Teil 2 Stochastik I

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Bei einem Hersteller von Elektroautos (E-Autos) können die Kunden beim Kauf eines Autos zwischen den Modellen $A, B$ und $C$ wählen. $30 %$ der Kunden entscheiden sich für Modell $C$ . Die restlichen Kunden wählen zu gleichen Teilen $A$ bzw. $B$ .

Die Modelle $B$ und $C$ werden mit einer kleinen $(K)$ oder einer großen $(G)$ Batterie

angeboten. Das Modell $A$ kann nur mit einer kleinen Batterie bestellt werden. Bei

Modell $B$ entscheiden sich vier von zehn Kunden für die große Batterie, während sich beim Modell $C$ nur $15 %$ der Kunden für die kleine Batterie entscheiden.

Zusätzlich können alle Modelle noch mit einem Autopilot $(P)$ ausgestattet werden. Bei

Modell $B$ und $C$ erfolgt die Wahl unabhängig von der Batteriegröße. Dieses Zusatzangebot wählen beim Modell $A$ $20 %$ der Kunden und beim Modell $B$ jeweils $30 %$ . Insgesamt werden $41{,}5\;\%$ aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht.

Die Wahl des Modells, der Batteriegröße und der Zusatzfunktion Autopilot eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
$[$ Teilergebnis: $P\left(\{(C;K;P)\}\right)=0{,}036]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments
Baumdiagramm
Die im Baumdiagramm unbekannten Wahrscheinlichkeiten $x$ bzw. $1 - x$ können mit der Aussage "Insgesamt werden $41{,}5\;\%$ aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht." ermittelt werden.
Berechne die fünf Ereignisse, die $(P)$ enthalten.
$P\left(\{(A;K;P)\}\right)=0{,}35\cdot 1 \cdot 0{,}2=0{,}07$
$P\left(\{(B;K;P)\}\right)=0{,}35\cdot 0{,}6 \cdot 0{,}3=0{,}063$
$P\left(\{(B;G;P)\}\right)=0{,}35\cdot 0{,}4 \cdot 0{,}3=0{,}042$
$P\left(\{(C;K;P)\}\right)=0{,}3\cdot 0{,}15 \cdot x=0{,}045 x$
$P\left(\{(C;G;P)\}\right)=0{,}3\cdot 0{,}85 \cdot x=0{,}255x$
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser $5$ Ereignisse muss gleich $0,415$ sein.
$\Rightarrow\;0{,}07+0{,}063+0{,}042+0{,}045x+0{,}255x=0{,}415$
$\Rightarrow\;0{,}175+0{,}3x=0{,}415\;\Rightarrow\;0{,}3x=0{,}24\;\Rightarrow\;x=0{,}8$ und $1 - x = 0,2$
Ergänze nun die noch fehlenden Wahrscheinlichkeiten:
$P\left(\{(A;K;\overline{P})\}\right)=0{,}35\cdot 1 \cdot 0{,}8=0{,}28$
$P\left(\{(B;K;\overline{P})\}\right)=0{,}35\cdot 0{,}6 \cdot 0{,}7=0{,}147$
$P\left(\{(B;G;\overline{P})\}\right)=0{,}35\cdot 0{,}4 \cdot 0{,}7=0{,}098$
$P\left(\{(C;K;P)\}\right)=0{,}3\cdot 0{,}15 \cdot 0{,}8=0{,}036$
$P\left(\{(C;K;\overline{P})\}\right)=0{,}3\cdot 0{,}15 \cdot 0{,}2=0{,}009$
$P\left(\{(C;G;P)\}\right)=0{,}3\cdot 0{,}85 \cdot 0{,}8=0{,}204$
$P\left(\{(C;G;\overline{P})\}\right)=0{,}3\cdot 0{,}85 \cdot 0{,}2=0{,}051$
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Übertrage die in der Aufgabenstellung genannten Wahrscheinlichkeiten in ein Baumdiagramm.
Die im Baumdiagramm unbekannten Wahrscheinlichkeiten $x$ bzw. $1 - x$ können mit der Aussage "Insgesamt werden $41{,}5\;\%$ aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht." ermittelt werden.
Berechne die fünf Ereignisse, die $(P)$ enthalten und stelle eine Gleichung auf.
Gegeben sind folgende Ereignisse:
$E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell $A$ oder $C$ jeweils mit Autopilot.“
$E_{2}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den
Autopilot.“
Berechnen Sie nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für $E_{1}$ und für $E_{2}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Berechne nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für $E_{1}$ und für $E_{2}$
$E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell $A$ oder $C$ jeweils mit Autopilot.“
$P(E_1)=P\left(\{(A;K;P)\}\right)+P\left(\{(C;K;P)\}\right)+P\left(\{(C;G;P)\}\right)=0{,}07+0{,}036+0{,}204=0{,}31$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde Modell $A$ oder $C$ jeweils mit Autopilot wählt, beträgt $0,31$ .
$E_{2}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den Autopilot.“
$P(E_2)=P\left(\{(A;K;\overline{P})\}\right)+P\left(\{(B;K;\overline{P})\}\right)+P\left(\{(B;G;P)\}\right)+P\left(\{(C;K;\overline{P})\}\right)+P\left(\{(C;G;P)\}\right)=0{,}28+0{,}147+0{,}042+0{,}009+0{,}204=0{,}682$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde entweder die kleine Batterie oder den Autopilot wählt, beträgt $0,682$ .
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Teil 1
Berechne: $P(E_1)=P\left(\{(A;K;P)\}\right)+P\left(\{(C;K;P)\}\right)+P\left(\{(C;G;P)\}\right)$
Teil 2
Berechne: $P(E_2)=P\left(\{(A;K;\overline{P})\}\right)+P\left(\{(B;K;\overline{P})\}\right)+P\left(\{(B;G;P)\}\right)+P\left(\{(C;K;\overline{P})\}\right)+P\left(\{(C;G;P)\}\right)$

2

In einer Kleinstadt sind $30 %$ aller zugelassenen Elektroautos der Oberklasse $(O)$ zuzuordnen, die restlichen werden der Mittelklasse $(M)$ zugeordnet. Die Akkus aller hier betrachteten Elektroautos werden zu $39{,}5\;\%$ regelmäßig über eine Photovoltaik-Anlage $(V)$ des jeweiligen Fahrzeugeigners geladen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig aus all diesen Fahrzeugen ausgewähltes Elektroauto ein Modell der Oberklasse ist und regelmäßig über eine Photovoltaik-Anlage aufgeladen wird, beträgt $25{,}5\;\%$ .

Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3=\overline{M\cap V}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel
Aus der Aufgabenstellung entnimmt, man die folgenden Werte:
$P(O)=0{,}3\;\Rightarrow\;P(M)=1-0{,}3=0{,}7$
$P(V)=0{,}395\;\Rightarrow\;P(\overline{V})=1-0{,}395=0{,}605$
$P(O\cap V)=0{,}255\;\Rightarrow\;P(M\cap V)=P(V)-P(O\cap V)=0{,}395-0{,}255=0{,}14$
$P(O\cap\overline{V})=P(O)-P(O\cap V)=0{,}3-0{,}255=0{,}045$
$P(M\cap\overline{V})=P(M)-P(M\cap V)=0{,}7-0{,}14=0{,}56$
Damit kann die Vierfeldertafel ausgefüllt werden.
$O$
$M$
$V$
$0,255$
$0,14$
$0,395$
$\overline{V}$
$0,045$
$0,56$
$0,605$
$0,3$
$0,7$
$1$
Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3=\overline{M\cap V}$
$P(E_3)=P(\overline{M\cap V})=1-P(M\cap V)=1-0{,}14=0{,}86$
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{3}$ beträgt $0,86$ .
Alternativ kann auch so gerechnet werden:
Mit den de Morganschen Gesetzen gilt: $\overline{M\cap V}=\overline{M}\cup\overline{V}$
Dabei handelt es sich um alle Elemente, die nicht in $M$ und $V$ liegen (oder höchstens eines der beiden Ereignisse $M$ oder $V$ tritt ein, jedoch nicht beide gleichzeitig).
Anmerkung: In der Vierfeldertafel ist $\overline{M}=O$
Dann gilt: $P(E_3)=P(\overline{M\cap V})=P(\overline{M}\cap V)+P(M\cap \overline{V})+P(\overline{M}\cap \overline{V})=0{,}255+0{,}56+0{,}045=0{,}86$
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{3}$ beträgt $0,86$ .
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Teil 1
Übertrage die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung in eine Vierfeldertafel.
Teil 2
Berechne $P(E_3)=P(\overline{M\cap V})=1-P(M\cap V)$ .
Untersuchen Sie, ob der Anteil der Fahrzeuge, die über eine Photovoltaik-Anlage des Fahrzeugeigners geladen werden, bei den Oberklasse-Modellen höher ist als bei den Mittelklasse-Modellen. Entscheiden Sie anschließend, ob die Ereignisse $M$ und $V$ stochastisch unabhängig sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
Untersuche, ob der Anteil der Fahrzeuge, die über eine Photovoltaik-Anlage des Fahrzeugeigners geladen werden, bei den Oberklasse-Modellen höher ist als bei den Mittelklasse-Modellen
Es gilt die unter a) angegebene Vierfeldertafel.
Dann ist $P_O(V)=\dfrac{P(O\cap V)}{P(O)}=\dfrac{0{,}255}{0{,}3}=0{,}85$ und $P_M(V)=\dfrac{P(M\cap V)}{P(M)}=\dfrac{0{,}14}{0{,}7}=0{,}2$ .
Der Anteil ist bei den Oberklasse-Modellen größer als bei den Mittelklasse-Modellen.
Entscheide anschließend, ob die Ereignisse $M$ und $V$ stochastisch unabhängig sind
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt $P_{M} (V) = P (V)$ oder $P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V)$ .
$P_M(V)=P(V)\;\Rightarrow\;0{,}2\neq 0{,}395\;\Rightarrow\;M\;$ und $V$ sind stochastisch abhängig.
Es gilt auch:
$P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V)$
$P(M\cap V)=0{,}14$ und $P(M)\cdot P(V)=0{,}7\cdot 0{,}395=0{,}2765$
$\Rightarrow\;0{,}14\neq 0{,}2765\Rightarrow\;M\;$ und $V$ sind stochastisch abhängig.

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Teil 1
Berechne $P_{O} (V)$ und $P_{M} (V)$ und vergleiche.
Teil 2
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt $P_{M} (V) = P (V)$ oder $P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V)$ .

	$O$	$M$
$V$	$0,255$	$0,14$	$0,395$
$\overline{V}$	$0,045$	$0,56$	$0,605$
	$0,3$	$0,7$	$1$

3

Am Parkplatz eines großen Einkaufszentrums wurde im Rahmen einer Bachelor-Arbeit eine lang angelegte Studie zum Laden von E-Autos an den dort vorhandenen Ladesäulen durchgeführt. Diese lieferte folgende Ergebnisse: $80 %$ der Ladevorgänge erfolgen während der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen. Alle anderen Besitzer verbringen die Ladezeit in den umliegenden kleineren Geschäften, Bars, Cafés oder im Biergarten. Zudem wurde festgestellt, dass $5 %$ aller auf dem Parkplatz parkenden Pkw E-Autos sind.

Bestimmen Sie, basierend auf den Ergebnissen der Studie, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
$E_{4}$ : „Unter elf Ladevorgängen erfolgen genau neun in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen.“
$E_{5}$ : „Unter $50$ Ladevorgängen erfolgen mehr als neun, aber weniger als $18$ in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen.“
$E_{6}$ : „Unter $100$ auf dem Parkplatz parkenden Pkw sind mehr E-Autos als nach der Studie zu erwarten wären.“
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme, basierend auf den Ergebnissen der Studie, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
$E_{4}$ : „Unter elf Ladevorgängen erfolgen genau neun in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen.“
$P(E_4)=B(11;0{,}8;9)\approx0{,}29528 \;\text{oder}\begin{pmatrix}11\\9\end{pmatrix}\cdot 0{,}80^9\cdot 0{,}2^2\approx0{,}29528$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter elf Ladevorgängen genau neun in der Zeit erfolgen, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen, beträgt rund $0,29528$ .
$E_{5}$ : „Unter $50$ Ladevorgängen erfolgen mehr als neun, aber weniger als $18$ in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen.“
Es ist $n = 50$ und $p = 0,3$ .
$P(E_5)=P(10\leq X\leq 17)=F(50; 0{,}2; 17)-F(50; 0{,}2; 9)\approx0{,}99374-0{,}44374=0{,}55$
Die Wahrscheinlichkeitswerte können dem Tafelwerk entnommen werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter $50$ Ladevorgängen mehr als neun, aber weniger als $18$ in der Zeit erfolgen, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen, beträgt rund $0,55$ .
$E_{6}$ : „Unter $100$ auf dem Parkplatz parkenden Pkw sind mehr E-Autos als nach der Studie zu erwarten wären.“
Es wurde festgestellt, dass $5 %$ aller auf dem Parkplatz parkenden Pkw E-Autos sind $\;\Rightarrow\;5\;\%$ von $100$ sind $5$ .
$P(E_6)=P(X>5)=1-P(X\leq 5)=1-F(100; 0{,}05; 5)\approx1-0{,}61600=0{,}38400$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter $100$ auf dem Parkplatz parkenden Pkw mehr E-Autos sind, als nach der Studie zu erwarten wären, beträgt rund $0,3840$ .
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Berechne:
$P(E_4)=B(11;0{,}8;9)$
$P(E_5)=P(10\leq X\leq 17)$
$P(E_6)=P(X>5)=1-P(X\leq 5)$

Teil 2 Stochastik I

Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments

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Berechne nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für E1E_1E1​ und für E2E_2E2​

E1E_1E1​: „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell AAA oder CCC jeweils mit Autopilot.“

E2E_2E2​: „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den Autopilot.“

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Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E3=M∩V‾E_3=\overline{M\cap V}E3​=M∩V

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Untersuche, ob der Anteil der Fahrzeuge, die über eine Photovoltaik-Anlage des Fahrzeugeigners geladen werden, bei den Oberklasse-Modellen höher ist als bei den Mittelklasse-Modellen

Entscheide anschließend, ob die Ereignisse MMM und VVVstochastisch unabhängig sind

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Bestimme, basierend auf den Ergebnissen der Studie, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

E4E_4E4​: „Unter elf Ladevorgängen erfolgen genau neun in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen.“

E5E_5E5​: „Unter 505050 Ladevorgängen erfolgen mehr als neun, aber weniger als 181818 in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen.“

E6E_6E6​: „Unter 100100100 auf dem Parkplatz parkenden Pkw sind mehr E-Autos als nach der Studie zu erwarten wären.“

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Berechne nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für $E_{1}$ und für $E_{2}$

$E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell $A$ oder $C$ jeweils mit Autopilot.“

$E_{2}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den Autopilot.“

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3=\overline{M\cap V}$

Entscheide anschließend, ob die Ereignisse $M$ und $V$ stochastisch unabhängig sind

$E_{4}$ : „Unter elf Ladevorgängen erfolgen genau neun in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen.“

$E_{5}$ : „Unter $50$ Ladevorgängen erfolgen mehr als neun, aber weniger als $18$ in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen.“

$E_{6}$ : „Unter $100$ auf dem Parkplatz parkenden Pkw sind mehr E-Autos als nach der Studie zu erwarten wären.“