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Eine spezielle Rakete mit der Masse m=500 Tonnen befindet sich in Ruhe in einem Bezugssystem, in welchem sie keine Kraft von einem anderen Körper erfährt. Ab dem Zeitpunkt t=0 wird die Rakete nach dem Rückstoßprinzip in Flugrichtung beschleunigt, indem kontinuierlich ein Teil ihrer Masse in Form von Treibstoff mit einer Ausströmgeschwindigkeit 4,0kms relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird. Folglich hängt die Geschwindigkeit u der Rakete von der abnehmenden Masse m der Rakete ab und kann also durch einen Term u(m) beschrieben werden.

Unter Berücksichtigung, dass m in Tonnen, u(m) in Kilometern pro Sekunde und t in

Sekunden gemessen wird, wird im Folgenden auf das Mitführen der Einheiten verzichtet.

  1. Aus dem Impulserhaltungssatz kann man die Differenzialgleichung mu(m)=4 folgern.

    Ermitteln Sie die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende

    Anfangswertproblem.

    [Mögliches Ergebnis:u(m)=4ln(500m)]

  2. Die Masse m der Rakete hängt von der Beschleunigungszeit t ab und wird deshalb durch den Term m(t) beschrieben. Während der ersten 900 Sekunden nimmt die Masse der Rakete pro Sekunde um 0,5 Tonnen ab, also gilt:

    m(t)=5000,5t für 0t900.

    Die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit t wird mit v(t) bezeichnet, wobei für die ersten 900 Sekunden gilt: v(t)=u(m(t)).

    Zeigen Sie, dass gilt: v(t)=4ln(10,001t).

    Ermitteln Sie zudem den Zeitpunkt t1, zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von 8kms hat. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl.

  3. Berechnen Sie das Integral 0900v(t)dt (mit v(t) aus Teilaufgabe b) z. B. mithilfe einer geeigneten Substitution.

    Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.


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