Eine spezielle Rakete mit der Masse Tonnen befindet sich in Ruhe in einem Bezugssystem, in welchem sie keine Kraft von einem anderen Körper erfährt. Ab dem Zeitpunkt wird die Rakete nach dem Rückstoßprinzip in Flugrichtung beschleunigt, indem kontinuierlich ein Teil ihrer Masse in Form von Treibstoff mit einer Ausströmgeschwindigkeit relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird. Folglich hängt die Geschwindigkeit der Rakete von der abnehmenden Masse der Rakete ab und kann also durch einen Term beschrieben werden.
Unter Berücksichtigung, dass in Tonnen, in Kilometern pro Sekunde und in
Sekunden gemessen wird, wird im Folgenden auf das Mitführen der Einheiten verzichtet.
Aus dem Impulserhaltungssatz kann man die Differenzialgleichung folgern.
Ermitteln Sie die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende
Anfangswertproblem.
Die Masse der Rakete hängt von der Beschleunigungszeit ab und wird deshalb durch den Term beschrieben. Während der ersten Sekunden nimmt die Masse der Rakete pro Sekunde um Tonnen ab, also gilt:
für .
Die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit wird mit bezeichnet, wobei für die ersten Sekunden gilt: .
Zeigen Sie, dass gilt: .
Ermitteln Sie zudem den Zeitpunkt , zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von hat. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl.
Berechnen Sie das Integral (mit aus Teilaufgabe b) z. B. mithilfe einer geeigneten Substitution.
Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
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