwei nach oben geöffnete verschobene Normalparabeln. Die Parabel p1p_{1} hat den Scheitelpunkt S1(11)S_{1}(1 \mid 1). Die Parabel p2p_{2} schneidet die xx-Achse in den Punkten N1(60)N_{1}(-6 \mid 0) und N2(20)N_{2}(-2 \mid 0). Bestimme die Funktionsgleichungen von p1p_{1} und p2p_{2}.

      Die Gerade gg verläuft durch den Scheitelpunkt S1S_{1} und den Punkt A(21)A(2 \mid-1). Berechne die Funktionsgleichung von gg.

      Der Punkt S2S_{2} ist der Scheitelpunkt der Parabel p2p_{2}. Berechne die Entfernung zwischen S1S_{1} und S2S_{2}.

      Milo behauptet: „Die Parabeln p1p_{1} und p2p_{2} sowie die Gerade gg schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt."

      Überprüfe diese Behauptung. Begründe deine Antwort rechnerisch.

      [5 Pkte]

  2. 2

    1. Die Gerade gg hat die Funktionsgleichung y=x3y=-x-3.

      Sie schneidet die xx-Achse im Punkt AA und die yy-Achse im Punkt BB. Bestimme die Koordinaten der Punkte AA und BB.

      Durch die Punkte AA und BB verläuft die nach oben geöffnete verschobene Normalparabel pp. Berechne die Funktionsgleichung der Parabel pp und die Koordinaten ihres Scheitelpunktes SS.

      Die beiden Punkte P(xP12)P\left(x_{P} \mid 12\right) und Q(xQ12)Q\left(x_{Q} \mid 12\right) liegen auf der Parabel pp. Sie bilden zusammen mit dem Scheitelpunkt SS das Dreieck PSQP S Q. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PSQP S Q.

      [5 Pkte]

    2. Die Abbildung zeigt den Achsenschnitt eines zusammengesetzten Körpers und den Parallelschnitt einer quadratischen Pyramide.

      Der zusammengesetzte Körper besteht aus einer Halbkugel und einem Kegel.

      Bild

      Es gilt:

      s=14,4 cmδ=42,0hges=hPyr\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} s & =14{,}4 \mathrm{~cm} \\ \delta & =42{,}0^{\circ} \\ h_{\mathrm{ges}} & =h_{\mathrm{Pyr}} \end{aligned}

      Der Durchmesser dd des zusammengesetzten Körpers ist genauso lang wie die Grundkante aa der quadratischen Pyramide.

      Berechne die Differenz der Oberflächeninhalte der beiden Körper.

      [5 Pkte]

  3. 3

    1. Beim Schulfest bietet die Klasse 10a ein Angelspiel an. Dabei dürfen die Spieler zweimal nacheinander einen Gegenstand aus einem Gefäß angeln. Die Gegenstände werden nicht zurückgelegt. In dem Gefäß liegen fünf Fische, drei Seesterne und zwei Muscheln.

      Bild

      Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „zweimal Muschel".

      Für ein Glücksspiel wird der gegebene Gewinnplan eingesetzt.

      Ereignis

      Gewinn

      zweimal Muschel

      9,009{,}00

      zweimal Seestern

      4,004{,}00

      Muschel und Seestern

      2,502{,}50

      Einsatz

      1,001{,}00

      Berechne den Erwartungswert.

      Der Gewinnplan soll so verändert werden, dass das Spiel fair wird. Dazu soll der Gewinn von „zweimal Muschel" verändert werden, während alles andere unverändert bleibt.

      Wie hoch muss der Gewinn für „zweimal Muschel" sein?

      [5 Pkte]

    2. Die Vorderseite einer Tennishalle hat annähernd die Form einer Parabel.

      Sie lässt sich mit der Funktionsgleichung y=ax2+cy=a x^{2}+c beschreiben.

      Bild

      Die maximale Höhe der Halle beträgt 12 m12\m . Die Halle hat am Boden eine Breite von 40 m40\m .

      Gib eine mögliche Funktionsgleichung an.

      In die Vorderseite der Tennishalle soll eine rechteckige Fensterfläche mittig eingebaut werden. Dazu werden zwei Vorschläge geprüft.

      Vorschlag 1:

      Die Fensterfläche soll eine Höhe von 10 m10\m haben.

      Die beiden oberen Eckpunkte berühren den Parabelbogen (siehe Abbildung).

      Berechne den Flächeninhalt dieser Fensterfläche.

      Vorschlag 2:

      Die Fensterfläche soll eine Breite von 10 m10\m haben.

      Berechne die größtmögliche Höhe dieser Fensterfläche.

      Welche der beiden Fensterflächen ist größer? Berechne.

      [5 Pkte]


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