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Eine spezielle Rakete mit der Masse m=500m=500 Tonnen befindet sich in Ruhe in einem Bezugssystem, in welchem sie keine Kraft von einem anderen Körper erfährt. Ab dem Zeitpunkt t=0t=0 wird die Rakete nach dem Rückstoßprinzip in Flugrichtung beschleunigt, indem kontinuierlich ein Teil ihrer Masse in Form von Treibstoff mit einer Ausströmgeschwindigkeit 4,0kms4{,}0 \mathrm{\dfrac{km}{s}} relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird. Folglich hängt die Geschwindigkeit uu der Rakete von der abnehmenden Masse mm der Rakete ab und kann also durch einen Term u(m)u(m) beschrieben werden.

Unter Berücksichtigung, dass mm in Tonnen, u(m)u(m) in Kilometern pro Sekunde und tt in

Sekunden gemessen wird, wird im Folgenden auf das Mitführen der Einheiten verzichtet.

  1. Aus dem Impulserhaltungssatz kann man die Differenzialgleichung mu(m)=4m\cdot u'(m)=-4 folgern.

    Ermitteln Sie die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende

    Anfangswertproblem.

    [Mo¨gliches Ergebnis:u(m)=4ln(500m)]\left[\text{Mögliches Ergebnis}: u(m)=4\cdot \ln\left(\dfrac{500}{m}\right)\right]

  2. Die Masse mm der Rakete hängt von der Beschleunigungszeit tt ab und wird deshalb durch den Term m(t)m(t) beschrieben. Während der ersten 900900 Sekunden nimmt die Masse der Rakete pro Sekunde um 0,50{,}5 Tonnen ab, also gilt:

    m(t)=5000,5tm(t)=500- 0{,}5\cdot t für 0t9000\leq t \leq 900.

    Die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit tt wird mit v(t)v(t) bezeichnet, wobei für die ersten 900900 Sekunden gilt: v(t)=u(m(t))v(t)= u \left(m(t)\right).

    Zeigen Sie, dass gilt: v(t)=4ln(10,001t)v(t)=- 4\cdot\ln(1- 0{,}001 \cdot t).

    Ermitteln Sie zudem den Zeitpunkt t1t_1, zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von 8  kms8\; \mathrm{\dfrac{km}{s}} hat. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl.

  3. Berechnen Sie das Integral 0900v(t)  dt\displaystyle \int_0^{900} v(t)\;\mathrm{d}t (mit v(t)v(t) aus Teilaufgabe b) z. B. mithilfe einer geeigneten Substitution.

    Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.


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