Teil 2 Stochastik I

Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments

Die im Baumdiagramm unbekannten Wahrscheinlichkeiten $x$ bzw. $1-x$ können mit der Aussage "Insgesamt werden $\mathrm{41,5}\%$ aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht." ermittelt werden.

Berechne die fünf Ereignisse, die $(P)$ enthalten.

$P(\{(A;K;P)\})=\mathrm{0,35}\cdot 1\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,07}$

$P(\{(B;K;P)\})=\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,063}$

$P(\{(B;G;P)\})=\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,042}$

$P(\{(C;K;P)\})=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,15}\cdot x=\mathrm{0,045}x$

$P(\{(C;G;P)\})=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,85}\cdot x=\mathrm{0,255}x$

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser $5$ Ereignisse muss gleich $\mathrm{0,415}$ sein.

$\Rightarrow \mathrm{0,07}+\mathrm{0,063}+\mathrm{0,042}+\mathrm{0,045}x+\mathrm{0,255}x=\mathrm{0,415}$

$\Rightarrow \mathrm{0,175}+\mathrm{0,3}x=\mathrm{0,415}\Rightarrow \mathrm{0,3}x=\mathrm{0,24}\Rightarrow x=\mathrm{0,8}$ und $1-x=\mathrm{0,2}$

Ergänze nun die noch fehlenden Wahrscheinlichkeiten:

$P(\{(A;K;\overline{P})\})=\mathrm{0,35}\cdot 1\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,28}$

$P(\{(B;K;\overline{P})\})=\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{0,147}$

$P(\{(B;G;\overline{P})\})=\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{0,098}$

$P(\{(C;K;P)\})=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,036}$

$P(\{(C;K;\overline{P})\})=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,009}$

$P(\{(C;G;P)\})=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,85}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,204}$

$P(\{(C;G;\overline{P})\})=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,85}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,051}$

Berechne nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für $E_1$ und für $E_2$

$E_1$: „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell $A$ oder $C$ jeweils mit Autopilot.“

$P(E_1)=P(\{(A;K;P)\})+P(\{(C;K;P)\})+P(\{(C;G;P)\})=\mathrm{0,07}+\mathrm{0,036}+\mathrm{0,204}=\mathrm{0,31}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde Modell $A$ oder $C$ jeweils mit Autopilot wählt, beträgt $\mathrm{0,31}$.

$E_2$: „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den Autopilot.“

$P(E_2)=P(\{(A;K;\overline{P})\})+P(\{(B;K;\overline{P})\})+P(\{(B;G;P)\})+P(\{(C;K;\overline{P})\})+P(\{(C;G;P)\})=\mathrm{0,28}+\mathrm{0,147}+\mathrm{0,042}+\mathrm{0,009}+\mathrm{0,204}=\mathrm{0,682}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde entweder die kleine Batterie oder den Autopilot wählt, beträgt $\mathrm{0,682}$.

Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel

Aus der Aufgabenstellung entnimmt, man die folgenden Werte:

$P(O)=\mathrm{0,3}\Rightarrow P(M)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$

$P(V)=\mathrm{0,395}\Rightarrow P(\overline{V})=1-\mathrm{0,395}=\mathrm{0,605}$

$P(O\cap V)=\mathrm{0,255}\Rightarrow P(M\cap V)=P(V)-P(O\cap V)=\mathrm{0,395}-\mathrm{0,255}=\mathrm{0,14}$

$P(O\cap \overline{V})=P(O)-P(O\cap V)=\mathrm{0,3}-\mathrm{0,255}=\mathrm{0,045}$

$P(M\cap \overline{V})=P(M)-P(M\cap V)=\mathrm{0,7}-\mathrm{0,14}=\mathrm{0,56}$

Damit kann die Vierfeldertafel ausgefüllt werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3=\overline{M\cap V}$

$P(E_3)=P(\overline{M\cap V})=1-P(M\cap V)=1-\mathrm{0,14}=\mathrm{0,86}$

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3$ beträgt $\mathrm{0,86}$.

Alternativ kann auch so gerechnet werden:

Mit den de Morganschen Gesetzen gilt: $\overline{M\cap V}=\overline{M}\cup \overline{V}$

Dabei handelt es sich um alle Elemente, die nicht in $M$ und $V$liegen (oder höchstens eines der beiden Ereignisse $M$ oder $V$ tritt ein, jedoch nicht beide gleichzeitig).

Anmerkung: In der Vierfeldertafel ist $\overline{M}=O$

Dann gilt: $P(E_3)=P(\overline{M\cap V})=P(\overline{M}\cap V)+P(M\cap \overline{V})+P(\overline{M}\cap \overline{V})=\mathrm{0,255}+\mathrm{0,56}+\mathrm{0,045}=\mathrm{0,86}$

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3$ beträgt $\mathrm{0,86}$.

Untersuche, ob der Anteil der Fahrzeuge, die über eine Photovoltaik-Anlage des Fahrzeugeigners geladen werden, bei den Oberklasse-Modellen höher ist als bei den Mittelklasse-Modellen

Es gilt die unter a) angegebene Vierfeldertafel.

Dann ist $P_O(V)={\displaystyle \frac{P(O\cap V)}{P(O)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,255}}{\mathrm{0,3}}}=\mathrm{0,85}$ und $P_M(V)={\displaystyle \frac{P(M\cap V)}{P(M)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}}{\mathrm{0,7}}}=\mathrm{0,2}$.

Der Anteil ist bei den Oberklasse-Modellen größer als bei den Mittelklasse-Modellen.

Entscheide anschließend, ob die Ereignisse $M$ und $V$stochastisch unabhängig sind

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt $P_M(V)=P(V)$ oder $P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V)$.

$P_M(V)=P(V)\Rightarrow \mathrm{0,2}\ne \mathrm{0,395}\Rightarrow M$und $V$ sind stochastisch abhängig.

Es gilt auch:

$P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V)$

$P(M\cap V)=\mathrm{0,14}$ und $P(M)\cdot P(V)=\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,395}=\mathrm{0,2765}$

$\Rightarrow \mathrm{0,14}\ne \mathrm{0,2765}\Rightarrow M$und $V$ sind stochastisch abhängig.

Bestimme, basierend auf den Ergebnissen der Studie, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$E_4$: „Unter elf Ladevorgängen erfolgen genau neun in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen.“

$P(E_4)=B(11;\mathrm{0,8};9)\approx \mathrm{0,29528}\text{oder}\left(\begin{array}{c}11\\ 9\end{array}\right)\cdot {\mathrm{0,80}}^9\cdot {\mathrm{0,2}}^2\approx \mathrm{0,29528}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter elf Ladevorgängen genau neun in der Zeit erfolgen, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen, beträgt rund $\mathrm{0,29528}$.

$E_5$: „Unter $50$ Ladevorgängen erfolgen mehr als neun, aber weniger als $18$ in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen.“

Es ist $n=50$ und $p=\mathrm{0,3}$.

$P(E_5)=P(10\le X\le 17)=F(50;\mathrm{0,2};17)-F(50;\mathrm{0,2};9)\approx \mathrm{0,99374}-\mathrm{0,44374}=\mathrm{0,55}$

Die Wahrscheinlichkeitswerte können dem Tafelwerk entnommen werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter $50$ Ladevorgängen mehr als neun, aber weniger als $18$ in der Zeit erfolgen, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen, beträgt rund $\mathrm{0,55}$.

$E_6$: „Unter $100$ auf dem Parkplatz parkenden Pkw sind mehr E-Autos als nach der Studie zu erwarten wären.“

Es wurde festgestellt, dass $5\%$ aller auf dem Parkplatz parkenden Pkw E-Autos sind $\Rightarrow 5\%$ von $100$ sind $5$.

$P(E_6)=P(X>5)=1-P(X\le 5)=1-F(100;\mathrm{0,05};5)\approx 1-\mathrm{0,61600}=\mathrm{0,38400}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter $100$ auf dem Parkplatz parkenden Pkw mehr E-Autos sind, als nach der Studie zu erwarten wären, beträgt rund $\mathrm{0,3840}$.