Teil 2 mit Hilfsmitteln Analysis I

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{x^{2} + 6 x + 12}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_{f} = ℝ \ {- 4; - 2}$ . Der Graph von $f$ in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Zeigen Sie, dass $f$ keine Nullstellen besitzt, und geben Sie für jede Asymptote von $G_{f}$ jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Zeige, dass $f$ keine Nullstellen besitzt
Gegeben ist $f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 12}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ .
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f (x) = 0$ $\Rightarrow 0 = x^{2} + 6 x + 12$
Die quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 6$ und $q = 12$ ein.
$=$ $- \frac{6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{6}{2})}^{2} - 12}$
$=$ $- 3 \pm \sqrt{9 - 12}$
$=$ $- 3 \pm \sqrt{- 3}$
Da der Radikand negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung, d.h. es gibt keine Nullstelle.
Gib für jede Asymptote von $G_{f}$ jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an
1. Senkrechte Asymptoten
Bei Polstellen betrachtet man die Nullstellen des Nenners von $f$ :
$0 = (x + 2) \cdot (x + 4) \Rightarrow x_{P_{1}} = - 2$ und $x_{P_{2}} = - 4$
Betrachte die Vielfachheit der Nullstelle:
$\Rightarrow$ ungerade Vielfachheit von $x_{P_{1}} = - 2 \Rightarrow$ senkrechte Asymptote bei $x_{P_{1}} = - 2$ mit Vorzeichenwechsel.
$\Rightarrow$ ungerade Vielfachheit von $x_{P_{2}} = - 4 \Rightarrow$ senkrechte Asymptote bei $x_{P_{2}} = - 4$ mit Vorzeichenwechsel.
2. Waagrechte Asymptoten
Betrachte den Zählergrad und den Nennergrad von $f$ :
Der Zählergrad ist gleich dem Nennergrad ist gleich $2$ $\Rightarrow$ waagrechte Asymptote.
Die waagrechte Asymptote ist gegeben durch das Verhältnis der führenden Koeffizienten $\Rightarrow \frac{1}{1} = 1$ . Es gibt eine waagrechte Asymptote bei einem
y-Wert von $y = 1$ .
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Teil 1
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f (x) = 0$ $\Rightarrow$ setze den Zähler gleich null und löse die quadratische Gleichung.
Teil 2
Bei Polstellen betrachtet man die Nullstellen des Nenners von $f$ $\Rightarrow x_{P}$ .
Ungerade Vielfachheit der Nullstelle $x_{P} \Rightarrow$ senkrechte Asymptote bei $x_{P}$ mit Vorzeichenwechsel.

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von $f$ .

$[Mögliches Teilergebnis: f^{'} (x) = \frac{- 8 \cdot (x + 3)}{(x + 2)^{2} \cdot (x + 4)^{2}}]$ (7 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten berechnen

Untersuche das Monotonieverhalten von $f$

Berechne $f^{'} (x)$ mit der Quotientenregel:

Der Nenner ist $(x + 2) \cdot (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8$ .

$f^{'} (x) = \frac{(2 x + 6) \cdot (x + 2) \cdot (x + 4) - (x^{2} + 6 x + 12) \cdot (2 x + 6)}{(x + 2)^{2} \cdot (x + 4)^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{(2 x + 6) \cdot (x^{2} + 6 x + 8 - x^{2} - 6 x - 12)}{(x + 2)^{2} \cdot (x + 4)^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{2 \cdot (x + 3) \cdot (- 4)}{(x + 2)^{2} \cdot (x + 4)^{2}} = \frac{- 8 \cdot (x + 3)}{(x + 2)^{2} \cdot (x + 4)^{2}} ✓$

$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - 3$

Die Polstellen $x_{P_{2}} = - 4$ und $x_{P_{1}} = - 2$ markieren den Rand des jeweiligen Monotonieintervalls.

Einige berechnete Werte von $f^{'} (x)$ :

	$x = - 5$	$x = - 3,5$	$x = - 3$	$x = - 2,5$	$x = - 1$
$f^{'} (x)$	$\frac{16}{9} > 0$	$\approx 7,11 > 0$	$0$	$\approx - 7,11 < 0$	$- \frac{16}{9} < 0$

Damit erhält man folgende Monotonietabelle:

	$x \in] - \infty; - 4 [$	$x \in] - 4; - 3]$	$x = - 3$	$x \in [- 3; - 2 [$	$x \in] - 2; \infty [$
VZ von $f^{'} (x)$	$+$	$+$		$-$	$-$
Monotonieverhalten	$↗$	$↗$		$↘$	$↘$
HP / TP			$H P$

Demnach ist $f (x)$ im Intervall $] - \infty; - 4 [$ streng monoton steigend, im Intervall $] - 4; - 3]$ streng monoton steigend, im Intervall $[- 3; - 2 [$ streng monoton fallend und im Intervall $] - 2; \infty [$ streng monoton fallend.

Anmerkung: Polstellen mit einem Vorzeichenwechsel führen zu einem Wechsel im Monotonieverhalten. An den Polstellen ist $f (x)$ nicht definiert, d.h. diese Stellen müssen in den entsprechenden Intervallen ausgenommen werden.

Hier wird eine offene Klammer $]$ bzw. $[$ gesetzt.

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Zeichnen Sie den Graphen von $f$ zusammen mit seinen Asymptoten für $- 7 \leq x \leq 3$ unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. ( $1 LE = 1 cm$ ) (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Zeichne den Graphen von $f$ zusammen mit seinen Asymptoten für $- 7 \leq x \leq 3$ unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem
Einige geeignete Funktionswerte:
x
$- 7$
$- 5$
$- 4,5$
$- 4$
$- 3,5$
$- 3$
$- 2,5$
$- 2$
$- 1,5$
$- 1$
$0$
$1$
$3$
y
$1,27$
$2,33$
$4,2$
$- 4,33$
$- 3$
$- 4,33$
$4,2$
$2,33$
$1,5$
$1,27$
$1,11$
$P o l$
$H P$
$P o l$
$S_{y}$
$G_{f}$ mit Asymptoten
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Berechne einige geeignete Funktionswerte und zeichne den Graphen.
Gegeben ist die Funktion $F : x \mapsto \int_{- 1}^{x} f (t) d t$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_{F} \subset D_{f}$ .
1. Begründen Sie, dass gilt: $D_{F} =] - 2; + \infty [$ . Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion $F$ . (4 BE)
2. Berechnen Sie den exakten Wert von $F (2)$ .
$[Mögliches Teilergebnis: \int f (x) d x = x + 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) + C]$ (7 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Partialbruchzerlegung
1 Begründe, dass gilt: $D_{F} =] - 2; + \infty [$
Die Funktion $F$ ist nicht definiert an den Stellen $x = - 4$ und $x = - 2$ .
Die Funktion $F : x \mapsto \int_{- 1}^{x} f (t) d t$ soll die maximale Definitionsmenge $D_{F} \subset D_{f}$ haben. Da $x = - 1$ zum Definitionsbereich gehören muss, ist das größte Intervall in dem $- 1$ liegt, das Intervall $] - 2; + \infty [$ . Also ist $D_{F} =] - 2; + \infty [$ .
Bestimme außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion $F$
Anzahl der Extremstellen
Es gilt: $F^{'} (x) = f (x)$ und $f (x)$ ist für alle $x \in D_{f}$ größer null. Damit ist auch $F^{'} (x)$ für alle $x \in D_{F}$ größer null, d.h. $F^{'} (x)$ hat keine Nullstellen $\Rightarrow$ es gibt keine Extrema.
Anzahl der Nullstellen
Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle.
$\Rightarrow F (x)$ hat an der Stelle $x = - 1$ eine Nullstelle. Da für $x \in] - 2; \infty [F (x)$ streng monoton steigend ist, gibt es keine weiteren Nullstellen in diesem Intervall, d.h. die Anzahl der Nullstellen ist eins.
2. Berechne den exakten Wert von $F (2)$
Bestimme eine integralfreie Form des Funktionsterms $F (x)$ . Löse das Integral zunächst unbestimmt.
Es ist $f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 12}{(x + 2) \cdot (x + 4)} = \frac{x^{2} + 6 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$ .
Forme $f (x)$ um $\Rightarrow$ Polynomdivision führt auf:
$f (x) = 1 + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 8} = 1 + \frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$
$F (x) = \int_{- 1}^{x} f (t) d t = F (x) - F (- 1)$
Bestimme eine Stammfunktion von $f$ :
$F (x) = \int (1 + \frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}) d x$
Zerlegung in zwei Integrale:
$F (x) = \int 1 d x + \int (\frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}) d x$
$\int 1 d x = x + C_{1}$
Wende für das zweite Integral eine Partialbruchzerlegung an:
$\frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ $=$ $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 4}$ $\cdot (x + 2) \cdot (x + 4)$
$4$ $=$ $A \cdot (x + 4) + B \cdot (x + 2)$
$4$ $=$ $A x + 4 A + B x + 2 B$
$4$ $=$ $(A + B) \cdot x + 4 A + 2 B$
Koeffizientenvergleich liefert:
$A + B = 0 \Rightarrow B = - A$ und $4 A + 2 B = 4 \Rightarrow 4 A + 2 (- A) = 4 \Rightarrow 2 A = 4 \Rightarrow A = 2$ und $B = - 2$
$\Rightarrow \frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)} = \frac{2}{x + 2} - \frac{2}{x + 4}$
$\Rightarrow \int (\frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}) d x = \int \frac{2}{x + 2} d x - \int \frac{2}{x + 4} d x$
$\int \frac{2}{x + 2} d x = 2 \cdot \ln | x + 2 | + C_{2}$
$\int \frac{2}{x + 4} d x = 2 \cdot \ln | x + 4 | + C_{3}$
$\int (\frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}) d x = 2 \cdot \ln | x + 2 | + C_{2} - (2 \cdot \ln | x + 4 | + C_{3}) = 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) + C_{4}$
Dann erhält man die Stammfunktion:
$F (x) = \int (1 + \frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}) d x = x + C_{1} + 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) + C_{4} = x + 2 \cdot \ln (| \frac{x + 2}{x + 4} |) + C$
Es ist $F (2) = \int_{- 1}^{2} f (t) d t = {[t + 2 \cdot \ln (| \frac{t + 2}{t + 4} |)]}_{- 1}^{2} = 2 + 2 \cdot \ln (| \frac{2 + 2}{2 + 4} |) - (- 1 + 2 \cdot \ln (| \frac{- 1 + 2}{- 1 + 4} |))$
$F (2) = 2 + 2 \cdot \ln (\frac{2}{3}) + 1 - 2 \cdot \ln (\frac{1}{3}) = 3 + 2 \cdot (\ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{1}{3})) = 3 + 2 \cdot \ln 2$
$F (2) = 3 + 2 \cdot \ln 2 \approx 4,386$
Siehe auch die violett markierte Fläche ( $4,39$ ) in der folgenden Abbildung, die nur zur Veranschaulichung dient.
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1. Begründe, dass gilt: $D_{F} =] - 2; + \infty [$
Die gefundene Funktion $F$ ist nicht definiert an den Stellen $x = - 4$ und $x = - 2.$ Die Funktion $F : x \mapsto \int_{- 1}^{x} f (t) d t$ soll die maximale Definitionsmenge $D_{F} \subset D_{f}$ haben.
Was folgt daraus, wenn $x = - 1$ zum Definitionsbereich gehören muss?
Anzahl der Extremstellen
Es gilt: $F^{'} (x) = f (x)$ und $f (x)$ ist für alle $x \in D_{f}$ ungleich null.
Was folgt daraus für $F^{'} (x)$ ? Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus?
Anzahl der Nullstellen
Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle.
2. Berechne den exakten Wert von F(2)
Bestimme eine integralfreie Form des Funktionsterms $F (x)$ . Löse das Integral zunächst unbestimmt.
Forme dazu $f (x)$ um $\Rightarrow$ Polynomdivision
Wende für das Integral eine Partialbruchzerlegung an $\Rightarrow F (x)$
Berechne $F (2) = \int_{- 1}^{2} f (t) d t$

x	$- 7$	$- 5$	$- 4,5$	$- 4$	$- 3,5$	$- 3$	$- 2,5$	$- 2$	$- 1,5$	$- 1$	$0$	$1$	$3$
y	$1,27$	$2,33$	$4,2$		$- 4,33$	$- 3$	$- 4,33$		$4,2$	$2,33$	$1,5$	$1,27$	$1,11$
				$P o l$		$H P$		$P o l$			$S_{y}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 6$ und $q = 12$ ein.
	$=$	$- \frac{6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{6}{2})}^{2} - 12}$
	$=$	$- 3 \pm \sqrt{9 - 12}$
	$=$	$- 3 \pm \sqrt{- 3}$

$\frac{4}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$	$=$	$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 4}$	$\cdot (x + 2) \cdot (x + 4)$
$4$	$=$	$A \cdot (x + 4) + B \cdot (x + 2)$
$4$	$=$	$A x + 4 A + B x + 2 B$
$4$	$=$	$(A + B) \cdot x + 4 A + 2 B$

Zeige, dass f keine Nullstellen besitzt

Gib für jede Asymptote von Gf jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an

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Untersuche das Monotonieverhalten von f

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Zeichne den Graphen von f zusammen mit seinen Asymptoten für −7≤x≤3 unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem

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1 Begründe, dass gilt: DF=]−2;+∞[

Bestimme außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion F

Anzahl der Extremstellen

Anzahl der Nullstellen

2. Berechne den exakten Wert von F(2)

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1. Begründe, dass gilt: DF=]−2;+∞[

Anzahl der Extremstellen

Anzahl der Nullstellen

2. Berechne den exakten Wert von F(2)

Zeige, dass $f$ keine Nullstellen besitzt

Gib für jede Asymptote von $G_{f}$ jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an

Untersuche das Monotonieverhalten von $f$

Zeichne den Graphen von $f$ zusammen mit seinen Asymptoten für $- 7 \leq x \leq 3$ unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem

1 Begründe, dass gilt: $D_{F} =] - 2; + \infty [$

Bestimme außerdem die Anzahl der Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion $F$

2. Berechne den exakten Wert von $F (2)$

1. Begründe, dass gilt: $D_{F} =] - 2; + \infty [$