Bestimmen der Funktionsgleichung der Parabel $\text{p}$.

Wir bestimmen die Funktionsgleichung mithilfe der Scheitelform.

Die allgemeine Scheitelform einer quadratischen Funktion lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{d}{)}^2+\mathrm{e}$

Folgende Werte sind bekannt:

$\mathrm{a}=1$ Die Parabel $\text{p}$ ist eine nach oben geöffnete Normalparabel.

$\mathrm{d}=4$Siehe Zeichnung.

Wir setzen die Nullstelle ${\mathrm{N}}_1(1|0)$ in die allgemeine Scheitelform ein und berechnen $\text{e}$.

$(1-4{)}^2+\mathrm{e}=0$

$(-3{)}^2+\mathrm{e}=0$

$9+\mathrm{e}=0$

$\mathrm{e}=-9$

Aufstellen der Funktionsgleichung.

$\mathrm{p}:\mathrm{y}=(\mathrm{x}-4{)}^2-9$

$\mathrm{p}:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+16-9$

$\mathrm{p}:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+7$

Die Funktionsgleichung der Parabel $\text{𝐩}$ lautet:

$\mathrm{p}:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+7$

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $\text{A}$ und $\text{B}$ der Parabel und der Geraden.

Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\mathrm{x}+\mathrm{t}$

Folgende Werte sind aus der Aufgabenstellung bekannt:

$\mathrm{m}=-2$

$\mathrm{t}=2$

Die Funktionsgleichung der Geraden $\text{𝐠}$ lautet:

$\mathrm{g}:\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+2$

Wir berechnen die Schnittpunkte $\text{A}$ und $\text{B}$ der Parabel $\text{𝐩}$ mit der Geraden $\text{𝐠}$, indem wir $\mathrm{p}=\mathrm{g}$ setzen.

Berechnen der $\text{y}$-Koordinaten der Schnittpunkt $\text{A}$ und $\text{B}$.

Einsetzen von ${\mathrm{x}}_1$ und ${\mathrm{x}}_2$ in die Funktionsgleichung der Geraden $\text{g}$.

${\mathrm{y}}_1=-2\cdot 1+2\Rightarrow {\mathrm{y}}_1=0$

${\mathrm{y}}_2=-2\cdot 5+2\Rightarrow {\mathrm{y}}_2=-8$

Koordinaten der Schnittpunkte:

$\mathrm{A}=\left(1|0\right)$

$\mathrm{B}=(5|-8)$