Teil 2 mit Hilfsmitteln Analysis I
- 1
Gegeben ist die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge . Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass keine Nullstellen besitzt, und geben Sie für jede Asymptote von jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an. (4 BE)
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von .
(7 BE)
Zeichnen Sie den Graphen von zusammen mit seinen Asymptoten für unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. (1 LE = 1 cm) (4 BE)
Gegeben ist die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge .
1. Begründen Sie, dass gilt: . Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion. (4 BE)
2. Berechnen Sie den exakten Wert von .
(7 BE)
- 2
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Ermitteln Sie die Nullstelle von und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von g für x → . (4 BE)
Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie einen Term der Umkehrfunktion von . (5 BE)
- 3
Die Gammaeule ist ein Schmetterling aus der Familie der Eulenfalter, welcher ganzjährig in Deutschland anzutreffen ist.
Wanderungsbewegungen und wechselnde klimatische Einflüsse sorgen bei der Populationsdichte (Anzahl der Gammaeulen pro Hektar) dieser Art für starke Schwankungen.
Aufgrund von Beobachtungen in dem heißen und trockenen Jahr 2003 in einem süddeutschen Untersuchungsgebiet vermuteten Biologen, dass die Entwicklung der Populationsdichte der Gammaeule der Differenzialgleichung gerecht wird. Dabei gibt den Messzeitpunkt im Jahr (in Monaten ab dem 1. Januar) und die Anzahl der gezählten Gammaeulen pro Hektar an. Auf das Mitführen von Einheiten wird verzichtet.
Im Jahr 2003 wurden durchgehend mehr als Gammaeulen pro Hektar beobachtet.
Folgern Sie unmittelbar aus der Differenzialgleichung den Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum, an dem die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet maximal war. (4 BE)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der obigen Differenzialgleichung für . (4 BE)
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