Ermittle die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende Anfangswertproblem

Gegeben ist $m\cdot u^{\mathrm{\prime }}(m)=-4m\backslash cdot\; u\text{'}(m)=-4$.

$\Rightarrow m\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}m}}=-4\Rightarrow \mathrm{d}u=-4{\displaystyle \frac{1}{m}}\mathrm{d}m\backslash Rightarrow\backslash ;m\backslash cdot\; \backslash dfrac\{\backslash mathrm\{d\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}m\}=-4\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash mathrm\{d\}u=-4\backslash dfrac\{1\}\{m\}\backslash mathrm\{d\}m$

Integriere auf beiden Seiten:

$u(m)=-4\ln m+Cu(m)=-4\backslash ln\; m\; +C$

Zu Beginn ist $u(500)=0\Rightarrow 0=-4\ln 500+C\Rightarrow C=4\ln 500u(500)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=-4\backslash ln\; 500\; +C\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;C=4\backslash ln\; 500$.

Dann folgt für $u(m)=-4\ln m+4\ln 500=4\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{500}{m}}\right)\mathrm{✓}u(m)=-4\backslash ln\; m\; +4\backslash ln\; 500=4\backslash cdot\; \backslash ln\backslash left(\backslash dfrac\{500\}\{m\}\backslash right)\backslash ;\backslash checkmark$

Zeige, dass gilt: $v(t)=-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)v(t)=-\; 4\backslash cdot\backslash ln(1-\; 0\{,\}001\; \backslash cdot\; t)$

Ermittle zudem den Zeitpunkt $t_{1}t\_1$, zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von $8{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}8\; \backslash ;\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{km\}\{s\}\}$ hat

Bekannt sind:

$m(t)=500-\mathrm{0,5}\cdot tm(t)=500-\; 0\{,\}5\backslash cdot\; t$ und $v(t)=u(m(t))v(t)=\; u\; \backslash left(m(t)\backslash right)$. Weiterhin ist $u(m)=4\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{500}{m}}\right)u(m)=4\backslash cdot\; \backslash ln\backslash left(\backslash dfrac\{500\}\{m\}\backslash right)$.

$\Rightarrow v(t)=4\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{500}{m(t)}}\right)\backslash Rightarrow\backslash ;v(t)=4\backslash cdot\; \backslash ln\backslash left(\backslash dfrac\{500\}\{m(t)\}\backslash right)$

Setze $m(t)m(t)$ ein:

$\Rightarrow v(t)=4\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{500}{500-\mathrm{0,5}\cdot t}}\right)\backslash Rightarrow\backslash ;v(t)=4\backslash cdot\; \backslash ln\backslash left(\backslash dfrac\{500\}\{500-\; 0\{,\}5\backslash cdot\; t\}\backslash right)$

Somit ist $v(t)=-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\mathrm{✓}v(t)=-4\backslash cdot\; \backslash ln(1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t)\backslash ;\backslash checkmark$.

Ermittle zudem den Zeitpunkt $t_{1}t\_1$, zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von $8{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}8\; \backslash ;\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{km\}\{s\}\}$ hat

$v(t)=-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\Rightarrow 8=-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)v(t)=-4\backslash cdot\; \backslash ln(1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;8=-4\backslash cdot\; \backslash ln(1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t)$

Nach rund $865865$ Sekunden hat die Rakete eine Geschwindigkeit von $8{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}8\; \backslash ;\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{km\}\{s\}\}$ erreicht.

Berechne das Integral ${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t}\backslash displaystyle\; \backslash int\_0^\{900\}\; v(t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$ (mit $v(t)v(t)$ aus Teilaufgabe b)

z. B. mithilfe einer geeigneten Substitution

Gegeben ist ${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t={\displaystyle {\int }_0^{900}-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\mathrm{d}t}}\backslash displaystyle\; \backslash int\_0^\{900\}\; v(t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t=\backslash displaystyle\; \backslash int\_0^\{900\}\; -4\backslash cdot\; \backslash ln(1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$

${\displaystyle 4{\int }_0^{900}-\ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\mathrm{d}t}\backslash displaystyle\; 4\backslash int\_0^\{900\}\; -\backslash ln(1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$

Setze $z=1-\mathrm{0,001}\cdot t\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}=-\mathrm{0,001}\Rightarrow \mathrm{d}z=-\mathrm{0,001}\mathrm{d}tz=1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{\backslash mathrm\{d\}z\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}=-0\{,\}001\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash mathrm\{d\}z=-0\{,\}001\backslash mathrm\{d\}t$

und erweitere das Integral mit ${\displaystyle \frac{\mathrm{0,001}}{\mathrm{0,001}}}\backslash dfrac\{0\{,\}001\}\{0\{,\}001\}$.

${\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,001}}{\int }_0^{900}-\mathrm{0,001}\ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,001}}{\int }_0^{900}\ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)\cdot (-\mathrm{0,001})\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,001}}{\int }_0^{900}\ln z\mathrm{d}z=4000{\int }_0^{900}\ln z\mathrm{d}z}}}\backslash displaystyle\; \backslash dfrac\{4\}\{0\{,\}001\}\backslash int\_0^\{900\}\; -0\{,\}001\backslash ln(1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t\backslash \backslash =\backslash displaystyle\; \backslash dfrac\{4\}\{0\{,\}001\}\backslash int\_0^\{900\}\; \backslash ln(1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t)\backslash cdot(-0\{,\}001)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t\backslash \backslash =\backslash displaystyle\; \backslash dfrac\{4\}\{0\{,\}001\}\backslash int\_0^\{900\}\; \backslash ln\; z\backslash ;\backslash mathrm\{d\}z=4000\backslash int\_0^\{900\}\; \backslash ln\; z\backslash ;\backslash mathrm\{d\}z$

Die Stammfunktion von $f(x)=\ln xf(x)=\backslash ln\; x$ ist $F(x)=x\cdot \ln x-x+CF(x)=\; x\backslash cdot\; \backslash ln\; x\; -x+\; C$.

Dann folgt für das Integral:

${\displaystyle 4000{\int }_0^{900}z\mathrm{d}z=4000{[z\ln z-z]}_0^{900}}\backslash displaystyle4000\backslash int\_0^\{900\}\; z\backslash ;\backslash mathrm\{d\}z=4000\backslash left[z\backslash ln\; z-z\backslash right]\_0^\{900\}$

$\stackrel{\text{Resubstitution}z=1-\mathrm{0,001}\cdot t}{\to }4000{[(1-\mathrm{0,001}\cdot t)\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)-(1-\mathrm{0,001}\cdot t)]}_0^{900}\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Resubstitution\}\backslash ;z=1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t\}4000\backslash left[(1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t)\backslash cdot\backslash ln\; (1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t)-(1-\; 0\{,\}001\backslash cdot\; t)\backslash right]\_0^\{900\}$

Setze die Werte der oberen ($900900$) und der unteren Grenze ($00$) in die Stammfunktion ein und ziehe vom Ergebnis der oberen Grenze das Ergebnis der unteren Grenze ab.

${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t=4000\cdot [((1-\mathrm{0,9})\cdot \ln (1-\mathrm{0,9})-(1-\mathrm{0,9}))-(1\cdot \ln 1-1)]=4000\cdot [\mathrm{0,1}\cdot \ln (\mathrm{0,1})-\mathrm{0,1}-(0-1)]=4000\cdot [\mathrm{0,1}\cdot \ln (\mathrm{0,1})+\mathrm{0,9}]\approx 2679}\backslash displaystyle\; \backslash int\_0^\{900\}\; v(t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t=4000\backslash cdot[\backslash left((1-\; 0\{,\}9)\backslash cdot\backslash ln\; (1-\; 0\{,\}9)-(1-\; 0\{,\}9)\backslash right)-\backslash left(1\backslash cdot\backslash ln\; 1-1\backslash right)]\backslash \backslash =4000\backslash cdot[0\{,\}1\backslash cdot\backslash ln\; (0\{,\}1)-0\{,\}1-(0-1)]\backslash \backslash =4000\backslash cdot[0\{,\}1\backslash cdot\backslash ln\; (0\{,\}1)+0\{,\}9]\backslash approx2679$

Ergebnis (gerundet auf eine ganze Zahl) : ${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t\approx 2679}\backslash displaystyle\; \backslash int\_0^\{900\}\; v(t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t\backslash approx\; 2679$

Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang

Das Integral ${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t\approx 2679}\backslash displaystyle\; \backslash int\_0^\{900\}\; v(t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t\backslash approx2679$ ist die Strecke in Kilometern, die die Rakete innerhalb der ersten $900900$ Sekunden zurückgelegt hat.