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Teil 2 mit Hilfsmitteln Analysis I

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:xx2+6x+12(x+2)(x+4) mit der maximalen Definitionsmenge Df=\{4;2}. Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gf bezeichnet.

    1. Zeigen Sie, dass f keine Nullstellen besitzt, und geben Sie für jede Asymptote von Gf jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an. (4 BE)

    2. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.

      [Mögliches Teilergebnis:f(x)=8(x+3)(x+2)2(x+4)2] (7 BE)

    3. Zeichnen Sie den Graphen von f zusammen mit seinen Asymptoten für 7x3 unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. (1 LE = 1 cm) (4 BE)

    4. Gegeben ist die Funktion F:x1xf(t)dt mit der maximalen Definitionsmenge DFDf.

      1. Begründen Sie, dass gilt: DF=]2;+[. Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion. (4 BE)

      2. Berechnen Sie den exakten Wert von F(2).

      [Mögliches Teilergebnis:f(x)dx=x+2ln(|x+2x+4|)+C] (7 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die Funktion g:xarctan(x29x5) mit der Definitionsmenge Dg=];1[.

    Der Graph von g in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gg bezeichnet.

    1. Ermitteln Sie die Nullstelle von g und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von g für x → . (4 BE)

    2. Die Funktion g ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie einen Term der Umkehrfunktion von g. (5 BE)

  3. 3

    Die Gammaeule ist ein Schmetterling aus der Familie der Eulenfalter, welcher ganzjährig in Deutschland anzutreffen ist.

    Wanderungsbewegungen und wechselnde klimatische Einflüsse sorgen bei der Populationsdichte (Anzahl der Gammaeulen pro Hektar) dieser Art für starke Schwankungen.

    Bild

    Aufgrund von Beobachtungen in dem heißen und trockenen Jahr 2003 in einem süddeutschen Untersuchungsgebiet vermuteten Biologen, dass die Entwicklung der Populationsdichte a(t) der Gammaeule der Differenzialgleichung 10a˙=(2t11)(a2) gerecht wird. Dabei gibt t[0;11] den Messzeitpunkt im Jahr 2003 (in Monaten ab dem 1. Januar) und a(t) die Anzahl der gezählten Gammaeulen pro Hektar an. Auf das Mitführen von Einheiten wird verzichtet.

    1. Im Jahr 2003 wurden durchgehend mehr als 5 Gammaeulen pro Hektar beobachtet.

      Folgern Sie unmittelbar aus der Differenzialgleichung den Zeitpunkt tmax im Beobachtungszeitraum, an dem die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet maximal war. (4 BE)

    2. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung a(t) der obigen Differenzialgleichung für a(t)>2. (4 BE)


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