Teil 1 ohne Hilfsmittel Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit der

Definitionsmenge $D_{f} = [- 1; + \infty [$ .

Der Graph von $f$ schneidet die x-Achse genau einmal, ist im Intervall $[4; + \infty [$ streng monoton fallend und wird mit $G_{f}$

bezeichnet. Ein Ausschnitt von $G_{f}$ ist in

der nebenstehenden Abbildung zu sehen.

Betrachtet wird nun die Funktion

$F : x \mapsto \int_{1}^{x} f (t) d t$ mit der Definitionsmenge $D_{F} = [- 1; \infty [$ .

Geben Sie die Nullstellen von $F$ an. Runden Sie auf eine Nachkommastelle, sofern nötig.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Gib die Nullstellen von $F$ an
Jede Integralfunktion hat eine Nullstelle an ihrer unteren Grenze $\Rightarrow x_{1} = 1$ .
Die Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Punkt $(2 | 0)$ . Demnach ist $| \int_{1}^{2} f (t) d t | = \int_{2}^{3} f (t) d t$ $\Rightarrow \int_{1}^{3} f (t) d t = 0$
Die zweite Nullstelle von $F$ ist dann $x_{2} = 3$ .
Die folgende Abbildung veranschaulicht den Sachverhalt.
(Nicht in der Aufgabenstellung gefordert.)
Flächenbilanz ist gleich null
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Jede Integralfunktion hat eine Nullstelle an ihrer unteren Grenze.
Die Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Punkt $(2 | 0)$ . Was folgt daraus für den Betrag des Intergrals $| \int_{1}^{2} f (t) d t |$ ?
Bestimmen Sie mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von $G_{F}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von $G_{F}$
Nimm die NEW-Regel als Hilfe.
$G_{f}$ hat einen $T P$ bei $x = 0 \Rightarrow G_{F}$ hat einen WP bei $x = 0$ .
$G_{f}$ hat einen $H P$ bei $x = 4 \Rightarrow G_{F}$ hat einen WP bei $x = 4$ .
$G_{f}$ hat einen $W P$ bei $x = 2 \Rightarrow G_{F}$ hat ein Extremum bei $x = 2$ .
Die folgende Abbildung veranschaulicht den Sachverhalt.
(Nicht in der Aufgabenstellung gefordert.)
Der grüne Graph gehört zur Funktion $f (x)$ .
Der orangefarbige Graph gehört zu $f^{'} (x)$ .
Der blaue Graph gehört zur Integralfunktion $F (x)$ .
$G_{f}, G_{f^{'}}$ und $G_{F}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Nimm die NEW-Regel als Hilfe.
Begründen Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:
„ $G_{F}$ ist im Intervall $[4; + \infty [$ rechtsgekrümmt.“
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen
Begründe, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:
„ $G_{F}$ ist im Intervall $[4; + \infty [$ rechtsgekrümmt.“
Da der Graph $G_{f}$ bei etwa $x = 5,5$ einen Wendepunkt hat, ist die Aussage falsch, denn bei einem Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Der Graph $G_{f}$ hat bei etwa $x = 5,5$ einen Wendepunkt. Was bedeutet das für das Krümmungsverhalten?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Gib die Nullstellen von F an

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von GF

Hast du eine Frage oder Feedback?

„GF ist im Intervall [4;+∞[ rechtsgekrümmt.“

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib die Nullstellen von $F$ an

Bestimme mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von $G_{F}$

„ $G_{F}$ ist im Intervall $[4; + \infty [$ rechtsgekrümmt.“