Teil 2 mit Hilfsmitteln Analysis I

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{x^{2} + 6 x + 12}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_{f} = ℝ \ {- 4; - 2}$ . Der Graph von $f$ in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Zeigen Sie, dass $f$ keine Nullstellen besitzt, und geben Sie für jede Asymptote von $G_{f}$ jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Zeige, dass $f$ keine Nullstellen besitzt
Gegeben ist $f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 12}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ .
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f (x) = 0$ $\Rightarrow 0 = x^{2} + 6 x + 12$
Die quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 6$ und $q = 12$ ein.
$=$ $- \frac{6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{6}{2})}^{2} - 12}$
$=$ $- 3 \pm \sqrt{9 - 12}$
$=$ $- 3 \pm \sqrt{- 3}$
Da der Radikand negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung, d.h. es gibt keine Nullstelle.
Gib für jede Asymptote von $G_{f}$ jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an
1. Senkrechte Asymptoten
Bei Polstellen betrachtet man die Nullstellen des Nenners von $f$ :
$0 = (x + 2) \cdot (x + 4) \Rightarrow x_{P_{1}} = - 2$ und $x_{P_{2}} = - 4$
Betrachte die Vielfachheit der Nullstelle:
$\Rightarrow$ ungerade Vielfachheit von $x_{P_{1}} = - 2 \Rightarrow$ senkrechte Asymptote bei $x_{P_{1}} = - 2$ mit Vorzeichenwechsel.
$\Rightarrow$ ungerade Vielfachheit von $x_{P_{2}} = - 4 \Rightarrow$ senkrechte Asymptote bei $x_{P_{2}} = - 4$ mit Vorzeichenwechsel.
2. Waagrechte Asymptoten
Betrachte den Zählergrad und den Nennergrad von $f$ :
Der Zählergrad ist gleich dem Nennergrad ist gleich $2$ $\Rightarrow$ waagrechte Asymptote.
Die waagrechte Asymptote ist gegeben durch das Verhältnis der führenden Koeffizienten $\Rightarrow \frac{1}{1} = 1$ . Es gibt eine waagrechte Asymptote bei einem
y-Wert von $y = 1$ .
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Teil 1
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f (x) = 0$ $\Rightarrow$ setze den Zähler gleich null und löse die quadratische Gleichung.
Teil 2
Bei Polstellen betrachtet man die Nullstellen des Nenners von $f$ $\Rightarrow x_{P}$ .
Ungerade Vielfachheit der Nullstelle $x_{P} \Rightarrow$ senkrechte Asymptote bei $x_{P}$ mit Vorzeichenwechsel.

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von $f$ .

$[Mögliches Teilergebnis: f^{'} (x) = \frac{- 8 \cdot (x + 3)}{(x + 2)^{2} \cdot (x + 4)^{2}}]$ (7 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten berechnen

Untersuche das Monotonieverhalten von $f$

Berechne $f^{'} (x)$ mit der Quotientenregel:

Der Nenner ist $(x + 2) \cdot (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8$ .

$f^{'} (x) = \frac{(2 x + 6) \cdot (x + 2) \cdot (x + 4) - (x^{2} + 6 x + 12) \cdot (2 x + 6)}{(x + 2)^{2} \cdot (x + 4)^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{(2 x + 6) \cdot (x^{2} + 6 x + 8 - x^{2} - 6 x - 12)}{(x + 2)^{2} \cdot (x + 4)^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{2 \cdot (x + 3) \cdot (- 4)}{(x + 2)^{2} \cdot (x + 4)^{2}} = \frac{- 8 \cdot (x + 3)}{(x + 2)^{2} \cdot (x + 4)^{2}} ✓$

$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - 3$

Die Polstellen $x_{P_{2}} = - 4$ und $x_{P_{1}} = - 2$ markieren den Rand des jeweiligen Monotonieintervalls.

Einige berechnete Werte von $f^{'} (x)$ :

	$x = - 5$	$x = - 3,5$	$x = - 3$	$x = - 2,5$	$x = - 1$
$f^{'} (x)$	$\frac{16}{9} > 0$	$\approx 7,11 > 0$	$0$	$\approx - 7,11 < 0$	$- \frac{16}{9} < 0$

Damit erhält man folgende Monotonietabelle:

	$x \in] - \infty; - 4 [$	$x \in] - 4; - 3]$	$x = - 3$	$x \in [- 3; - 2 [$	$x \in] - 2; \infty [$
VZ von $f^{'} (x)$	$+$	$+$		$-$	$-$
Monotonieverhalten	$↗$	$↗$		$↘$	$↘$
HP / TP			$H P$

Demnach ist $f (x)$ im Intervall $] - \infty; - 4 [$ streng monoton steigend, im Intervall $] - 4; - 3]$ streng monoton steigend, im Intervall $[- 3; - 2 [$ streng monoton fallend und im Intervall $] - 2; \infty [$ streng monoton fallend.

Anmerkung: Polstellen mit einem Vorzeichenwechsel führen zu einem Wechsel im Monotonieverhalten. An den Polstellen ist $f (x)$ nicht definiert, d.h. diese Stellen müssen in den entsprechenden Intervallen ausgenommen werden.

Hier wird eine offene Klammer $]$ bzw. $[$ gesetzt.

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Zeichnen Sie den Graphen von $f$ zusammen mit seinen Asymptoten für $- 7 \leq x \leq 3$ unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. (1 LE = 1 cm) (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Zeichne den Graphen von $f$ zusammen mit seinen Asymptoten für $- 7 \leq x \leq 3$ unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem
Einige geeignete Funktionswerte:
x
$- 7$
$- 5$
$- 4,5$
$- 4$
$- 3,5$
$- 3$
$- 2,5$
$- 2$
$- 1,5$
$- 1$
$0$
$1$
$3$
y
$1,27$
$2,33$
$4,2$
$- 4,33$
$- 3$
$- 4,33$
$4,2$
$2,33$
$1,5$
$1,27$
$1,11$
$P o l$
$H P$
$P o l$
$S_{y}$
$G_{f}$ mit Asymptoten
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Berechne einige geeignete Funktionswerte und zeichne den Graphen.
Gegeben ist die Funktion $F : x \mapsto \int_{- 1}^{x} f (t) d t$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_{F} \subset D_{f}$ .
1. Begründen Sie, dass gilt: $D_{F} =] - 2; + \infty [$ . Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion. (4 BE)
2. Berechnen Sie den exakten Wert von $F (2)$ .
$[Mögliches Teilergebnis: \int f (x) d x = x + 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) + C]$ (7 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Partialbruchzerlegung
1 Begründe, dass gilt: $D_{F} =] - 2; + \infty [$
Es ist $f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 12}{(x + 2) \cdot (x + 4)} = \frac{x^{2} + 6 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$ .
Polynomdivision führt auf:
$f (x) = 1 + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 8} = 1 + \frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$
$F (x) = \int_{- 1}^{x} f (t) d t = F (x) - F (- 1)$
Bestimme eine Stammfunktion von $f$ :
$F (x) = \int (1 + \frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}) d x$
Zerlegung in zwei Integrale:
$F (x) = \int 1 d x + \int (\frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}) d x$
$\int 1 d x = x + C_{1}$
Wende für das zweite Integral eine Partialbruchzerlegung an:
$\frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ $=$ $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 4}$ $\cdot (x + 2) \cdot (x + 4)$
$4$ $=$ $A \cdot (x + 4) + B \cdot (x + 2)$
$4$ $=$ $A x + 4 A + B x + 2 B$
$4$ $=$ $(A + B) \cdot x + 4 A + 2 B$
Koeffizientenvergleich liefert:
$A + B = 0 \Rightarrow B = - A$ und $4 A + 2 B = 4 \Rightarrow 4 A + 2 (- A) = 4 \Rightarrow 2 A = 4 \Rightarrow A = 2$ und $B = - 2$
$\Rightarrow \frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)} = \frac{2}{x + 2} - \frac{2}{x + 4}$
$\Rightarrow \int (\frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}) d x = \int \frac{2}{x + 2} d x - \int \frac{2}{x + 4} d x$
$\int \frac{2}{x + 2} d x = 2 \cdot \ln | x + 2 | + C_{2}$
$\int \frac{2}{x + 4} d x = 2 \cdot \ln | x + 4 | + C_{3}$
$\int (\frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}) d x = 2 \cdot \ln | x + 2 | + C_{2} - (2 \cdot \ln | x + 4 | + C_{3}) = 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) + C_{4}$
Dann erhält man die Stammfunktion:
$F (x) = \int (1 + \frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}) d x = x + C_{1} + 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) + C_{4} = x + 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) + C$
Weiterhin ist $F (x) = \int_{- 1}^{x} f (t) d t = F (x) - F (- 1)$
$F (- 1) = - 1 + 2 \cdot \ln (| \frac{- 1 + 2}{- 1 + 4} |) = - 1 + 2 \cdot \ln (\frac{1}{3}) = - 1 - 2 \cdot \ln 3$
Somit folgt dann:
$F (x) = \int_{- 1}^{x} f (t) d t = x + 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) - (- 1 - 2 \cdot \ln 3)$
$F (x) = x + 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) + 1 + 2 \cdot \ln 3$
$(F (x) \approx x + 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) + 3,197)$
Die Funktion $F$ ist nicht definiert an den Stellen $x = - 4$ und $x = - 2$ .
Die Funktion $F : x \mapsto \int_{- 1}^{x} f (t) d t$ soll die maximale Definitionsmenge $D_{F} \subset D_{f}$ haben. Da $x = - 1$ zum Definitionsbereich gehören muss, ist das größte Intervall in dem $- 1$ liegt, das Intervall $] - 2; + \infty [$ . Also ist $D_{F} =] - 2; + \infty [$ .
Bestimme außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion
Anzahl der Extremstellen
Es gilt: $F^{'} (x) = f (x)$ und $f (x)$ ist für alle $x \in D_{f}$ ungleich null. Damit ist auch $F^{'} (x)$ für alle $x \in D_{F}$ ungleich null $\Rightarrow$ es gibt keine Extrema.
Anzahl der Nullstellen
Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle.
$\Rightarrow F (x)$ hat an der Stelle $x = - 1$ eine Nullstelle. Da für $x \in] - 2; \infty [F (x)$ streng monoton steigend ist, gibt es keine weiteren Nullstellen in diesem Intervall, d.h. die Anzahl der Nullstellen ist eins.
2. Berechnen Sie den exakten Wert von F(2)
$F (2) = 2 + 2 \cdot \ln (| \frac{2 + 2}{2 + 4} |) + 1 + 2 \cdot \ln 3 = 2 + 2 \cdot \ln (\frac{2}{3}) + 1 + 2 \cdot \ln 3$
$F (2) = 3 + 2 \cdot \ln 2 \approx 4,386$
Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung.
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1. Begründe, dass gilt: $D_{F} =] - 2; + \infty [$
Zerlege das Integral mithilfe einer Polynomdivision in $2$ Integrale. Die Stammfunktion für das erste Integral ist einfach zu bestimmen. Die Stammfunktion für das zweite Integral benötigt eine Partialbruchzerlegung.
Es ist $F (x) = \int_{- 1}^{x} f (t) d t = F (x) - F (- 1)$ .
Die gefundene Funktion $F$ ist nicht definiert an den Stellen $x = - 4$ und $x = - 2.$ Die Funktion $F : x \mapsto \int_{- 1}^{x} f (t) d t$ soll die maximale Definitionsmenge $D_{F} \subset D_{f}$ haben.
Was folgt daraus, wenn $x = - 1$ zum Definitionsbereich gehören muss?
Anzahl der Extremstellen
Es gilt: $F^{'} (x) = f (x)$ und $f (x)$ ist für alle $x \in D_{f}$ ungleich null.
Was folgt daraus für $F^{'} (x)$ ? Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus?
Anzahl der Nullstellen
Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle.
2. Berechnen Sie den exakten Wert von F(2)
Setze $x = 2$ in $F (x)$ ein:

x	$- 7$	$- 5$	$- 4,5$	$- 4$	$- 3,5$	$- 3$	$- 2,5$	$- 2$	$- 1,5$	$- 1$	$0$	$1$	$3$
y	$1,27$	$2,33$	$4,2$		$- 4,33$	$- 3$	$- 4,33$		$4,2$	$2,33$	$1,5$	$1,27$	$1,11$
				$P o l$		$H P$		$P o l$			$S_{y}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 6$ und $q = 12$ ein.
	$=$	$- \frac{6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{6}{2})}^{2} - 12}$
	$=$	$- 3 \pm \sqrt{9 - 12}$
	$=$	$- 3 \pm \sqrt{- 3}$

$\frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$	$=$	$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 4}$	$\cdot (x + 2) \cdot (x + 4)$
$4$	$=$	$A \cdot (x + 4) + B \cdot (x + 2)$
$4$	$=$	$A x + 4 A + B x + 2 B$
$4$	$=$	$(A + B) \cdot x + 4 A + 2 B$

Teil 2 mit Hilfsmitteln Analysis I

Zeige, dass f keine Nullstellen besitzt

Gib für jede Asymptote von Gf jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an

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Untersuche das Monotonieverhalten von f

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Zeichne den Graphen von f zusammen mit seinen Asymptoten für −7≤x≤3 unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem

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1 Begründe, dass gilt: DF=]−2;+∞[

Bestimme außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion

Anzahl der Extremstellen

Anzahl der Nullstellen

2. Berechnen Sie den exakten Wert von F(2)

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Begründe, dass gilt: DF=]−2;+∞[

Anzahl der Extremstellen

Anzahl der Nullstellen

2. Berechnen Sie den exakten Wert von F(2)

Zeige, dass $f$ keine Nullstellen besitzt

Gib für jede Asymptote von $G_{f}$ jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an

Untersuche das Monotonieverhalten von $f$

Zeichne den Graphen von $f$ zusammen mit seinen Asymptoten für $- 7 \leq x \leq 3$ unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem

1 Begründe, dass gilt: $D_{F} =] - 2; + \infty [$

1. Begründe, dass gilt: $D_{F} =] - 2; + \infty [$