Folgere unmittelbar aus der Differenzialgleichung den Zeitpunkt $t_{max}$ im Beobachtungszeitraum, an dem die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet maximal war

Bekannt ist: "Im Jahr 2003 wurden durchgehend mehr als $5$ Gammaeulen pro Hektar beobachtet."

Weiterhin gilt: $-10\dot{a}=(2t-11)\cdot (a-2)$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $\dot{a}(t)=0$.

$\Rightarrow 0=(2t-11)\cdot (a-2)$

Da $a>5$ ist, folgt $a-2>0\Rightarrow 2t-11=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{11}{2}}=\mathrm{5,5}$

Die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet ist nach $\mathrm{5,5}$ Monaten maximal.

Bestimme die allgemeine Lösung $a(t)$ der obigen Differenzialgleichung für $a(t)>2$

Es folgt: $-10\cdot \ln (a-2)+C_1=t^2-11t+C_2\Rightarrow \ln (a-2)=-\mathrm{0,1}\cdot t^2+\mathrm{1,1}\cdot t+C_3$

Die allgemeine Lösung $a(t)$ der obigen Differenzialgleichung für $a(t)>$2 ist $a(t)=C\cdot e^{-\mathrm{0,1}\cdot t^2+\mathrm{1,1}\cdot t}+2$.

Überprüfung:

$-10\dot{a}=(2t-11)\cdot (a-2)$

Berechne zunächst die linke Seite der Differenzialgleichung:

$-10\dot{a}=-10\cdot C\cdot e^{-\mathrm{0,1}\cdot t^2+\mathrm{1,1}\cdot t}\cdot (-\mathrm{0,2}t+\mathrm{1,1})=C\cdot e^{-\mathrm{0,1}\cdot t^2+\mathrm{1,1}\cdot t}\cdot (2t-11)$

Für die rechte Seite der Differenzialgleichung gilt:

$(2t-11)\cdot (C\cdot e^{-\mathrm{0,1}\cdot t^2+\mathrm{1,1}\cdot t}+2-2)=C\cdot e^{-\mathrm{0,1}\cdot t^2+\mathrm{1,1}\cdot t}\cdot (2t-11)$

Also ist die linke Seite gleich der rechten Seite und $a(t)$ erfüllt die gegebene Differenzialgleichung.