Teil 2 Stochastik I - lernen mit Serlo!

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Bei einem Hersteller von Elektroautos (E-Autos) können die Kunden beim Kauf eines Autos zwischen den Modellen $A, B$ und $C$ wählen. $30 %$ der Kunden entscheiden sich für Modell $C$ . Die restlichen Kunden wählen zu gleichen Teilen $A$ bzw. $B$ .

Die Modelle $B$ und $C$ werden mit einer kleinen $(K)$ oder einer großen $(G)$ Batterie

angeboten. Das Modell $A$ kann nur mit einer kleinen Batterie bestellt werden. Bei

Modell $B$ entscheiden sich vier von zehn Kunden für die große Batterie, während sich beim Modell $C$ nur $15 %$ der Kunden für die kleine Batterie entscheiden.

Zusätzlich können alle Modelle noch mit einem Autopilot $(P)$ ausgestattet werden. Bei

Modell $B$ und $C$ erfolgt die Wahl unabhängig von der Batteriegröße. Dieses Zusatzangebot wählen beim Modell $A$ $20 %$ der Kunden und beim Modell $B$ jeweils $30 %$ . Insgesamt werden $41,5 %$ aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht.

Die Wahl des Modells, der Batteriegröße und der Zusatzfunktion Autopilot eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
$[$ Teilergebnis: $P ({(C; K; P)}) = 0,036]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments
Baumdiagramm
Die im Baumdiagramm unbekannten Wahrscheinlichkeiten $x$ bzw. $1 - x$ können mit der Aussage "Insgesamt werden $41,5 %$ aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht." ermittelt werden.
Berechne die fünf Ereignisse, die $(P)$ enthalten.
$P ({(A; K; P)}) = 0,35 \cdot 1 \cdot 0,2 = 0,07$
$P ({(B; K; P)}) = 0,35 \cdot 0,6 \cdot 0,3 = 0,063$
$P ({(B; G; P)}) = 0,35 \cdot 0,4 \cdot 0,3 = 0,042$
$P ({(C; K; P)}) = 0,3 \cdot 0,15 \cdot x = 0,045 x$
$P ({(C; G; P)}) = 0,3 \cdot 0,85 \cdot x = 0,255 x$
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser $5$ Ereignisse muss gleich $0,415$ sein.
$\Rightarrow 0,07 + 0,063 + 0,042 + 0,045 x + 0,255 x = 0,415$
$\Rightarrow 0,175 + 0,3 x = 0,415 \Rightarrow 0,3 x = 0,24 \Rightarrow x = 0,8$ und $1 - x = 0,2$
Ergänze nun die noch fehlenden Wahrscheinlichkeiten:
$P ({(A; K; P)}) = 0,35 \cdot 1 \cdot 0,8 = 0,28$
$P ({(B; K; P)}) = 0,35 \cdot 0,6 \cdot 0,7 = 0,147$
$P ({(B; G; P)}) = 0,35 \cdot 0,4 \cdot 0,7 = 0,098$
$P ({(C; K; P)}) = 0,3 \cdot 0,15 \cdot 0,8 = 0,036$
$P ({(C; K; P)}) = 0,3 \cdot 0,15 \cdot 0,2 = 0,009$
$P ({(C; G; P)}) = 0,3 \cdot 0,85 \cdot 0,8 = 0,204$
$P ({(C; G; P)}) = 0,3 \cdot 0,85 \cdot 0,2 = 0,051$
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Übertrage die in der Aufgabenstellung genannten Wahrscheinlichkeiten in ein Baumdiagramm.
Die im Baumdiagramm unbekannten Wahrscheinlichkeiten $x$ bzw. $1 - x$ können mit der Aussage "Insgesamt werden $41,5 %$ aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht." ermittelt werden.
Berechne die fünf Ereignisse, die $(P)$ enthalten und stelle eine Gleichung auf.
Gegeben sind folgende Ereignisse:
$E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell $A$ oder $C$ jeweils mit Autopilot.“
$E_{2}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den
Autopilot.“
Berechnen Sie nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für $E_{1}$ und für $E_{2}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Berechne nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für $E_{1}$ und für $E_{2}$
$E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell $A$ oder $C$ jeweils mit Autopilot.“
$P (E_{1}) = P ({(A; K; P)}) + P ({(C; K; P)}) + P ({(C; G; P)}) = 0,07 + 0,036 + 0,204 = 0,31$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde Modell $A$ oder $C$ jeweils mit Autopilot wählt, beträgt $0,31$ .
$E_{2}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den Autopilot.“
$P (E_{2}) = P ({(A; K; P)}) + P ({(B; K; P)}) + P ({(B; G; P)}) + P ({(C; K; P)}) + P ({(C; G; P)}) = 0,28 + 0,147 + 0,042 + 0,009 + 0,204 = 0,682$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde entweder die kleine Batterie oder den Autopilot wählt, beträgt $0,682$ .
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Teil 1
Berechne: $P (E_{1}) = P ({(A; K; P)}) + P ({(C; K; P)}) + P ({(C; G; P)})$
Teil 2
Berechne: $P (E_{2}) = P ({(A; K; P)}) + P ({(B; K; P)}) + P ({(B; G; P)}) + P ({(C; K; P)}) + P ({(C; G; P)})$

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Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments

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Berechne nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für E1 und für E2

E1: „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell A oder C jeweils mit Autopilot.“

E2: „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den Autopilot.“

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Berechne nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für $E_{1}$ und für $E_{2}$

$E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell $A$ oder $C$ jeweils mit Autopilot.“

$E_{2}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den Autopilot.“