Teil 1 ohne Hilfsmittel Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit der Definitionsmenge $D_{f} = [- 1; + \infty [$ .

Der Graph von $f$ schneidet die x-Achse genau einmal, ist im Intervall $[4; + \infty [$ streng monoton fallend und wird mit $G_{f}$ bezeichnet. Ein Ausschnitt von $G_{f}$ ist in der nebenstehenden Abbildung zu sehen.

Betrachtet wird nun die Funktion

$F : x \mapsto \int_{1}^{x} f (t) d t$ mit der Definitionsmenge $D_{F} = [- 1; \infty [$ .

Geben Sie die Nullstellen von $F$ an. Runden Sie auf eine Nachkommastelle, sofern nötig. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Gib die Nullstellen von $F$ an
Jede Integralfunktion hat eine Nullstelle an ihrer unteren Grenze $\Rightarrow x_{1} = 1$ .
Die Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Punkt $(2 | 0)$ . Demnach ist $| \int_{1}^{2} f (t) d t | = \int_{2}^{3} f (t) d t$ $\Rightarrow \int_{1}^{3} f (t) d t = 0$
Die zweite Nullstelle von $F$ ist dann $x_{2} = 3$ .
Die folgende Abbildung veranschaulicht den Sachverhalt.
(Nicht in der Aufgabenstellung gefordert.)
Flächenbilanz ist gleich null
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Jede Integralfunktion hat eine Nullstelle an ihrer unteren Grenze.
Die Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Punkt $(2 | 0)$ . Was folgt daraus für den Betrag des Intergrals $| \int_{1}^{2} f (t) d t |$ ?
Bestimmen Sie mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von $G_{F}$ . (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von $G_{F}$
Es ist $F^{'} (x) = f (x)$ , sodass das Monotonieverhalten am gegebenen Funktionsgraphen abgelesen werden kann.
$G_{f}$ verläuft für $- 1 \leq x < 2$ unterhalb der x-Achse und für $x > 2$ oberhalb.
Bei $x = 2$ liegt eine Nullstelle von $f (x)$ vor. Der Graph von $G_{F}$ ist im Intervall $[- 1; 2]$ streng monoton fallend und im Intervall $[2; \infty [$ streng monoton steigend
$\Rightarrow$ Tiefpunkt bei $x = 2$ und ein Randhochpunkt bei $x = - 1$ .
Aus den dargestellten Eigenschaften folgt: bei $x = 2$ liegt der absolute Tiefpunkt von $G_{F}$ .
Die folgende Abbildung veranschaulicht den Sachverhalt.
(Nicht in der Aufgabenstellung gefordert.)
Der grüne Graph gehört zur Funktion $f (x)$ .
Der orangefarbige Graph gehört zu $f^{'} (x)$ .
Der blaue Graph gehört zur Integralfunktion $F (x)$ .
$G_{f}, G_{f^{'}}$ und $G_{F}$
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Es ist $F^{'} (x) = f (x)$ , sodass das Monotonieverhalten am gegebenen Funktionsgraphen abgelesen werden kann.
Begründen Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:
„ $G_{F}$ ist im Intervall $[4; + \infty [$ rechtsgekrümmt.“ (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen
Begründe, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist: „ $G_{F}$ ist im Intervall $[4; + \infty [$ rechtsgekrümmt.“
Es ist $F^{''} (x) = f^{'} (x)$ , sodass aus dem Monotonieverhalten von $G_{f}$ auf das Krümmungsverhalten von $G_{F}$ geschlossen werden kann.
Gegeben: $G_{f}$ ist im Intervall $[4; + \infty [$ streng monoton fallend.
In diesem Intervall ist $f^{'} (x) < 0$ und somit ist auch $F^{''} (x) < 0$ .
Ist die zweite Ableitung kleiner null, dann ist $G_{F}$ in diesem Intervall rechtsgekrümmt. Die Aussage ist wahr.
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Es ist $F^{''} (x) = f^{'} (x)$ , sodass aus dem Monotonieverhalten von $G_{f}$ auf das Krümmungsverhalten von $G_{F}$ geschlossen werden kann.

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Gib die Nullstellen von F an

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Bestimme mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von GF

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Begründe, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist: „GF ist im Intervall [4;+∞[ rechtsgekrümmt.“

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Gib die Nullstellen von $F$ an

Bestimme mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von $G_{F}$

Begründe, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist: „ $G_{F}$ ist im Intervall $[4; + \infty [$ rechtsgekrümmt.“