Wahlteil B

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1
Land Baden-Württemberg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
1. Im Rechteck $A B C D$ liegt das Drachenviereck $E G C F$ .
  Es gilt:
  $\begin{aligned} A B & = 9,4 c m \\ B E & = 5,6 c m \\ ε & = {20,0}^{\circ} \end{aligned}$
  Berechne den Winkel $φ$ . Berechne den Umfang des Vierecks $A E F D$ .
  [5 Pkte]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Berechnen des Winkels $φ$ .
  Berechnen von $α$ :
  $\begin{array}{l} α = 90 ° - ϵ \\ α = 90 ° - 20 ° \\ α = 70 ° \end{array}$
  Berechnen von $β$ :
  $\begin{array}{l} β = 180 ° - α \\ β = 180 ° - 70 ° \\ β = 110 ° \end{array}$
  $β = γ$ wegen Achsensymmetrie des Drachenvierecks.
  Der Winkel $φ$ ist dann:
  $\begin{array}{l} φ = 180 ° - 110 ° \\ φ = 70 ° \end{array}$
  Berechnen des Umfangs des Vierecks $AEFD$ .
  Umfang des Vierecks $AEFD$ :
  $U_{A E F D} = A E + E F + F H + D H + A D$
  $\begin{array}{l} A E = A B - B E \\ A E = 9,4 - 5,6 \\ A E = 3,8 cm \end{array}$
  $E G = E F$ und $B E = E H$ wegen Achsensymmetrie des Drachenvierecks.
  Wir berechnen $E G$ mithilfe des Kosinus.
  $\cos ϵ = \frac{B E}{E G} \Rightarrow E G = \frac{B E}{\cos ϵ}$
  $E G = \frac{5,6}{c o s 20 °}$
  $E G = \frac{5,6}{0,9397}$
  $E G = 5,96 cm$
  Jetzt müssen wir noch $F H$ berechnen, dann können wir den Umfang
  des Vierecks $AEFD$ berechnen.
  Wir berechnen $F H$ mithilfe des Tangens.
  $\cos φ = \frac{F H}{E F} \Rightarrow F H = E F \cdot \cos φ$
  $F H = 5,96 \cdot \cos 70 °$
  $F H = 5,96 \cdot 0,3420$
  $F H \approx 2,04 cm$
  $U_{A E F D} = 3,8 + 5,96 + 2,04 + 3,8 + 5,6$
  $U_{A E F D} = 21,2 cm$
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  Berechne den Winkel $α$ .
  Berechne den Winkel $β$ .
  Berechne den Winkel $γ$ .
  Berechne den Winkel $φ$ .
  Berechne den Umfang des Vierecks $AEFD$ .
2. Die Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ sind zwei nach oben geöffnete verschobene Normalparabeln. Die Parabel $p_{1}$ hat den Scheitelpunkt $S_{1} (1 | 1)$ . Die Parabel $p_{2}$ schneidet die $x$ -Achse in den Punkten $N_{1} (- 6 | 0)$ und $N_{2} (- 2 | 0)$ . Bestimme die Funktionsgleichungen von $p_{1}$ und $p_{2}$ .
  Die Gerade $g$ verläuft durch den Scheitelpunkt $S_{1}$ und den Punkt $A (2 | - 1)$ . Berechne die Funktionsgleichung von $g$ .
  Der Punkt $S_{2}$ ist der Scheitelpunkt der Parabel $p_{2}$ . Berechne die Entfernung zwischen $S_{1}$ und $S_{2}$ .
  Milo behauptet: „Die Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ sowie die Gerade $g$ schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt."
  Überprüfe diese Behauptung. Begründe deine Antwort rechnerisch.
  [5 Pkte]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen - Parabeln
  Bestimmen der Funktionsgleichungen von $p_{1}$ und $p_{2}$ .
  Bestimmen der Funktionsgleichung von $p_{1}$ .
  Die allgemeine Scheitelform lautet:
  $f (x) = a (x - d)^{2} + e$
  Folgende Werte sind aus der Aufgabenstellung bekannt:
  $d = 1$
  $e = 1$
  $a = 1$ (da es sich hier um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt)
  Einsetzen der bekannten Werte in die allgemeine Scheitelform:
  $p_{1} (x) = (x - 1)^{2} + 1$ ausmultiplizieren
  $p_{1} (x) = x^{2} - 2 x + 2$
  Bestimmen der Funktionsgleichng von $p_{2}$ .
  Die allgemeine Linearfaktordarstellung lautet:
  $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
  Folgende Werte sind aus der Aufgabenstellung bekannt:
  $x_{1} = - 6$
  $x_{2} = - 2$
  $a = 1$ (da es sich hier um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt)
  Einsetzen der bekannten Werte in die allgemeine Linearfaktordarstellung:
  $p_{2} (x) = (x + 6) (x + 2)$ ausmultiplizieren
  $p_{2} (x) = x^{2} + 8 x + 12$
  Berechnen der Funktionsgleichung von $g$ .
  Die allgemeine Geradengleichung lautet:
  $y = m \cdot x + t$
  Folgende Werte sind aus der Aufgabenstellung bekannt:
  $A (2 | - 1)$
  $S_{1} (1 | 1)$
  Wir berechnen die Steigung $m$ .
  Die Formel zur Berechnung der Steigung $m$ lautet:
  $m = \frac{y_{Δ}}{x_{Δ}} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
  Einstezen der bekannten Werte in die Formel:
  $m = \frac{1 - (- 1)}{1 - 2} \Rightarrow m = - 2$
  Berechnen von $t$ .
  $1 = - 2 + t \Rightarrow t = 3$
  Die Funktionsgleichung von $g$ lautet dann:
  $g : y = - 2 x + 3$
  Berechnen der Entfernung zwischen $S_{1}$ und $S_{2}$ .
  Ermitteln des Scheitelpunktes der Parabel $p_{2}$ .
  Berechnen des Scheitelpunktes mit der Formel:
  $S (- \frac{b}{2 \cdot a} | c - \frac{b^{2}}{4 \cdot a})$
  Folgende Werte sind bekannt $($ siehe Funktionsgleichung $p_{2} (x)$ $)$ :
  $a = 1$
  $b = 8$
  $c = 12$
  Einsetzen der Werte in die Formel:
  $S_{2} (- \frac{8}{2 \cdot 1} | 12 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1})$
  $S_{2} (- \frac{8}{2} | 12 - \frac{64}{4})$
  $S_{2} (- 4 | - 4)$
  Berechnen des Abstandes $a$ mit dem Satz des Pythagoras:
  $a^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
  $a = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
  $a = \sqrt{(- 4 - 1)^{2} + (- 4 - 1)^{2}}$
  $a = \sqrt{50}$
  $a \approx 7,07 L E$
  Überprüfen von Milas Behauptung.
  x
  $- 2$
  $- 1$
  $0$
  $1$
  $2$
  $p_{1}$
  $10$
  $5$
  $2$
  $1$
  $2$
  $p_{2}$
  $0$
  $5$
  $12$
  $21$
  $32$
  $g$
  $7$
  $5$
  $3$
  $1$
  $- 1$
  Milo hat Recht, die Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ sowie die Gerade $g$ haben einen gemeinsamen Schnittpunkt $P_{g e m .}$ mit den Koordinaten $P_{g e m .} (- 1 | 5)$ .
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  Stelle die Scheitelform von $p_{1}$ auf.
  Multipliziere die Scheitelform aus.
  Bestimme die Funktionsgleichung von $p_{2}$ , setze die Nullstellen $N_{1}$ und $N_{2}$ in die Linearfaktordarstellung ein und multipliziere aus.
  Ermittle die Geradengleichung, indem Du die Koordinaten der Punkte $S_{2}$ und $A$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  Berechne die Entfernung zwischen $S_{1}$ und $S_{2}$ . Wende den Satz des Pythagoras an.
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Land Baden-Württemberg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
1. Die Gerade $g$ hat die Funktionsgleichung $y = - x - 3$ .
  Sie schneidet die $x$ -Achse im Punkt $A$ und die $y$ -Achse im Punkt $B$ . Bestimme die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ .
  Durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft die nach oben geöffnete verschobene Normalparabel $p$ . Berechne die Funktionsgleichung der Parabel $p$ und die Koordinaten ihres Scheitelpunktes $S$ .
  Die beiden Punkte $P (x_{P} | 12)$ und $Q (x_{Q} | 12)$ liegen auf der Parabel $p$ . Sie bilden zusammen mit dem Scheitelpunkt $S$ das Dreieck $P S Q$ . Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $P S Q$ .
  [5 Pkte]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Koordinaten bestimmen
  Schnittpunkt mit der x-Achse bestimmen durch Einsetzen von $y = 0$
  $y$ $=$ $- x - 3$
  ↓
  Einsetzen von $y = 0$
  $0$ $=$ $- x - 3$ $+ x$
  $x$ $=$ $- 3$
  Punkt $A$ hat die Koordinate $A (- 3 | 0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen durch Einsetzen von $x = 0$
  $y$ $=$ $- x - 3$
  ↓
  Einsetzen von $x = 0$
  $y$ $=$ $- 0 - 3$
  $y$ $=$ $- 3$
  Punkt $B$ hat die Koordinate $B (0 | - 3)$ .
  Funktionsgleichung und Scheitelpunkt
  Die verschobene Normalparabel hat die Form $y = x^{2} + a x + c$
  Einsetzen der Koordinaten des Punkts $B (0 | - 3)$
  $\begin{array}{l} - 3 = 0^{2} + a \cdot 0 + c \\ - 3 = c \end{array}$
  Einsetzen der Koordinate des Punkts $A (- 3 | 0)$
  $0$ $=$ $(- 3)^{2} + a \cdot (- 3) - 3$
  $0$ $=$ $9 - 3 a - 3$
  $0$ $=$ $6 - 3 a$ $+ 3 a$
  $3 a$ $=$ $6$ $: 3$
  $a$ $=$ $2$
  Die Funktionsgleichung lautet somit
  $y = x^{2} + 2 x - 3$
  Umformen der Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform
  $\begin{array}{l} y = x^{2} + 2 x - 3 \\ y = x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3 \\ y = {(x + 1)}^{2} - 4 \end{array}$
  Daraus lässt sich der Scheitelpunkt $S (- 1 | - 4)$ ablesen.
  Flächeninhalt des Dreiecks
  Anhand der Skizze kann man die Länge der Grundseite $g = 8$ und die Höhe $h = 16$ des Dreiecks ablesen.
  Der Flächeninhalt $A$ des Dreiecks berechnet sich mit der Formel
  $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  $A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16$
  $A = 64$
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2. Die Abbildung zeigt den Achsenschnitt eines zusammengesetzten Körpers und den Parallelschnitt einer quadratischen Pyramide.
  Der zusammengesetzte Körper besteht aus einer Halbkugel und einem Kegel.
  Es gilt:
  $\begin{aligned} s & = 14,4 c m \\ δ & = {42,0}^{\circ} \\ h_{ges} & = h_{Pyr} \end{aligned}$
  Der Durchmesser $d$ des zusammengesetzten Körpers ist genauso lang wie die Grundkante $a$ der quadratischen Pyramide.
  Berechne die Differenz der Oberflächeninhalte der beiden Körper.
  [5 Pkte]
  
  1. Schritt: Radius $r$ berechnen
  $\sin \frac{δ}{2}$ $=$ $\frac{r}{s}$
  ↓
  bekannte Werte einsetzen
  $\sin 21^{\circ}$ $=$ $\frac{r}{14,4}$ $\cdot 14,4$
  $\sin 21^{\circ} \cdot 14,4$ $=$ $r$
  $5,16$ $=$ $r$
  2. Schritt: $h_{K e g e l}$ berechnen
  $\tan \frac{δ}{2}$ $=$ $\frac{r}{h_{K e g e l}}$
  ↓
  bekannte Werte einsetzen
  $\tan 21^{\circ}$ $=$ $\frac{5,16}{h_{K e g e l}}$ $\cdot h_{K e g e l}$
  $\tan 21^{\circ} \cdot h_{K e g e l}$ $=$ $5,16$ $: \tan 21^{\circ}$
  $h_{K e g e l}$ $=$ $\frac{5,16}{\tan 21^{\circ}}$
  $h_{K e g e l}$ $=$ $13,44$
  3. Schritt: $h_{P y r}$ berechnen
  $\begin{array}{l} h_{P y r} = h_{K e g e l} + r \\ h_{P y r} = 13,44 + 5,16 \\ h_{P y r} = 18,6 \end{array}$
  4. Schritt: Höhe $h_{S}$ der Seitenfläche der Pyramide berechnen
  ${(h_{S})}^{2}$ $=$ ${(h_{P y r})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$
  ↓
  bekannte Werte einsetzen
  ${(h_{S})}^{2}$ $=$ ${18,6}^{2} + {5,16}^{2}$ $\sqrt{}$
  $h_{S}$ $=$ $\sqrt{{18,6}^{2} + {5,16}^{2}}$
  $h_{S}$ $=$ $19,3$
  5. Schritt: Differenz der Oberflächeninhalte berechnen
  Die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers $O_{z g s}$ wird gebildet aus der halben Oberfläche der Kugel $O_{K u g e l}$ und der Mantelfläche des Kegels $M_{K e g e l}$ .
  Oberfläche einer Kugel
  $O_{K u g e l} = 4 \cdot π \cdot r^{2}$
  Mantelfläche eines Kegels
  $M_{K e g e l} = π \cdot r \cdot s$
  Oberfläche des zusammengesetzten Körpers $O_{z g s}$
  $O_{z g s}$ $=$ $\frac{O_{K u g e l}}{2} + M_{K e g e l}$
  $O_{z g s}$ $=$ $\frac{4 \cdot π \cdot r^{2}}{2} + π \cdot r \cdot s$
  ↓
  Werte einsetzen
  $O_{z g s}$ $=$ $\frac{4 \cdot π \cdot {5,16}^{2}}{2} + π \cdot 5,16 \cdot 14,4$
  $O_{z g s}$ $=$ $2 \cdot π \cdot {5,16}^{2} + π \cdot 5,16 \cdot 14,4$
  $O_{z g s}$ $=$ $401$
  Oberfläche der Pyramide $O_{P y r}$
  $O_{P y r}$ $=$ $Grundfläche + Mantelfläche$
  $O_{P y r}$ $=$ $a^{2} + 2 \cdot a \cdot h_{S}$
  ↓
  Werte einsetzen, beachte $a = 2 \cdot r$
  $O_{P y r}$ $=$ ${(2 \cdot 5,16)}^{2} + 2 \cdot (2 \cdot 5,16) \cdot 19,3$
  $O_{P y r}$ $=$ $505$
  Differenz der Oberflächen
  $O_{P y r} - O_{z g s} = 505 - 401 = 104$
  Die Differenz der Oberflächen beträgt $104 {cm}^{2}$ .
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3
Land Baden-Württemberg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
1. Beim Schulfest bietet die Klasse 10a ein Angelspiel an. Dabei dürfen die Spieler zweimal nacheinander einen Gegenstand aus einem Gefäß angeln. Die Gegenstände werden nicht zurückgelegt. In dem Gefäß liegen fünf Fische, drei Seesterne und zwei Muscheln.
  Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „zweimal Muschel".
  Für ein Glücksspiel wird der gegebene Gewinnplan eingesetzt.
  Ereignis
  Gewinn
  zweimal Muschel
  $9,00$ €
  zweimal Seestern
  $4,00$ €
  Muschel und Seestern
  $2,50$ €
  Einsatz
  $1,00$ €
  Berechne den Erwartungswert.
  Der Gewinnplan soll so verändert werden, dass das Spiel fair wird. Dazu soll der Gewinn von „zweimal Muschel" verändert werden, während alles andere unverändert bleibt.
  Wie hoch muss der Gewinn für „zweimal Muschel" sein?
  [5 Pkte]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Wahrscheinlichkeit "zweimal Muschel"
  Insgesamt befinden sich $5 Fische + 3 Seesterne + 2 Muscheln = 10 Gegenstände$ in dem Gefäß.
  Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine Muschel zu ziehen, beträgt:
  $P (1. Zug Muschel) = \frac{2}{10}$
  Die Muschel wird nicht zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine Muschel zu ziehen, beträgt:
  $P (2. Zug Muschel) = \frac{1}{9}$
  Die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine Muschel zu ziehen, ist dann:
  $P (z w e i m a l M u s c h e l) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{35} \approx 2,22 %$
  Erwartungswert
  $P (z w e i m a l M u s c h e l) = \frac{1}{45}$
  $P (z w e i m a l S e e s t e r n) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$
  Das Ereignis "Muschel und Seestern" tritt ein, wenn im ersten Zug eine Muschel und im zweiten Zug ein Seestern oder im ersten Zug ein Seestern und im zweiten Zug eine Muschel gezogen wird.
  $P (M u s c h e l u n d S e e s t e r n) = \frac{2}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$
  Der Erwartungswert $E$ des Spiels berechnet sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ereignisse multipliziert mit dem Gewinn abzüglich des Einsatzes.
  $E = \frac{1}{45} \cdot 9 + \frac{1}{15} \cdot 4 + \frac{2}{15} \cdot 2,5 - 1 = - 0,2$
  Gewinn für "zweimal Muschel" bei fairem Gewinnplan
  Das Spiel ist fair bei einem Erwartungswert von $0$ .
  Neuen Gewinn $x$ für "zweimal Muschel" berechnen.
  $0$ $=$ $\frac{1}{45} \cdot x + \frac{1}{15} \cdot 4 + \frac{2}{15} \cdot 2,5 - 1$
  $0$ $=$ $\frac{1}{45} \cdot x - 0,4$ $+ 0,4$
  $0,4$ $=$ $\frac{1}{45} \cdot x$ $\cdot 45$
  $18$ $=$ $x$
  Für ein faires Spiel muss der Gewinn für "zweimal Muschel" $18$ € betragen.
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2. Die Vorderseite einer Tennishalle hat annähernd die Form einer Parabel.
  Sie lässt sich mit der Funktionsgleichung $y = a x^{2} + c$ beschreiben.
  Die maximale Höhe der Halle beträgt $12 m$ . Die Halle hat am Boden eine Breite von $40 m$ .
  Gib eine mögliche Funktionsgleichung an.
  In die Vorderseite der Tennishalle soll eine rechteckige Fensterfläche mittig eingebaut werden. Dazu werden zwei Vorschläge geprüft.
  Vorschlag 1:
  Die Fensterfläche soll eine Höhe von $10 m$ haben.
  Die beiden oberen Eckpunkte berühren den Parabelbogen (siehe Abbildung).
  Berechne den Flächeninhalt dieser Fensterfläche.
  Vorschlag 2:
  Die Fensterfläche soll eine Breite von $10 m$ haben.
  Berechne die größtmögliche Höhe dieser Fensterfläche.
  Welche der beiden Fensterflächen ist größer? Berechne.
  [5 Pkte]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Funktionsgleichung angeben
  Die Parabel hat den Scheitelpunkt $S (0 | 12)$ .
  Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in die Funktionsgleichung
  $y = a \cdot x^{2} + c$
  $12 = a \cdot 0 + c$
  $12 = c$
  
  Da die Halle am Boden eine Breite von $40 m$ hat, kommt sie im Punkt $P (20 | 0)$ auf dem Boden auf. Dieser Punkt liegt auch auf der Parabel.
  Einsetzen der Koordinaten des Punktes $P$ in die Funktionsgleichung
  $y = a \cdot x^{2} + c$
  $0 = a \cdot 20^{2} + 12$
  $0 = a \cdot 400 + 12$
  $- 12 = a \cdot 400$
  $- 0,03 = a$
  Eine mögliche Funktionsgleichung lautet:
  $y = - 0,03 \cdot x^{2} + 12$
  Flächeninhalt der Fensterfläche
  Vorschlag 1
  Die Fensterfläche ist $10 m$ hoch. Damit können die Eckpunkte der Fensterfläche auf dem Parabelbogen berechnet werden.
  $- 0,03 \cdot x^{2} + 12$ $=$ $10$ $- 12$
  $- 0,03 \cdot x^{2}$ $=$ $- 2$ $: (- 0,03)$
  $x^{2}$ $\approx$ $66,67$ $\sqrt{}$
  $x$ $\approx$ $\pm 8,17$
  Die Fensterfläche hat eine Höhe von $10 m$ und eine Breite von $2 \cdot 8,17 = 16,34 m$ .
  Der Flächeninhalt $A_{1}$ beträgt $10 \cdot 16,34 = 163,40 m^{2}$ .
  Vorschlag 2
  Größtmögliche Höhe berechnen
  Da das Fenster eine Breite von $10 m$ haben soll, muss der Funktionswert an der Stelle $x = 5$ berechnet werden.
  $y = - 0,03 \cdot 5^{2} + 12 = 11,25$
  Die Fensterfläche kann maximal $11,25 m$ hoch sein.
  Der Flächeninhalt $A_{2}$ beträgt $10 \cdot 11,25 = 112,50 m^{2}$ .
  Vergleich der Flächen
  $A_{2} = 112,5 < A_{1} = 163,4$
  Die Fensterfläche von Vorschlag 1 ist größer.
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x	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$p_{1}$	$10$	$5$	$2$	$1$	$2$
$p_{2}$	$0$	$5$	$12$	$21$	$32$
$g$	$7$	$5$	$3$	$1$	$- 1$

Ereignis	Gewinn
zweimal Muschel	$9,00$ €
zweimal Seestern	$4,00$ €
Muschel und Seestern	$2,50$ €
Einsatz	$1,00$ €

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$y$	$=$	$- x - 3$
	↓	Einsetzen von $y = 0$
$0$	$=$	$- x - 3$	$+ x$
$x$	$=$	$- 3$

$y$	$=$	$- x - 3$
	↓	Einsetzen von $x = 0$
$y$	$=$	$- 0 - 3$
$y$	$=$	$- 3$

$0$	$=$	$(- 3)^{2} + a \cdot (- 3) - 3$
$0$	$=$	$9 - 3 a - 3$
$0$	$=$	$6 - 3 a$	$+ 3 a$
$3 a$	$=$	$6$	$: 3$
$a$	$=$	$2$

$\sin \frac{δ}{2}$	$=$	$\frac{r}{s}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$\sin 21^{\circ}$	$=$	$\frac{r}{14,4}$	$\cdot 14,4$
$\sin 21^{\circ} \cdot 14,4$	$=$	$r$
$5,16$	$=$	$r$

$\tan \frac{δ}{2}$	$=$	$\frac{r}{h_{K e g e l}}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$\tan 21^{\circ}$	$=$	$\frac{5,16}{h_{K e g e l}}$	$\cdot h_{K e g e l}$
$\tan 21^{\circ} \cdot h_{K e g e l}$	$=$	$5,16$	$: \tan 21^{\circ}$
$h_{K e g e l}$	$=$	$\frac{5,16}{\tan 21^{\circ}}$
$h_{K e g e l}$	$=$	$13,44$

${(h_{S})}^{2}$	$=$	${(h_{P y r})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
${(h_{S})}^{2}$	$=$	${18,6}^{2} + {5,16}^{2}$	$\sqrt{}$
$h_{S}$	$=$	$\sqrt{{18,6}^{2} + {5,16}^{2}}$
$h_{S}$	$=$	$19,3$

$O_{z g s}$	$=$	$\frac{O_{K u g e l}}{2} + M_{K e g e l}$
$O_{z g s}$	$=$	$\frac{4 \cdot π \cdot r^{2}}{2} + π \cdot r \cdot s$
	↓	Werte einsetzen
$O_{z g s}$	$=$	$\frac{4 \cdot π \cdot {5,16}^{2}}{2} + π \cdot 5,16 \cdot 14,4$
$O_{z g s}$	$=$	$2 \cdot π \cdot {5,16}^{2} + π \cdot 5,16 \cdot 14,4$
$O_{z g s}$	$=$	$401$

$O_{P y r}$	$=$	$Grundfläche + Mantelfläche$
$O_{P y r}$	$=$	$a^{2} + 2 \cdot a \cdot h_{S}$
	↓	Werte einsetzen, beachte $a = 2 \cdot r$
$O_{P y r}$	$=$	${(2 \cdot 5,16)}^{2} + 2 \cdot (2 \cdot 5,16) \cdot 19,3$
$O_{P y r}$	$=$	$505$

$0$	$=$	$\frac{1}{45} \cdot x + \frac{1}{15} \cdot 4 + \frac{2}{15} \cdot 2,5 - 1$
$0$	$=$	$\frac{1}{45} \cdot x - 0,4$	$+ 0,4$
$0,4$	$=$	$\frac{1}{45} \cdot x$	$\cdot 45$
$18$	$=$	$x$

$- 0,03 \cdot x^{2} + 12$	$=$	$10$	$- 12$
$- 0,03 \cdot x^{2}$	$=$	$- 2$	$: (- 0,03)$
$x^{2}$	$\approx$	$66,67$	$\sqrt{}$
$x$	$\approx$	$\pm 8,17$

Wahlteil B

Berechnen des Winkels φ.

Berechnen des Umfangs des Vierecks AEFD.

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Bestimmen der Funktionsgleichungen von p1 und p2.

Berechnen der Funktionsgleichung von g.

Berechnen der Entfernung zwischen S1 und S2.

Überprüfen von Milas Behauptung.

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Berechnen des Winkels $φ$ .

Berechnen des Umfangs des Vierecks $AEFD$ .

Bestimmen der Funktionsgleichungen von $p_{1}$ und $p_{2}$ .

Berechnen der Funktionsgleichung von $g$ .

Berechnen der Entfernung zwischen $S_{1}$ und $S_{2}$ .