Ermittle die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende Anfangswertproblem

Gegeben ist $m\cdot u^{\prime }(m)=-4$.

$\Rightarrow m\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}m}}=-4\Rightarrow \mathrm{d}u=-4{\displaystyle \frac{1}{m}}\mathrm{d}m$

Integriere auf beiden Seiten:

$u(m)=-4\ln m+C$

Zu Beginn ist $u(500)=0\Rightarrow 0=-4\ln 500+C\Rightarrow C=4\ln 500$.

Dann folgt für $u(m)=-4\ln m+4\ln 500=4\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{500}{m}}\right)✓$

Zeige, dass gilt: $v(t)=-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)$

Ermittle zudem den Zeitpunkt $t_1$, zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von $8{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$ hat

Bekannt sind:

$m(t)=500-\mathrm{0,5}\cdot t$ und $v(t)=u(m(t))$. Weiterhin ist $u(m)=4\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{500}{m}}\right)$.

$\Rightarrow v(t)=4\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{500}{m(t)}}\right)$

Setze $m(t)$ ein:

$\Rightarrow v(t)=4\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{500}{500-\mathrm{0,5}\cdot t}}\right)$

Somit ist $v(t)=-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)✓$.

Ermittle zudem den Zeitpunkt $t_1$, zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von $8{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$ hat

$v(t)=-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\Rightarrow 8=-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)$

Nach rund $865$ Sekunden hat die Rakete eine Geschwindigkeit von $8{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$ erreicht.

Berechne das Integral $${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t}$$ (mit $v(t)$ aus Teilaufgabe b)

z. B. mithilfe einer geeigneten Substitution

Gegeben ist $${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t={\displaystyle {\int }_0^{900}-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\mathrm{d}t}}$$

$${\displaystyle 4{\int }_0^{900}-\ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\mathrm{d}t}$$

Setze $z=1-\mathrm{0,001}\cdot t\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}=-\mathrm{0,001}\Rightarrow \mathrm{d}z=-\mathrm{0,001}\mathrm{d}t$

und erweitere das Integral mit ${\displaystyle \frac{\mathrm{0,001}}{\mathrm{0,001}}}$.

$${\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,001}}}{\int }_0^{900}-\mathrm{0,001}\ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\mathrm{d}t={\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,001}}}{\int }_0^{900}\ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\cdot (-\mathrm{0,001})\mathrm{d}t={\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,001}}}{\int }_0^{900}\ln z\mathrm{d}z=4000{\int }_0^{900}\ln z\mathrm{d}z}}}$$

Die Stammfunktion von $f(x)=\ln x$ ist $F(x)=x\cdot \ln x-x+C$.

Dann folgt für das Integral:

$${\displaystyle 4000{\int }_0^{900}z\mathrm{d}z=4000{[z\ln z-z]}_0^{900}}$$

$\stackrel{\stackrel{}{\text{Resubstitution}z=1-\mathrm{0,001}\cdot t}}{\to }4000{[(1-\mathrm{0,001}\cdot t)\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)-(1-\mathrm{0,001}\cdot t)]}_0^{900}$

Setze die Werte der oberen ($900$) und der unteren Grenze ($0$) in die Stammfunktion ein und ziehe vom Ergebnis der oberen Grenze das Ergebnis der unteren Grenze ab.

$${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t=4000\cdot [((1-\mathrm{0,9})\cdot \ln (1-\mathrm{0,9})-(1-\mathrm{0,9}))-(1\cdot \ln 1-1)]=4000\cdot [\mathrm{0,1}\cdot \ln (\mathrm{0,1})-\mathrm{0,1}-(0-1)]=4000\cdot [\mathrm{0,1}\cdot \ln (\mathrm{0,1})+\mathrm{0,9}]\approx 2679}$$

Ergebnis (gerundet auf eine ganze Zahl) : $${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t\approx 2679}$$

Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang

Das Integral $${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t\approx 2679}$$ ist die Strecke in Kilometern, die die Rakete innerhalb der ersten $900$ Sekunden zurückgelegt hat.